2024年3月6日发(作者：2023龙山小升初数学试卷)

2023年中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列计算正确的是（ ）

A．a3•a3=a9 B．（a+b）2=a2+b2 C．a2÷a2=0 D．（a2）3=a6

2．﹣3的绝对值是（ ）

A．﹣3 B．3

11C．-3 D．3

3．下列运算正确的是（ ）

A．abcabc3x1 B．2x21

aC．a3235 D．2a3a6a

4．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（ ）

A．12cm B．122cm C．24cm D．242cm

5．世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是(

)

A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30

6．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.m，这个数用科学记数法表示正确的是（ ）

A．3.4×10-9m B．0.34×10-9m C．3.4×10-10m D．3.4×10-11m

7．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．

1112A．6 B．2 C．3 D．3

8．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量

不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（ ）

A．26×105 B．2.6×102 C．2.6×106 D．260×104

9．已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是( )

A． B． C． D

10．下列运算正确的是（ ）

A．a3•a2=a6 B．（2a）3=6a3

C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．3a2﹣a2=2a2

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P= 40°，则∠BAC= .

12．如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到 “三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为_____（结果保留π）

11113．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为2的长方形，再把其中一个面积为2的长方形分成两个面积为411的正方形，再把其中一个面积为4的正方形分成两个面积为8的长方形，如此进行下去……，试用图形揭示的规律计111111113264算：__________．

y14．已知双曲线k1x经过点（－1，2），那么k的值等于_______.

y15．反比例函数减小）

kx的图象经过点（﹣3，2），则k的值是_____．当x大于0时，y随x的增大而_____．（填增大或16．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量OP可以用点P的坐标表示为OP=（m，n），已知：OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么OA与OB互相垂直，下列四组向量：①OC=（2，1），OD=1（﹣1，2）；②OE=（cos30°，tan45°），OF=（﹣1，sin60°）；③OG=（3﹣2，﹣2），OH=（3+2，2）；④OC=（π0，2），ON=（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）．

23m6m3__________． 17．分解因式：三、解答题（共7小题，满分69分）

4x24x4218．（10分）先化简x2x÷(x-x),然后从-5

32319．（5分）如图1，已知抛物线y=﹣3x2+3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

（1）求线段DE的长度；

（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；

（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．

20．（8分）如图，在矩形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE，CE，求证：BE=CE．

21．（10分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

2x73(x1)①15(x4)x②2

22．（10分）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

23．（12分）我市某学校在“行读石鼓阁”研学活动中，参观了我市中华石鼓园，石鼓阁是宝鸡城市新地标．建筑面积7200平方米，为我国西北第一高阁．秦汉高台门阙的建筑风格，追求稳定之中的飞扬灵动，深厚之中的巧妙组合，使景观功能和标志功能融为一体．小亮想知道石鼓阁的高是多少，他和同学李梅对石鼓阁进行测量．测量方案如下：如图，李梅在小亮和“石鼓阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，李梅看着镜面上的标记，她来回走动，走到点D时，看到“石鼓阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得李梅眼睛与地面的高度ED=1.6米，CD=2.2米，然后，在阳光下，小亮从D点沿DM方向走了29.4米，此时“石鼓阁”影子与小亮的影子顶端恰好重合，测得小亮身高1.7米，影长FH=3.4米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“石鼓阁”的高AB的长度．

24．（14分）如图，∠MON的边OM上有两点A、B在∠MON的内部求作一点P，使得点P到∠MON的两边的距离相等，且△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D.

【解析】

试题分析：A、原式=a6，不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；

C、原式=1，不符合题意；D、原式=a6，符合题意，

故选D

考点：整式的混合运算

2、B

【解析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.

【详解】

根据绝对值的性质得：|-1|=1．

故选B．

【点睛】

本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

3、D

【解析】

由去括号法则：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式进行计算即可．

【详解】

解：A、a-（b+c）=a-b-c≠a-b+c，故原题计算错误；

B、（x+1）2=x2+2x+1≠x²+1，故原题计算错误；

C、（-a）3=a≠a,故原题计算错误；

D、2a2•3a3=6a5，故原题计算正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握有关计算法则．

4、D

【解析】

过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可.

【详解】

如图，过A作AD⊥BF于D，

∵∠ABD=45°，AD=12，

33AB∴ADsin45=122，

又∵Rt△ABC中，∠C=30°，

∴AC=2AB=242，

故选：D．

【点睛】

本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

5、C

【解析】

分析：由表提供的信息可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．

详解：根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30.

