2024年4月10日发(作者：上海教育局小升初数学试卷)

资料

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，

设与座位编号相同的学生的个数是X.

（1）求随机变量X的分布列；

（2）求随机变量X的数学期望和方差.

解 （1）P（X=0）=

2

A

3

3

=

1

；

3

P（X=1）=

C

1

3

A

3

3

=

11

1

；P（X=3）==；

26

A

3

3

∴随机变量X的分布列为

X 0

1

3

1

1

2

3

1

6

P

（2）E（X）=1×

D（X）=(1-0)·

2

11

+3×=1.

26

111

22

+(1-1)·+(3-1)·=1.

326

2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次

随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红

球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示

甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：

（1）X的分布列；

（2）X的均值.

解 （1）X的所有可能取值为0，10，20，50，60.

729

9

P（X=0）=



=；

1000

10



3

243

1919

9

P（X=10）=×



+×

C

1

×=;

2

×

101010

1000

10

10

2

P(X=20)=

P(X=50)=

P(X=60)=

18

11

9

×

C

1

×=;

2

×

10

1000

1010

9

1

9

×

2

=;

1000

10

10

1

10

3

=

1

.

1000

故X的分布列为

.

资料

X 0

729

1000

10

243

1000

20

18

1000

50

9

1000

60

1

1000

P

（2）E（X）=0×

24318

72991

+10×+20×+50×+60×=3.3(元).

1

10001000

3（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生

产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含

量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

x

y

1

169

75

2

178

80

3

166

77

4

175

70

5

180

81

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优

等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产

品中优等品数

的分布列极其均值（即数学期望）。

解：（1）

98

7,5735

，即乙厂生产的产品数量为35件。

14

（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的

优等品

2

,

5

2

14

（件）优等品，

5

故乙厂生产有大约

35

（3）

的取值为0，1，2。

11

C

3

2

C

3

C

2

C

3

2

331

P(

0)

2

,P(

1),P(

2)

22

5

C

5

10

C

5

C

5

10

所以

的分布列为

0 1 2

.

资料

P

61

1010

3314

故

的均值为E

012.

105105

3

10

4湖南理18．（本小题满分12分）

某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量（件）

频数

0

1

1

5

2

9

3

5

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开

始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于

2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。

．．．．．

（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；

（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期

型。

4．解（I）

P

（“当天商品不进货”）

P

（“当天商品销售量为0件”）

P

（“当天商品销售量为1件”）

153

.

202010

51

;

204

（Ⅱ）由题意知，

X

的可能取值为2,3.

P(X2)P

（“当天商品销售量为1件”）

P(X3)P

（“当天商品销售量为0件”）

P

（“当天商品销售

量为2件”）

P

（“当天商品销售量为3件”）

1953

.

2020204

故

X

的分布列为

X

P

X

的数学期望为

EX2

2 3

1

4

1311

3.

444

3

4

5、江西理16．（本小题满分12分）

某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工

资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且

其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，

从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500

元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100

.

资料

元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没

有鉴别能力．

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望。

．（本小题满分12分）

解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4

14i

C

4

C

4

P(Xi)(i0,1,2,3,4)

C

5

4

即

X

P

0 1 2 3 4

1

70

16

70

36

70

16

70

1

70

（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，

3500

则P(Y3500)P(X4)

P(Y2800)P(X3)

1

70

8

35

53

P(Y2100)P(X2)

70

11653

EY3500280021002280.

707070

所以新录用员工月工资的期望为2280元.

6、辽宁理（19）（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为

品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成

n

小块

地，在总共2

n

小块地中，随机选

n

小块地种植品种甲，另外

n

小块地

种植品种乙．

（I）假设

n

=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为

X

，

求

X

的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即

n

=8，试验结束后得到品种甲

2

和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm）如下表：

品种

甲

403 397 390 404 388 400 412 406

.

