2024年3月6日发(作者：汶上期末六下数学试卷)

2023年中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列判断正确的是（ ）

A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨

C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件

D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件

2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

3．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为

A．75 B．89 C．103 D．139

4．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）

A．y=2n+1 B．y=2n+n C．y=2n+1+n D．y=2n+n+1

5．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ）

A．150° B．140° C．130° D．120°

6．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）

1A．a＝﹣2 B．a＝3 C．a＝1 D．a＝2

1x21x7．小明解方程x的过程如下，他的解答过程中从第（ ）步开始出现错误．

解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1①

去括号，得1﹣x+2＝1②

合并同类项，得﹣x+3＝1③

移项，得﹣x＝﹣2④

系数化为1，得x＝2⑤

A．① B．② C．③ D．④

8．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）

A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x

9．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（ ）

A． B． C． D．

10．下列运算正确的是（ ）

12A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣a C．33﹣23=3 D．（a+2）（a﹣2）=a2+4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 ．

12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l1分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l1．若l1与l2的距离为5，l2与l1的距离为7，则Rt△ABC的面积为___________

y13．函数x1x3自变量x的取值范围是 _____.

14．如图，在△ABC中，AB＝3+3，∠B＝45°，∠C＝105°，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF

为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为_____．

15．点A(-2,1)在第_______象限.

a22a1•16．如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（a﹣a）a1的值是 ．

三、解答题（共8题，共72分）

xy111)2()2xyxy32217．（8分）先化简，再求值：，其中x=，y=．

(y18．（8分）如图，已知二次函数为42x49的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，C的半径为5，PC上一动点．

1点B，C的坐标分别为B(______)，C(______)；

2是否存在点P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

3连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值______．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．

求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和点B，且经过点y1kxbk0与反比例函数y2mm0A3,1x的图像交于点C0,2.

求反比例函数和一次函数的表达式；求当y1y2时自变量x的取值范围.

21．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°

画出旋转之后的△AB′C′；求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．

2x112x1x22．（10分）先化简，再求值：，其中x为方程3x20的根．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3与轴、y轴分别相交于点A、B，并与抛物线17yx2bx42的对称轴交于点C2,2，抛物线的顶点是点D．

（1）求k和b的值；

（2）点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD相似，求点G的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上．如果存在，直接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由．

24．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．

【详解】

A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；

B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；

C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；

D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．

2、C

【解析】

根据俯视图的概念可知, 只需找到从上面看所得到的图形即可.

【详解】

解: 从上面看易得: 有2列小正方形, 第1列有2个正方形, 第2列有2个正方形，故选C.

【点睛】

考查下三视图的概念; 主视图、 左视图、 俯视图是分别从物体正面、 左面和上面看所得到的图形;

3、A

【解析】

观察可得，上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，所以b=26=64，又因上边的数

与左边的数的和正好等于右边的数，所以a=11+64=75，故选B．

4、B

【解析】

∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，

右边三角形的数字规律为：2，，…，，

下边三角形的数字规律为：1+2，，…，，

∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n.

故选B．

【点睛】

考点：规律型：数字的变化类．

5、A

【解析】

直接根据圆周角定理即可得出结论．

【详解】

∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，

∴∠AOC=2∠B=150°．

故选A．

6、A

【解析】

将各选项中所给a的值代入命题“对于任意实数a，【详解】

（1）当a2时，aa ”中验证即可作出判断.

a22，?a(2)2，此时aa，

∴当a2时，能说明命题“对于任意实数a，aa ”是假命题，故可以选A；

a（2）当111a， a3时，33，此时aa，

a∴当13时，不能说明命题“对于任意实数a，aa ”是假命题，故不能B；

（3）当a1时，a1，?a1，此时aa，

”是假命题，故不能C； ∴当a1时，不能说明命题“对于任意实数a，（4）当a∴当aaa?a2aa2时，a2，，此时，

2时，不能说明命题“对于任意实数a，aa ”是假命题，故不能D；

故选A.

【点睛】

熟知“通过举反例说明一个命题是假命题的方法和求一个数的绝对值及相反数的方法”是解答本题的关键.

7、A

【解析】

根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．

【详解】

1x2xx=1，

去分母，得1-（x-2）=x，故①错误，

故选A．

【点睛】

本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．

8、C

【解析】

试题分析：此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可

【详解】

.故选C.

解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得

1000（26-x）=2×800x，故C答案正确，考点：一元一次方程.