故选C.

点睛：考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键.

6、C

【解析】

试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示a10的形式，所以将1．用科学记数法表示3.41010n，故选C．

考点：科学记数法

7、B

【解析】

朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.

【详解】

31=依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=62

故选B.

【点睛】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.

8、C

【解析】

科学记数法的表示形式为a10的形式，其中n1a10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．

【详解】

260万=2600000=2.610．

故选C．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a10的形式，其中正确确定a的值以及n的值．

n61a10，n为整数，表示时关键要

9、D

【解析】

先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可．

【详解】

由题意得，2x+y=10，

所以，y=-2x+10，

2x＞2x10①x2x10＜x②由三角形的三边关系得，，

解不等式①得，x＞2.5，

解不等式②的，x＜5，

所以，不等式组的解集是2.5＜x＜5，

正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．

故选：D．

10、D

【解析】

试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加求解求解；

根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘求解；

根据完全平方公式求解；

根据合并同类项法则求解．

解：A、a3•a2=a3+2=a5，故A错误；

B、（2a）3=8a3，故B错误；

C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；

D、3a2﹣a2=2a2，故D正确．

故选D．

点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、20°

【解析】

根据切线的性质可知∠PAC＝90°，由切线长定理得PA＝PB，∠P＝40°，求出∠PAB的度数，用∠PAC﹣∠PAB得到∠BAC的度数．

【详解】

解：∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，

∴∠PAC＝90°．

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PA＝PB．

∵∠P＝40°，

∴∠PAB＝（180°﹣∠P）÷2＝（180°﹣40°）÷2＝70°，

∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝90°﹣70°＝20°．

故答案为20°．

【点睛】

本题考查了切线的性质，根据切线的性质和切线长定理进行计算求出角的度数．

12、18π

【解析】

根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和，利用扇形面积公式解答即可．

【详解】

(62)18006解：∵正六边形的内角为＝120°，

∴扇形的圆心角为360°−120°＝240°，

240323360∴“三叶草”图案中阴影部分的面积为＝18π，

故答案为18π．

【点睛】

此题考查正多边形与圆，关键是根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和解答．

113、128

【解析】

11111=1-；+=1-2244 ，即计算其面积和的时候，只需让总面积减去剩下的面积. 结合图形发现计算方法:2【详解】

1125518=2 解:原式＝256256=1-1故答案为：128

【点睛】

此题注意结合图形的面积找到计算的方法:其中的面积和等于总面积减去剩下的面积.

14、－1

【解析】

y分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点（－1,2）代入15、﹣6 增大

【解析】

k1k12x，得：1，解得：k＝－1．

y∵反比例函数kx的图象经过点（﹣3，2），

k∴2=3，即k=2×(﹣3)=﹣6，

∴k＜0，则y随x的增大而增大.

故答案为﹣6；增大.

【点睛】

本题考查用待定系数法求反函数解析式与反比例函数的性质：

（1）当k＞0时，函数图象在一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

（2）当k＜0时，函数图象在二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.

16、①③④

【解析】

分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；

详解：①∵2×(−1)+1×2=0，

∴OC与OD垂直;

cos301tan45sin60②∵∴OE与OF不垂直.

333，22

③∵3232210，2

∴OG与OH垂直.

④∵02210，

∴OM与ON垂直.

故答案为:①③④.

点睛：考查平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.

17、3（m-1）2

【解析】

试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可，即3m2-6m+3=3（m2-2m+1）=3（m-1）2.

故答案为：3（m-1）2

点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式a2b2abab，完全平方公式a22abb2ab2）、三检查（彻底分解）.

三、解答题（共7小题，满分69分）

111=1=18、当x=－1时，原式=1+2； 当x=1时，原式=1+23

【解析】

先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．

【详解】

(x2)2x24x 原式=x(x2)=(x2)2x•x(x2)x2(x2)

1=x2

∵-5＜x＜5，且x为整数，

∴若使分式有意义，x只能取-1和1

1当x=1时，原式=3．或：当x=-1时，原式=1

17331219、 (1)2 ;(2) ;(3)见解析.

