2022年中考数学冲刺密卷一含答案解析

2024年3月6日发(作者：杭州八县联考数学试卷)

2022一诊（指标到校）考试数学冲刺密卷一

一．选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1．比﹣2小的数是（ ）

A．2 B．0 C．﹣22 D．﹣（﹣1）

【解答】解：﹣22＝﹣4，﹣（﹣1）＝1，

∵﹣4＜﹣2＜0＜1＜2，

∴比﹣2小的数是﹣22．

故选：C．

2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误．

故选：C．

3．计算（﹣2ab2）3，结果正确的是（ ）

A．﹣2a3b6 B．﹣6a3b6 C．﹣8a3b5 D．﹣8a3b6

【解答】解：（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6．

故选：D．

4．如图，△ABC与△A\'B\'C\'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A是OA\'的中点，△ABC的面积是6，则△A\'B\'C\'的面积为（ ）

1

A．9 B．12 C．18 D．24

【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A是OA\'的中点，

∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，

∵△ABC的面积为6，

∴△A′B′C′的面积为24，

故选：D．

5．估计A．3和4之间

【解答】解：∵4＜即×＜5，

的值在4和5之间．

×的值应在（ ）

B．4和5之间

＝，

C．5和6之间 D．6和7之间

故选：B．

6．下列命题是真命题的是（ ）

A．对角线相等的平行四边形是菱形

B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C．对角线相互垂直且相等的四边形是菱形

D．有一组对边平行且相等的四边形是菱形

【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意；

B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；

C、对角线互相垂直平分的四边是四菱形，故错误，不符合题意；

D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误，不符合题意；

故选：B．

2

7．如图，AB是圆O的直径，C、D在圆上，连接AD、CD、AC、BC．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（ ）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【解答】解：∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CAB＝35°，

∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，

∴∠ADC＝∠B＝55°，

故选：C．

8．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行八十步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”把这道题翻译成现代文，意思就是：走路快的人走了80步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，则下面所列方程正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，

根据题意，得故选：B．

9．春节前，某加工厂接到面粉加工任务，要求5天内加工完220吨面粉．加工厂安排甲、乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继

＝，

3

续加工，直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量y（吨）与甲组加工时间x（天）之间的关系如图所示，结合图象，下列结论错误的是（ ）

A．乙组中途休息了1天

B．甲组每天加工面粉20吨

C．加工3天后完成总任务的一半

D．3.5天后甲乙两组加工面粉数量相等

【解答】解：由图象可得：2﹣1＝1，即乙组加工中途停工1天，故选项A是正确的，

甲组每天加工面粉数量为：＝20（吨），故选项B是正确的，

甲组加工3天的面粉数量为20×3＝60（吨），

乙组第一天加工15吨，第三天加工面粉数量为：＝35（吨），

∴加工3天后面粉数量为：60+15+35＝110（吨），完成总任务的一半，故C选项正确，

3.5天后甲组加工面粉数量为20×3.5＝70（吨），乙组加工面粉数量为15+35×1.5＝67.5（吨），D选项错误，

故选：D．

10．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）

4

A． B．4 C． D．

【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，

∵BF⊥AE，

∴DL∥BF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，

∴BL∥DF，

∴四边形BFDL是平行四边形，

∵∠AGB＝90°，

∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE＝CF，

∵E为BC中点，

∴BE＝CF＝BC＝CD，

∴DF＝CF＝CD，

∴BL＝DF＝CD＝AB，

∴AL＝BL＝AB，

∴＝＝1，

∴AH＝GH，

∵DA＝AB＝4，

5

∴DG＝DA＝4，

故选：B．

11．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有符合条件的整数a之和为（ ）

A．﹣5 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4

【解答】解：解不等式组得

∵不等式组无解，

∴a≤﹣1，

解分式方程得y＝（a≠1），

∵分式方程有正整数解，a是整数，

∴a＝0，﹣1，﹣5，

∴所有符合条件的整数a的值之和是﹣5+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣8．

故选：C．

12．若定义一种新的取整符号[ㅤ]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.6]＝﹣2，则下列结论正确的是