9、D

【解析】

根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．

【详解】

解：作AE⊥BC于E，

则四边形AECD为矩形，

∴EC=AD=1，AE=CD=3，

∴BE=4，

由勾股定理得，AB=AE2BE2=5，

∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，

D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，

故选D．

【点睛】

本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．

10、C

【解析】

直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．

【详解】

A、a3•a2=a5，故A选项错误；

12B、a﹣2=a，故B选项错误；

C、33﹣23=3，故C选项正确；

D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D选项错误，

故选C．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1．

【解析】

∵ABCD的周长为33，∴2（BC+CD）=33，则BC+CD=2．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=3．

又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．∴OE=BC．

1∴△DOE的周长=\"OD+OE+DE=\" OD +2（BC+CD）=3+9=1，即△DOE的周长为1．

12、17

【解析】

过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l1于F，如 图，

∵EF⊥l2，l1∥l2∥l1，

∴EF⊥l1⊥l1，

∴∠ABE+∠EAB=90°,∠AEB=∠BFC=90°，

又∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠FBC=90°，

∴∠EAB=∠FBC，

在△ABE和△BCF中，

AEBBFC{EABFCBABBC，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF=5，AE=BF=7，

在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2，

∴AB2=74，

11∴S△ABC=2AB⋅BC=2AB2=17.

故答案是17.

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线间的距离，三角形的面积公式，解题的关键是做辅助线，构造全等三角形，通过证明三角形全等对应边相等，再利用三角形的面积公式即可得解.

13、x≥1且x≠1

【解析】

根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解.

【详解】

x10解：根据题意得：x30，

{解得x≥1，且x≠1，

即：自变量x取值范围是x≥1且x≠1．

故答案为x≥1且x≠1．

【点睛】

本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．

14、10

【解析】

如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．由四边形ADEF是菱形，推出F，D关于直线AE对称，推出PF=PD，推出PF+PB=PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是线段BD的长．

【详解】

如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．

∵四边形ADEF是菱形，

∴F，D关于直线AE对称，

∴PF=PD，

∴PF+PB=PA+PB，

∵PD+PB≥BD，

∴PF+PB的最小值是线段BD的长，

13∵∠CAB=180°-105°-45°=30°，设AF=EF=AD=x，则DH=EG=2x，FG=2x，

∵∠EGB=45°，EG⊥BG，

1∴EG=BG=2x，

31∴x+2x+2x=3+3，

∴x=2，

∴DH=1，BH=3，

2213∴BD==10，

∴PF+PB的最小值为10，

故答案为10．

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．

15、二

【解析】

根据点在第二象限的坐标特点解答即可．

【详解】

∵点A的横坐标-2＜0，纵坐标1＞0，

∴点A在第二象限内．

故答案为：二．

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

16、1

【解析】

a22a1（)分析：先由a2﹣a﹣1=0可得a2﹣a=1，再把（a﹣a ）a1的第一个括号内通分，并把分子分解因式后约分化简，然后把a2﹣a=1代入即可.

详解：∵a2﹣a﹣1=0，即a2﹣a=1，

a22a1a2aa1 ∴原式=a1=2aa2a1

=a（a﹣1）

=a2﹣a=1，

故答案为1

点睛：本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确掌握分式混合运算的顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里，整体代入法是求代数式的值常用的一种方法.

三、解答题（共8题，共72分）

17、x+y，3．

【解析】

试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．

xxy(xy)(xy)y(xy)(xy)yy试题解析：原式=xy =xy=x+y，

1()1当x=32，y=2=2时，原式=3﹣2+2=3．

3545112218、（1）B（1，0），C（0，﹣4）；（2）点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（5，5）或（5，﹣5﹣4）或（﹣4535555，5﹣4）；（1）2．

【解析】

试题分析：（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；

（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2的值，过P2作P2FCP2PEBP2 =2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=1P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到2﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2，EP2的值，求得P2的坐标，过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

1（1）如图1中，连接AP，由OB=OA，BE=EP，推出OE=2AP，可知当AP最大时，OE的值最大．

y试题解析：（1）在42x49中，令y=0，则x=±1，令x=0，则y=﹣4，∴B（1，0），C（0，﹣4）；

故答案为1，0；0，﹣4；

（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，分两种情况：

①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，连接BC，∵OB=1．OC=4，∴BC=5，∵CP2⊥BP2，CP2=5，P2FCP2PEBP2=2，∴BP2=25，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形，∴22222BE3x1111设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，∴BE=1﹣x，CF=2x﹣4，∴CF2x4 =2，∴x=5，2x=5，∴FP2=5，EP2=5，2211∴P2（5，﹣5），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2）；

CHP4HP4C5OCBC =5，②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，∴OB35354545∴CH=5，P4H=5，∴P4（5，﹣5﹣4）；

4535同理P1（﹣5，5﹣4）；

354545351122综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（5，5）或（5，﹣5﹣4）或（﹣5，5﹣4）；

1（1）如图（1），连接AP，∵OB=OA，BE=EP，∴OE=2AP，∴当AP最大时，OE的值最大，∵当P在AC的延长5555线上时，AP的值最大，最大值=55，∴OE的最大值为2．故答案为2．

131372010219、（1）y=﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值为2；（3）①存在，P的坐标为（3，9）或（3，9）；②38＜t＜3．

【解析】

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），根据系数的关系，即可解答

（2）先求出当x=0时，C的坐标，设直线AC的解析式为y=px+q，把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），得出DE+DF=﹣x2+2x+3+10（x-1）=﹣x2+（2+10）x+3-10，即可解答