【解析】

分析：（1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；

（2）找点C关于DE的对称点N（4，3），找点C关于AE的对称点G（-2，-3），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解3333析式：y=3x-3；直线AE的解析式：y= -3x-3，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，323-3m²+3m+333），则Q（m，3m-3），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP=

3343-3m²+3m+3，根据解析式即可求得，△MPF面积的最大值；

334343（3）由（2）可知C（0，3），F（0，3），P（2，3），求得CF=3，CP=3，进而得出△CFP为等边三4343角形，边长为3，翻折之后形成边长为3的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．

本题解析：（1）对于抛物线y=﹣令x=0，得y=∴DH=，

=0，得x1=﹣1，x2=3，

，即C（0，x2+），D（2，x+），

，

令y=0，即﹣x2+x+∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵AE⊥AC，EH⊥AH，

∴△ACO∽△EAH，

∴=，即=，

解得：EH=则DE=2，

；

），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），

（2）找点C关于DE的对称点N（4，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，

直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，

联立得：F （0，﹣），P（2，），

过点M作y轴的平行线交FH于点Q，

设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m， m﹣m2+），（0＜m＜2）；

m+，

∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，

∴m=时，△MPF面积有最大值：（3）由（2）可知C（0，∴CF=∵OC=，CP=，OA=1，

；

），F（0，=，

），P（2，），

∴∠OCA=30°，

∵FC=FG，

∴∠OCA=∠FGA=30°，

∴∠CFP=60°，

∴△CFP为等边三角形，边长为，

翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，

1）当K F′=KF″时，如图3，

点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），

∴OK=3；

2）当F′F″=F′K时，如图4，

∴F′F″=F′K=4，

∵FP的解析式为：y=x﹣，

∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，

∵∠OAF=30°，

∴F′K=F′A

∴AK=4

∴OK=4﹣1或者4+1；

3）当F″F′=F″K时，如图5，

∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，

∵∠OAF=30°，

∴∠AF′F″=90°，

∵F″F′=F″K=4，

∴AF″=8，

∴AK=12，

∴OK=1，

综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者1．

点睛：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键.

20、证明见解析.

【解析】

要证明BE=CE，只要证明△EAB≌△EDC即可，根据题意目中的条件，利用矩形的性质和等边三角形的性质可以得到两个三角形全等的条件，从而可以解答本题．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

∵△ADE是等边三角形，

∴AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°，

∴∠EAD=∠EDC，

在△EAB和△EDC中，

∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴BE=CE．

【点睛】

本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

21、原不等式组的解集为﹣4＜x≤1，在数轴上表示见解析．

【解析】

分析：根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案

详解：解不等式①，得x＞﹣4，

解不等式②，得x≤1，

把不等式①②的解集在数轴上表示如图

，

原不等式组的解集为﹣4＜x≤1．

点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．

22、解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．

111根据题意，得x1.5x12，

解得x=1．

经检验，x=1是方程的解且符合题意．

1.5 x=2．

∴甲，乙两公司单独完成此项工程，各需1天，2天．

（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，

根据题意得12（y+y﹣1500）=10100解得y=5000，

甲公司单独完成此项工程所需的施工费：1×5000=100000（元）；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费：2×（5000﹣1500）=105000（元）；

∴让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少．

【解析】

（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列出方程求解即可．

（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．

23、 “石鼓阁”的高AB的长度为56m．

【解析】

根据题意得∠ABC=∠EDC=90°，∠ABM=∠GFH=90°，再根据反射定律可知：∠ACB=∠ECD，则△ABC∽△EDC，ABEDABGF根据相似三角形的性质可得BC=DC，再根据∠AHB=∠GHF，可证△ABH∽△GFH，同理得BH=FH，代入数值计算即可得出结论.

【详解】

由题意可得：∠ABC=∠EDC=90°，∠ABM=∠GFH=90°，

由反射定律可知：∠ACB=∠ECD，

则△ABC∽△EDC，

ABED∴BC=DC，

AB1.6即BC=2.2①，

∵∠AHB=∠GHF，

∴△ABH∽△GFH，

ABGFAB1.7∴BH=FH，即BC2.229.43.4=3.4②，

联立①②，解得：AB=56，

答：“石鼓阁”的高AB的长度为56m．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.

24、详见解析

【解析】

作∠MON的角平分线OT，在ON上截取OA′，使得OA′＝OA，连接BA′交OT于点P，点P即为所求．

【详解】

解：如图，点P即为所求．

【点睛】

本题主要考查作图-复杂作图，利用了角平分线的性质，难点在于利用轴对称求最短路线的问题．


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