资料

品种

乙

419 403 412 418 408 423 400 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验

结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据

x

1

,x

2

,,x

n

的的样本方差

1

s

2

[(x

1

x)

2

(x

2

x)

2

(x

n

x)

2

]

，其中

x

为样本平均数．

n

6．解：

（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

P(X0)

11

,

C

8

4

70

13

C

4

C

4

8

P(X1),

35

C

8

4

C

4

2

C

4

2

18

P(X2),

35

C

8

4

31

C

4

C

4

8

P(X3),

4

35

C

8

P(X4)

11

.

C

8

4

70

即X的分布列为

……

…………4分

X的数学期望为

E(X)0

181881

12342.

…………

7035353570

……6分

（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

.

资料

1

x

甲

(403397390404388400412406)400,

8

1

S

甲

(3

2

(3)

2

(10)

2

4

2

(12)

2

0

2

12

2

6

2

)57.25.

8

………………8

分

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1

x

乙

(419403412418408423400413)412,

8

1

2

S

乙

(7

2

(9)

2

0

2

6

2

(4)

2

11

2

(12)

2

1

2

)56.

8

………………10

分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，

且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

7、山东理18．（本小题满分12分）

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，

乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为

0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用

表示红队队员获胜的总盘数，求

的分布列和数学期望

E

.

7．解：（I）设甲胜A的事件为D，

乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，

则

D,E,F

分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。

因为

P(D)0.6,P(E)0.5,P(F)0.5,

由对立事件的概率公式知

P(D)0.4,P(E)0.5,P(F)0.5,

.

资料

红队至少两人获胜的事件有：

DEF,DEF,DEF,DEF.

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，

因此红队至少两人获胜的概率为

PP(DEF)P(DEF)P(DEF)P(DEF)

0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.5

0.55.

（II）由题意知

可能的取值为0，1，2，3。

又由（I）知

DEF,DEF,DEF

是两两互斥事件，

且各盘比赛的结果相互独立，

因此

P(

0)P(DEF)0.40.50.50.1,

P(

1)P(DEF)P(DEF)P(DEF)

0.40.50.50.40.50.50.60.50.5

0.35

P(

3)P(DEF)0.60.50.50.15.

由对立事件的概率公式得

P(

2)1P(

0)P(

1)P(

3)0.4,

所以

的分布列为：

P

0

0．1

1

0．35

2

0．4

3

0．15

因此

E

00.110.3520.430.151.6.

20．解（Ⅰ）A

i

表示事件“甲选择路径L

i

时，40分钟内赶到火车站”，B

i

表示事件“乙选择路径L

i

时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率

估计相应的概率可得

P（A

1

）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A

2

）=0．1+0．4=0．5，

.

资料

P（A

1

） ＞P（A

2

）,

甲应选择L

i

P（B

1

）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B

2

）=0．1+0．4+0．4=0．9，

P（B

2

） ＞P（B

1

）,

乙应选择L

2．

（Ⅱ）

A,B

分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时

间内赶到火车站，由（Ⅰ）知

P(A)0.6,P(B)0.9

,又由题意知，

A,B

独立，

P(X0)P(AB)P(A)P(B)0.40.10.04

P(X1)P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)

0.40.90.60.10.42

P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.54

X

的分布列为

X

P

0

0．04

1

0．42

2

0．54

EX00.0410.4220.541.5.

8、四川理18．（本小题共12分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自

行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时

的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该

租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率

分别为

1111

,

；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

,

；

4224

两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量

，求

的分布列

与数学期望

E

；

8．解析：

（1）所付费用相同即为

0,2,4

元。设付0元为

P

1

.

111



，付2

428

资料

111111



，付4元为

P

3



2484416

5

则所付费用相同的概率为

PP

PP

123

16

元为

P

2

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为

，

可为

0,2,4,6,8

P(

0)

P(

P(

P(

P(

1

8

11115

2)

442216

1111115

4)

44242416

11113

6)

442416

111

8)

4416

分布列

0

2

4

5

16

6

3

16

8

1

16

15

P

8

16

55917

E



84822

9、天津理16．（本小题满分13分）

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2

个黑球，乙箱子里

装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相

同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少

于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，

（i）摸出3个白球的概率；

（ii）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数

X

的分布列及数学期望

E(X)

.