①[﹣3.1]+[2]＝﹣2；

②[x]+[﹣x]＝0；

6

③方程x﹣[x]＝的解有无数多个；

④若[x﹣1]＝3，则x的取值范围是4≤x＜5；

⑤当﹣1≤x＜1时，则[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1或2．

A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④

【解答】解：对于①，[﹣3.1]+[2]＝﹣4+2＝2，正确；

对于②，由[﹣0.5]+[0.5]＝﹣1+0＝﹣1，不正确；

对于③，当x＝0.5，1.5，2.5，...时，方程均成立，正确；

对于④，由[x﹣1]＝3，得3≤x﹣1＜4，即4≤x＜5，正确；

对于⑤，当x＝﹣1或0时，[x+1]+[﹣x+1]＝2；

当﹣1＜x＜0时，[x+1]+[﹣x+1]＝0+1＝1；

当0＜x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]＝1+0＝1．

故[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2，⑤不正确．

故选：D．

二．填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。

13．计算＝ π﹣2﹣ ．

【解答】解：原式＝π﹣1+2﹣＝π﹣2﹣．

．

﹣3

故答案为：π﹣2﹣14．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的三个小球，小球上分别标有﹣1，2，3三个数，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k，放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b．两次抽取完毕后，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象经过的象限相同的概率为 ．

【解答】解：由题意可得，

7

∵从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k，放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b，

∴直线y＝kx与反比例函数y＝2），（2，3），（3，2），（3，3），

∴直线y＝kx与反比例函数y＝的图象经过的象限相同的概率为：．

的图象经过的象限相同的可能性为：（﹣1，﹣1），（2，15．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是 8﹣π ．

【解答】解：作DH⊥AE于H，

∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，

∴AB＝＝，

，△DHE≌△BOA， 由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝∴DH＝OB＝2，

阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积

＝×5×2+×2×3+﹣

＝8﹣π，

8

故答案为：8﹣π．

16．为让市民感受春天，中央公园管委会决定圈出一块地打造一片花园，花园中种植桃花，樱花，李花供市民欣赏．经过一段时间，花园中已种植的桃花，樱花，李花面积之比为5：4：6．根据市民的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的种植李花，则李花种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使桃花种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是 22：81 ．

【解答】解：设该村已种花面积x，余下土地面积为y，还需种植樱花的面积为z，则总面积为（x+y），桃花已种植面积依题意可得，

x、樱花已种植面积x，李花已种植面积x，

，

解得：，

∴花园内种植樱花的面积是：x+＝+＝，

9

∴花园内种植樱花的面积与花园内种植这三种花的总面积之比是：＝，

故答案为22：81．

三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

17．计算：

（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣a（a+3b）；

（2）÷（x﹣）．

【解答】解：（1）原式＝a2﹣4b2﹣a2﹣3ab

＝﹣4b2﹣3ab；

（2）原式＝÷

＝÷

＝•

＝．

18．如图，在菱形ABCD中，∠C＝30°，连接BD．

（1）用尺规完成以下基本作图：作线段AB的中垂线，交AD于点E，连接BE，在CD上截取CF，

使CF＝AE，连接BF．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不写结论）

（2）在（1）所作的图形中，求tan∠DFB的值．

1 0

【解答】解：（1）如图，BE、CF、BF为所作；

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴DA＝DC，BD平分∠ADC

∵AE＝CF，

∴DA﹣AE＝DC﹣CF，即DE＝DF，

在△BDE和△BDF中，

，

∴△BDE≌△BDF（SAS），

∴BE＝BF，

∵E点为AB的垂直平分线上的点，

∴EA＝EB，

∴BF＝AE＝CF，

∴∠FBC＝∠C＝30°，

∴∠DFB＝∠FBC+∠C＝60°，

∴tan∠DFB＝tan60°＝

四．解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应

．

1 1

的位置上.

19．“双减”政策落实下，学生在完成寒假作业之余，每天有更多时间进行体育锻炼．为了了解学生体育锻炼时间具体情况，北关中学入学后，对八，九年级学生寒假每天体育锻炼时间进行了问卷调查，现从八、九年级各抽取了15名同学的调查数据进行整理、描述和分析如下：（调查数据用x表示，共分成四组：A：0≤x＜0.5，B：0.5≤x＜1，C：1≤x＜1.5，D：1.5≤x≤2，单位为小时）

八年级抽取的15名同学的调查数据是：0.1，0.4，0.6，0.7，0.8，1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.4，1.6，1.8，2

九年级抽取的15名同学调查数据中，B、D两组数据个数相等，A，C两组同学的调查数据是：0.4，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4，1.4

年级

平均数

中位数

众数

八年级

1.1

1.2

b

九年级

1.3

a

1.4

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述图表中a，b，m的值：a＝ 1.4 ，b＝ 1.2 ，m＝ 144 °；