（3）①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，求出直线PC的解析式，再结合抛物线的解析式可求出P1，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，再利用A的坐标求出P2，即可解答

②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况，即可解答

【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

pq0q3（2）当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，p3q3，∴直线AC的解析式为y=3x+3，如答图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3）解得，

∵DF∥AC，

∴∠DFG=∠ACO，易知抛物线对称轴为x=1，

∴DG=x-1，DF=10（x-1），

∴DE+DF=﹣x2+2x+3+10（x-1）=﹣x2+（2+10）x+3-10，

1∴当x=13102，DE+DF有最大值为2；

答图1 答图2

（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

1∴直线PC的解析式可设为y=3x+m，把C（0，3）代入得m=3，

7xyx22x33x0117y20yx3y3或9，则此时P1点坐标为（3，3∴直线P1C的解析式为y=3x+3，解方程组，解得20119）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=3x+n，把A（﹣1，0）代入得n=3，

10xyx2x33x1111110y13yxxy0或9，3333∴直线PC的解析式为y=，解方程组，解得则此时P2点坐标为（3，21313720109），综上所述，符合条件的点P的坐标为（3，9）或（3，9）；

28②3＜t＜3．

【点睛】

此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.

3yx，yx2；20、 (1) （2）1x0或x3.

【解析】

y（1）把点A坐标代入mm0ykxbk0x可求出m的值即可得反比例函数解析式；把点A、点C代入1可求出k、b的值，即可得一次函数解析式；（2）联立一次函数和反比例函数解析式可求出点B的坐标，根据图象，求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围即可．

【详解】

（1）把A3,1y代入mm0x得m3.

y3x ∴反比例函数的表达式为13kbA3,1B0,22b，

ykxb把和代入得k1b2 解得∴一次函数的表达式为yx2.

3yxyx2B1,3（2）由得

∴当1x0或x3时，y1y2.

【点睛】

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．

21、.（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据网格结构找出点B、C旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可.

（2）先求出AC的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解.

【详解】

解：（1）△AB′C′如图所示：

（2）由图可知，AC=2，

9022360∴线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积.

22、1

【解析】

先将除式括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择合适的x值，代入求值．

【详解】

x1解：原式＝2x1x1x1x1x1x1．

2x解3x20得，

x12,?x21，

2∵x1时，x1无意义，

∴取x2．

当x2时，原式＝211．

11(0,)2 23、 (1)k=-2,b=1;(1) (0,1)和【解析】

分析：（1） 由直线ykx3经过点C2，2k，可得117yx2bx2．由抛物线42的对称轴是直线x2，可得b1，进而得到A、B、D的坐标，然后分两种情况讨论即可；

17a2a2）（3）设E（a，4，E关于直线AB的对称点E′为（0，b），EE′与AB的交点为P．则EE′⊥AB，P为EE′的中点，列方程组，求解即可得到a的值，进而得到答案．

详解：（1） 由直线ykx3经过点C2，2k，可得12．

17yx2bx42的对称轴是直线x2，可得b1． 由抛物线1yx32 ∵直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，

∴点A的坐标是036，0，，点B的坐标是．

92，∵抛物线的顶点是点D，∴点D的坐标是2．

∵点G是y轴上一点，∴设点G的坐标是0，m．

∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，GBCBCD，

∴△BCG与△BCD相似有两种可能情况：

3m5＝BGBC55＝，．

2，解得m＝1，∴点G的坐标是01①如果CBCD，那么3m5＝1BGBC155＝m＝0，2，∴点G的坐标是2． ②如果CDCB，那么2，解得10，01，综上所述：符合要求的点G有两个，其坐标分别是和2 ．

17a2a2）（3）设E（a，4，E关于直线AB的对称点E′为（0，b），EE′与AB的交点为P，则EE′⊥AB，P为EE′712aab422a1a2a7b1a04232222的中点，∴ ，整理得：aa20，∴(a-1)(a+1)=0，解得：a=－1或a=1．

179a2a2=4； 当a=－1时，4179a2a2=2； 当a=1时，4991，2，4或2． ∴点E的坐标是

点睛：本题是二次函数的综合题．考查了二次函数的性质、解析式的求法以及相似三角形的性质．解答（1）问的关键是要分类讨论，解答（3）的关键是利用两直线垂直则k的乘积为－1和P是EE′的中点．

24、（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；

（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．

试题解析：（1）连结DO．

∵AD∥OC，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COD=∠COB． 3分

又∵CO＝CO, OD＝OB

∴△COD≌△COB（SAS） 4分

∴∠CDO=∠CBO=90°．

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵△COD≌△COB．

∴CD=CB．

∵DE=2BC，

∴ED=2CD．

∵AD∥OC，

∴△EDA∽△ECO．

∴，

∴．

考点：1.切线的判定2.全等三角形的判定与性质3.相似三角形的判定与性质．


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