9．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、

互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的

.

资料

实际问题的能力.满分13分.

（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件

A

i

(i0,1,2,3),

则

1

C

3

2

C

2

1

P(A

3

)

2

2

.

C

5

C

3

5

（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则

BA

2

2111

C

3

2

C

2

C

2

C

2

C

2

1

P(A

2

)

2

2

,

22

C

5

C

3

C

5

C

3

2

A

3

，又

且A

2

，A

3

互斥，所以

P(B)P(A

2

)P(A

3

)

117

.

2510

（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.

7

2

9

),

10100

721

1

7

(1),

P(X1)C

2

101050

749

P(X2)()

2

.

10100

P(X0)(1

所以X的分布列是

X

P

0 1 2

9

21

100

50

921497

X的数学期望

E(X)012.

100501005

49

100

10重庆理17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请

其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该

市的任4位申请人中：

（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数

的分布列与期望

10．（本题13分）

.

资料

解：这是等可能性事件的概率计算问题.

4

（I）解法一：所有可能的申请方式有3种，恰有2人申请A片区房源

22

的申请方式

C

4

2

种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为

2

C

4

2

2

8

.

4

27

3

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.

记“申请A片区房源”为事件A，则

P(A)

1

.

3

从而，由独立重复试验中事件A恰发生

k

次的概率计算公式知，恰有

2人申请A片区房源的概率为

8

2

1

2

2

2

P

4

(2)C

4

()().

3327

（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又

31

,

3

4

27

2132224

C(CCCC)

14

C(22)

14

P(

2)

324

4

42

(或P(

2)

3

4

)

2727

33

P(

1)

12123

C

3

C

4

C

2

4

C

4

A

3

4

P(

3)(或P(

3)).

99

3

4

3

4

综上知，ξ有分布列

ξ

P

从而有

1 2 3

1144

27279

E

1

114465

23.

2727927

11.（2008·全国Ⅰ理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液

来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面

是两种化验方案:

方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.

方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这

.

资料

3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2

只中任取1只化验.

(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;

(2)

表示依方案乙所需化验次数,求

的期望.

解 （1）设

1

、

2

分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概

率，则

方案甲中

1

的分布列为

1

P

1

1

5

2

411



545

3

4311



5435

4

4322



5435

方案乙中

2

的分布列为

2

P

1

C

2

4

2

1

C

3

3



4

3

C

3

5

C

3

55

C

2

4

C

3

5

3

22

35

0

若甲化验次数不少于乙化验次数,则

P=P(

1

=1)×P(

2

=1)+P(

1

=2)×［P(

2

=1)+P(

2

=2)］+P(

1

=3)×

［P(

2

=1)+P(

2

=2)+P(

2

=3)］+P(

1

=4)

=0+

131322

18

×（0+）+×（0++）+==0.72.

555555

25

3212

+3×==2.4.

555

1

与p，且乙投

2

(2)E（

）=1×0+2×

12.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为

球2次均未命中的概率为

1

.

16

（1）求乙投球的命中率p；

（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为

，求

的分布列和数学

期望.

解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.

由题意得(1-P(B))=(1-p)=

解得p=

22

1

,

16

353

或p=（舍去），所以乙投球的命中率为.

444

.

资料

（2）由题设和（1）知P(A)=

P(

B

)=

1

.

4

113

,P(

A

)=,P(B)= ,

224

可能的取值为0，1，2，3，故

1

1

1

P(

=0)=P(

A

)P(

B

B

)=×



=,

2

4

32

2

P(

=1)=P(A)P(

B

B

)+

C

1

2

P（B）P（

B

）P（

A

）

1311

7

1

=×



+2×××=,

2442

32

4

9

1

3

P(

=3)=P(A)P(B·B)=×



=,

2

4

32

2

2

P(

=2)=1-P(

=0)-P(

=1)-P(

=3)=

15

.

32

的分布列为

P

0

1

32

1

7

32

2

15

32

3

9

32

的数学期望

E（

）=0×

7159

1

+1×+2×+3×=2.