（2）根据以上数据，你认为该校八，九年级中哪个年级学生锻炼时间更多？并说明理由（说明一条理由即可）．

（3）若每天体育锻炼时间超过1小时视为有良好的生活习惯，该校八年级共有600人，九年级共有900人参加了此次问卷调查，估计两个年级有良好生活习惯的学生人数一共是多少人？

【解答】解：（1）九年级学生每天体育锻炼时间在A组的有1人，在C组的有6人，

1 2

又B、D两组人数相等，

所以B、D组的人数分别为＝4（人），

将九年级15名学生的每天锻炼时间从小到大排列后，处在中间位置的一个数，即第8个数据是1.4，因此中位数是1.4，即a＝1.4；

八年级15名学生的每天锻炼时间出现次数最多的是1.2小时，共出现3次，因此众数是1.2小时，即b＝1.2，

九年级C组的人数占调查人数的144°，即m＝144，

故答案为：1.4，1.2，144；

（2）九年级学生锻炼时间较长，理由：九年级学生每天锻炼时间的平均数较大；

（3）600×＝360+400

＝760（人），

答：两个年级有良好生活习惯的学生人数一共是760人．

20．如图，反比例函数过点A（﹣1，﹣3），连接AO并延长交反比例函数图象于点+900×

，因此所对应的圆心角的度数为360°×＝B，C为反比例函数图象上一点，横坐标为﹣3，一次函数y2＝ax+b经过B，C两点，与x轴交于点D，连接AC，AD．

（1）求反比例函数y1和一次函数y2的解析式；

（2）求△ACD的面积；

（3）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围．

1 3

【解答】解：（1）将（﹣1，﹣3）代入y1＝得﹣3＝﹣k，

解得k＝3，

∴y1＝，

∵A，B在反比例函数图象上，

∴点A，B关于原点成中心对称，

∴点B坐标为（1，3），

把x＝﹣3代入y1＝得y1＝﹣1，

∴点C坐标为（﹣3，﹣1），

将（1，3），（﹣3，﹣1）代入y2＝ax+b得，解得，

∴y2＝x+2．

（2）如图，作DE∥y轴交AC于点E，

1 4

设AC所在直线解析式为y＝mx+n，

将（﹣1，﹣3），（﹣3，﹣1）代入y＝mx+n得，

解得∴y＝﹣x﹣4，

，

将y＝0代入y2＝x+2得x+2＝0，

解得x＝﹣2，

∴点D坐标为（﹣2，0），

把x＝﹣2代入y＝﹣x﹣4得y＝﹣2，

∴点E坐标为（﹣2，﹣2），DE＝2，

∴S△ACD＝S△CDE+S△ADE＝DE•（xD﹣xC）+DE•（xA﹣xD）＝×[﹣2﹣（﹣3）]+2×[﹣1﹣（﹣2）]＝2．

（3）由图象可得当x＜﹣3或0＜x＜1时，曲线在直线BC上方，

∴当y1＞y2时，x＜﹣3或0＜x＜1．

21．如图，重庆是著名的山城，为了测量坡度为的斜坡BC上的建筑物AB的高度，一个数学兴趣小组站在山脚点C处沿水平方向走了6米到达点D，再沿斜坡DF行走26米到达点F，再向前走了20米到达一个比较好的测量点G，在G点测量得建筑物底部B的仰角为26.5°，建筑物顶部A的仰角为30°，已知斜坡DF的坡度为1：2.4，测量员

1 5

的身高忽略不计，A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面内，AB⊥CD于点H，DE⊥FG于点E．

（1）求点G到山脚C的水平距离；

（2）求建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，）

【解答】解：（1）如图，连接BG，分别过点H、C作HN⊥EG于点N，CM⊥EG于点M，

由题意可得，CD＝6米，DF＝26米，FG＝20米，

∵HN⊥EG，CM⊥EG，

∵斜坡DF的坡度为1：2.4，DF＝26米，

∴设DE＝x米，则EF＝2.4米，

由勾股定理可得x2+（2.4x）2＝262，

解得x＝10，

∴DE＝10米，EF＝24米，

∵ME＝CD＝6米，

∴MG＝ME+EF+FG＝6+24+20＝50（米），

答：点G到山脚C的水平距离是50米；

（2）∵HN⊥EG，CM⊥EG，

∴HN＝CM＝DE＝10米，

设BH＝x，

1 6

∵斜坡BC的坡度为1：，

∴HC＝x米，

∴NG＝MN+MG＝HC+MG＝∵∠BGN＝26.5°，

∴tan26.55°＝x+50，HN＝x+10，

＝0.5，

解得x＝45，即BN＝45+10＝55（米），NG＝60+50＝110（米），

∵∠AGN＝30°，

∴tan30°＝解得AB≈8.5，

答：建筑物AB的高度约是8.5米．

22．新春佳节期间，家家户户需购置大量年货，其中零食和水果是必需品．某小区商贩大批购进旺旺大礼包和沙田柚，已知购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元．

