35 高中数学分布列与期望及决策专题训练

2024年4月10日发(作者：历下中考模拟数学试卷答案)

专题35高中数学分布列与期望及决策专题训练

【知识总结】

离散型随机变量X的分布列为

X

P

x

1

p

1

x

2

p

2

…

…

x

i

p

i

…

…

x

n

p

n

则，(1)p

i

≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p

1

＋p

2

＋…＋p

n

＝1.

(3)E(X)＝x

1

p

1

＋x

2

p

2

＋…＋x

i

p

i

＋…＋x

n

p

n

.

(4)D(X)＝



[x

i

－E(X)]

2

p

i

.

i

＝

1

n

(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a

2

D(X)．

【高考真题】

1

．

(2022·

全国甲理

)

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得

10

分，负方得

0

分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项

目中获胜的概率分别为

0.5

，

0.4

，

0.8

，各项目的比赛结果相互独立．

(1)

求甲学校获得冠军的概率；

(2)

用

X

表示乙学校的总得分，求

X

的分布列与期望．

2

．

(2022·

北京

)

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到

9.50m

以上

(

含

9.50m)

的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的

比赛成绩，并整理得到如下数据

(

单位：

m)

：

甲：

9.80

，

9.70

，

9.55

，

9.54

，

9.48

，

9.42

，

9.40

，

935

，

9.30

，

9.25

；

乙：

9.78

，

9.56

，

9.51

，

9.36

，

9.32

，

9.23

；

丙：

9.85

，

9.65

，

9.20

，

9.16

．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)

估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)

设

X

是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计

X

的数学期望

E

（

X

）；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求

证）

【题型突破】

1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4

班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》

5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可

能的．

(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；

(2)记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X的分布

列与均值．

2．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地

放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立．

(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；

(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；

(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X)．

3．某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，

9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后

面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；

三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖

励2 000元现金．其他不中奖，没有奖金．

(1)求员工A中二等奖的概率；

(2)设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；

(3)员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望．

4．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产

商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两

111

年内各自出成果的概率分别为，m，．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为．

2412

(1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；

(2)三个团队有X个在两年内出成果，求X的分布列和均值．

5．随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线

上招聘．某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，

资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几

个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并

11

均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的

23

21

概率分别为，；丙通过笔试、面试的概率与乙相同．

32

(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；

(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料