32

323232

13.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且

取出不再放回，若以

和

分别表示取出次品和正品的个数.

（1）求

的分布列、期望值及方差；

（2）求

的分布列、期望值及方差.

解 （1）

的可能值为0，1，2.

若

=0，表示没有取出次品，其概率为：

P（

=0）=

3

C

0

2

C

10

3

C

12

=

6

;

11

2

C

1

2

C

10

3

C

12

同理，有P（

=1）=

∴

的分布列为：

=

C

2

C

1

91

；P（

=2）=

210

=.

3

2222

C

12

0 1 2

.

资料

P

∴E（

）=0×

6

11

9

22

1

22

6

91

1

+1×+2×=.

2222

211

22

1

2

6

1

9

1

1

D（

）=(0-)×+

1

×+

2

×

22

22

2

11

2

2

=

3

99

15

++=.

22

8888

44

(2)

的可能值为1，2，3，显然

+

=3.

P(

=1)=P(

=2)=

P(

=3)=P(

=0)=

19

,P(

=2)=P(

=1)=,

2222

6

.

11

∴

的分布列为：

1

1

22

2

9

22

3

6

11

P

E（

）=E（3-

）=3-E（

）=3-

2

15

=.

22

15

.

44

∵

=-

+3，∴D（

）=（-1）D（

）=

14.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产

的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨

处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.

（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失

的分布列，并求其平均值；

（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以

表示每天的损失，写出

的分布列.

计算

的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？

解 （1）设

为损失数，分布列为：

P

（2）设

为损失数，则

P（

=0）=0.7×0.8=0.56.

0

0.7

3 000

0.3

∴E（

）=3 000×0.3=900（元）.

P(

=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38.

P（

=3 000）=0.3×0.2=0.06.

.

资料

分布列为：

0 500 3 000

P 0.56 0.38 0.06

∴E（

）=0+500×0.38+3 000×0.06=370

平均每天损失为370元.

∵370＜900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择.

15.（2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上

n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，

表示所取球的标号.

（1）求

的分布列、期望和方差；

（2）若

=a

+b,E（

）=1,D（

）=11,试求a,b的值.

解 （1）

的分布列为

P

∴E（

）=0×

0

1

2

1

1

20

2

1

10

3

3

20

4

1

5

1

1

1

3

1

+1×+2×+3×+4×=1.5.

2020

2105

2

D（

）=(0-1.5)×

1

=2.75.

5

1

1

1

3

2222

+(1-1.5)×+(2-1.5)×+(3-1.5)×+(4-1.5)×

20

20

2

10

(2)由D（

）=aD（

）,得a×2.75=11,即a=±2.

又E（

）=aE（

）+b,

所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.

当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.

22

a2,

a2

∴

或

即为所求.

b2,b4



16.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只

小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，

服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白

鼠服用A有效的概率为

21

，服用B有效的概率为.

32

（1）求一个试验组为甲类组的概率；

（2）观察3个试验组，用

表示这3个试验组中甲类组的个数，求

的分布列和数

学期望.

.

资料

解 （1）设A

i

表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，

B

i

表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.

依题意有

P（A

1

）=2×

P（A

2

）=

P(B

0

)=

124

×=,

339

224

×=.

339

111

×=,

224

111

×=.

222

P(B

1

)=2×

所求的概率为

P=P(B

0

A

1

)+P（B

0

A

2

）+P（B

1

A

2

）

=

1414144

×+×+×=.

4949299

4

).

9

（2）

的可能值为0,1,2,3，且

～B(3,

5

125

P（

=0）=



=，

9

729

P（

P(

=1）=

C

1

3

4

5

100

××



=,

243

9

9

2

2

3

2

=2)=

C

3

5

80

4

×



×=,

9

243

9

3

64

4

P(

=3)=



= .

729

9

的分布列为

P

0

125

729

1

100

243

2

80

243

3

64

729

数学期望E（

）=0×

1251008064

4

+1×+2×+3×=.

729243243729

3

.


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