（1）请求出每个旺旺大礼包和沙田柚的进价．

（2）年前该商贩将旺旺大礼包进价提高60%出售，沙田柚售价每个8元，每天可销售沙田柚50个，年后需求量下降，该商贩决定在年前售价的基础上降价促销以增加销量，尽可能多地减少库存，若旺旺大礼包每降价2元，每天销量在40个的基础上增加10个，年后沙田柚打7.5折出售，每天销量在年前基础上增加10个，若要使年后每天利润达到780元，则旺旺大礼包售价需降低多少元出售？

【解答】解：（1）设每个旺旺大礼包的进价为x元，沙田柚的进价为y元，

依题意得：，

＝＝，

解得：．

1 7

答：每个旺旺大礼包的进价为25元，沙田柚的进价为4元．

（2）设每个旺旺大礼包降低m元出售，则每天的销量为40+×10＝（40+5m）个，

依题意得：（25×60%﹣m）（40+5m）+（8×75%﹣4）×（50+10）＝780，

整理得：m2﹣7m+12＝0，

解得：m1＝3，m2＝4．

又∵要尽可能多地减少库存，

∴m＝4．

答：旺旺大礼包售价需降低4元出售．

23．对于任意一个四位数N，如果N满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”．对于一个“双减数”，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定；F．

例如：N＝7028．因为2×（7﹣8）＝0﹣2，故7028是一个“双减数”，则．

（1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出F（N）的值；

（2）若自然数A为“双减数”，F（A）是3的倍数，且A各个数位上的数字之和能被13整除，求A的值．

【解答】解：（1）9527：5﹣2＝3，9﹣7＝2，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；

6713：7﹣1＝6，6﹣3＝3，满足6＝2×3，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；

F（6713）＝＝3．

∴9527不是双减数，6713是双减数，F（6713）＝3．

（2）设A＝，由题意可知，F（A）是3的倍数，且A各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．

1 8

∴F＝3k．

a+b+c+d＝13n②（n为正整数，能被13整除说明是13的倍数），

b﹣c＝2（a﹣d）③，

由③式可得知，3k①．

∴﹣＝36k，（说明﹣是36的倍数），

最大为98，最小为10，

﹣的结果中，个位数是十位数的两倍，而且F＝根据“双减数“各位数不重复与d≠0的性质，∴ab﹣dc最大为88，

∴﹣＝36或72（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），

∴a﹣d＝3，b﹣c＝6，

即a＝d+3④，b＝6+c⑤，

将④⑤代入②可得，（d+3）+（b+c）+c+d＝13n，

同理，根据“双减数“的性质可得a+b+c+d的最大值为9+8+7+6＝30，最小值为0+1+2+3＝6，

∴6≤a+b+c+d≤30，

∴a+b+c+d是13的倍数，

∴a+b+c+d只能取13或26．

①当a+b+c+d＝l3时，可得d+c＝2，

∴d与c的值可能为，（舍去），（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除），

即；

②当a+b+c+d＝26时，可得2（d+c）＝17，

d+c＝（舍去）（由于dc不为整数，与题意不符，故舍去），

1 9

∴a＝d+3＝2+3＝5，b＝c+6＝6

∴A＝5602．

24．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝（1）求二次函数解析式；

（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90°至△P\'C\'D\'；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点．

M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标．

【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，3），

∴OC＝3，

∵tan∠CBO＝∴OB＝6，

∴点B的坐标为（6，0），

由抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），

将点C（0，3）代入解析式为a×（0+2）×（0﹣6）＝3，

∴a＝﹣，

＝，

2 0

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3．

（2）过点P作PF∥x轴交BC于点F，

∵PE∥BC，

∴四边形PEBF为平行四边形，

∴PF＝BE，

∴PD+BE＝PD+PF，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点D的坐标为（m，﹣m+3），

∴PD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，

∵PF∥x轴，

∴点F和点P的纵坐标相等，即﹣x+3＝﹣m2+m+3，

∴x＝m2﹣2m，

∴点F的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+m+3），

∴PF＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，

∴PD+BE＝﹣m2+m+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，PD+BE的最大值为，

2 1

此时，点P的坐标为（3，）；

（3）由（2）中得，点P的坐标为（3，），

∴点D的坐标为（3，），

∵△PCD绕着点O顺时针旋转90°得到△P\'C\'D\'，C（0，3），

∴点C\'的坐标为（3，0），点D\'的坐标为（∵A（﹣2，0），C（0，3），

∴AC＝＝，

，﹣3），

∵抛物线沿射线CA方向平移，

∴抛物线向左平移了1个单位长度，向下平移了个单位长度，

∴平移后抛物线的对称轴为直线x＝＝1，

设点M（1，y），N（a，b），C\'（3，0），D\'（，﹣3），

①以MN为对角线时，如图①，有xM+xN＝xC\'+xD\'，yM+yN＝yC\'+yD\'，C\'M2+C\'N2＝MN2，

∴，解得：或，

2 2

∴点N的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；

②以MC\'为对角线时，如图②，有xM+xC\'＝xN+xD\'，yM+yC\'＝yN+yD\'，C\'M2＝C\'N2+MN2，

∴，解得：，

∴点N的坐标为（，）；

③以MD\'为对角线时，如图③，有xM+xD\'＝xN+xC\'，yM+yD\'＝yN+yC\'，C\'M2+MN2＝C\'N2，

∴，解得：，

∴点N的坐标为（﹣，﹣2）；

综上所述，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，）或（﹣，﹣2）．

2 3

25．在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C＝∠D＝90°，且∠BAC+∠E＝90°，A，B，E，F四点共线，M为BE中点，连接CM与DM．

（1）如图1，若点B与点F重合，点A与点M重合，且长；

（2）如图2，若点A与点F重合，且∠BCM＝∠ADM，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，若BC：AC：CM＝1：2：2；

，N为AD上一点，连，DE＝3，求AC的接BN．将△ABN沿BN翻折到△GBN，NG与AE交于点H，连接DH，当DH最大时，直接写出的值．

【解答】（1）解：∵∠FDE＝90°，点M是BE的中点，

∴BE＝2AD＝5，

∵DE＝3，

∴DF＝∵∠BAC+∠E＝90°，

∠BAC+∠ABC＝90°，

∴∠E＝∠ABE，

∵∠C＝∥FDE＝90°，

∴△ABC∽△BED，

＝4，

2 4

∴＝，

∴AC＝DF＝2；

（2）证明：如图1，

延长AC至G，使AG＝AD，连接EG，取CG的中点H，连接HM，在△AEG和△AED中，

，

∴△AEG≌△AED（SAS），

∴∠AGE＝∠EDF＝90°，

∴∠AGE＝∠ACB，

∴BC∥GE，

∵M是BE的中点，

∴HM∥EG∥BC，

∴∠MHC＝∠AGE＝90°，∠BCM＝∠CMH，

∴CM＝GM，

∴∠MCG＝∠MGC，∠CMH＝∠HMG，

同理可得：△AMG≌△AMD，

∴∠ADE＝∠CGM，DM＝GM，

∴∠CGM＝∠GCM＝∠CMH＝∠GMH，

∴∠MCG＝∠CGM＝45°，∠CMG＝90°，

∴CG＝GM＝DM，

∴AD＝AG＝CG+AC＝+AC；

2 5

（3）如图2，

作BP⊥GN于P，

不妨设BC＝1，则AC＝2，AB＝，

∵∠G＝∠BAN，∠CAB＝∠BAN，

∴∠G＝∠ACAB，

∵∠ACB＝∠BPG，

∴△ABC≌△GBP（AAS），

∴BP＝BC＝1，

∵BH≥BP＝1，

∵BH越小，DH越大，

∴当BH＝1，GN⊥AB时，DH最大，

如图3，

作DR⊥AE于R，

∵PC＝CM＝4，

2 6

∴AD＝AP＝AC+PC＝6，

∵∠ARD＝∠BAC＝90°，∠DAR＝∠BAC，

∴△ABC∽△ADR，

∴＝＝，

∴DR＝BC＝，

可得AM＝2，

由△AHN∽△ACB得，

＝＝，

∴HN＝＝，

∴＝＝＝．．

2 7

2 8