数学建模算法大全时间序列模型

2024年3月8日发(作者：高中数学试卷资源网站)

第二十四章 时间序列模型

时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。

时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。

1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。

2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。

3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间t无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足：

（1）均值为常数

（2）协方差为时间间隔的函数。

则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。

4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。

§1 确定性时间序列分析方法概述

时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。

（1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。

（2）季节变动。

（3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。

（4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。

通常用Tt表示长期趋势项，St表示季节变动趋势项，Ct表示循环变动趋势项，Rt表示随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：

（1）加法模型

ytTtStCtRt

（2）乘法模型

ytTtStCtRt

（3）混合模型

ytTtStRt

ytStTtCtRt

22其中yt是观测目标的观测记录，E(Rt)0，E(Rt)。

如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差2较小，并且有理

-280-

由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下：

1.1 移动平均法

设观测序列为y1,,yT，取移动平均的项数NT。一次移动平均值计算公式为：

1(ytyt1ytN1)

N1111)

(yt1ytN)(ytytN)Mt((ytytN)

1NNN

Mt(1)二次移动平均值计算公式为：

Mt(2)111)(2)1)(Mt(1)Mt()M(Mt(1)Mt(N1t1N)

NN当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次移动平均方法建立预测模型：

ˆt1Mt(1)

y其预测标准误差为：

T1ˆtyˆtN1)，tN,N1,，

(yN

StN1ˆ(ytyt)2，

TN最近N期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般N取值范围：5N200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N的取值应较大一些。否则N的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择最佳N值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。均方预测误差最小者为好。

当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常用二次移动平均法，但序列同时存在线性趋势与周期波动时，可用趋势移动平均法建立预测模型：

ˆTmaTbTm，m1,2,

y2(1)(2)(1)(2)MT其中aT2MT，bT(MTMT)。

N1例1 某企业1月～11月份的销售收入时间序列如下表所示。取N4，试用简单一次滑动平均法预测第12月份的销售收入，并计算预测的标准误差。

月份t 1 2 3 4 5 6

销售收入yt 533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0

月份t 7 8 9 10 11 12

销售收入yt 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7

-281-

解： 首先计算出

Mt(1)ˆt1由于y1(ytyt1yt3)，t4,5,,11

4(1)ˆ12M11Mt(1)，t4,5,,11，则y 993.6，预测的标准误差为

Sˆ(yt511tyt)2150.5

114计算的Matlab程序如下：

y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 ...

816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];

temp=cumsum(y);

mt=(temp(4:11)-[0 temp(1:7)])/4

y12=mt(end)

ythat=mt(1:end-1);

fangcha=mean((y(5:11)-ythat).^2);

sigma=sqrt(fangcha)

1.2 指数平滑法

一次移动平均实际上认为最近N期数据对未来值影响相同，都加权1；而NN期以前的数据对未来值没有影响，加权为0。但是，二次及更高次移动平均数的权数却不是1，且次数越高，权数的结构越复杂，但永远保持对称的权数，即两端N项权数小，中间项权数大，不符合一般系统的动态性。一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。所以，更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值。指数平滑法可满足这一要求，而且具有简单的递推形式。

设观测序列为y1,,yT，为加权系数，01，一次指数平滑公式为：

(1)(1)(1)(1)

Styt(1)St1St1(ytSt1) （1）

假定历史序列无限长，则有

S(1)tyt(1)[yt1(1)S(1)t2](1)jytj （2）

j0(1)（2）式表明St是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为,(1),(1)2,；显然有

j1

(1)1(1)j0

-282-

由于加权系数序列呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响，所以（2）称为一次指数平滑，类似地，二次指数平滑公式为：

2)

St(2)St(1)(1)St(（3）

1

同理，三次指数平滑公式为：

3)

St(3)St(2)(1)St(1

（4）

一般P次指数平滑公式为：

P)

St(P)St(P1)(1)St(1

（5）

利用指数平滑公式可以建立指数平滑预测模型。原则上说，不管序列的基本趋势多么复杂，总可以利用高次指数平滑公式建立一个逼近很好的模型，但计算量很大。因此用的较多的是几个低阶指数平滑预测模型。

（1）一次指数平滑预测

ˆt1St(1)，

y（2）线性趋势预测模型－Brown单系数线性平滑预测（二次指数平滑预测）

ˆtmatbtm，m1,2,

y其中at2St(1)St(2)，bt(St(1)St(2))

11Ctm2，m1,2,

2 （3）二次曲线趋势预测模型－Brown单系数二次式平滑预测

ˆtmatbtm

y其中at3St(1)3St(2)St(3)，

bt[(65)St(1)2(54)St(2)(43)St(3)]，

22(1)指数平滑预测模型是以时刻t为起点，综合历史序列的信息，对未来进行预测的。选择合适的加权系数是提高预测精度的关键环节。根据实践经验，的取值值愈大，范围一般以0.1～0.3为宜。加权系数序列衰减速度愈快，所以实际上取值大小起着控制参加平均的历史数据的个数的作用。值愈大意味着采用的数据愈少。因此，可以得到选择值的一些基本准则。

（1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则值应取小一些，以减少修正幅度，使预测模型能包含更多历史数据的信息。

（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化，则值应取得大一些。这样，可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。

(1)(2)(3)另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初始值S0,S0,S0。可以取前3～5个数据的算术平均值作为初始值。

例2 下表数据是某股票在8个连续交易日的收盘价，试用一次指数平滑法预

-283-

(1)y1，0.4）测第9个交易日的收盘价（初始值S0。

时间t 1 2 3 4 5 6 7 8

价格yt 16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05

解： 由于

(1)1)S0y1，St(1)yt(1)St(1，t1,2,,8

求得

ˆ9S8(1)17.18

y预测标准误差为：

Sˆ(yt28tyt)270.96

计算的Matlab程序如下：

alpha=0.4;

y=[16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05];

s1(1)=y(1);

for i=2:8

s1(i)=alpha*y(i)+(1-alpha)*s1(i-1);

end

yhat9=s1(end)

sigma=sqrt(mean((s1(1:end-1)-y(2:end)).^2))

例3 仍以例2为例。试用两次指数平滑法预测第9个交易日的收盘价(1)(2)（S0S0y1，0.4）。

(1)(2)解：

a82S8S817.38，b8(S8(1)S8(2))0.13，于是

1ˆ9a8b817.51。

y下面进行预测误差分析，取

ˆt1atbt(2St(1)St(2))y预测标准误差

81(St(1)St(2))St(1)(St(1)St(2))

11

Sˆ(yt1tyt)21.21

82计算的Matlab程序如下：

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clc,clear

alpha=0.4;

y=[16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05];

s1(1)=y(1);

for i=2:8

s1(i)=alpha*y(i)+(1-alpha)*s1(i-1);

end

s2=y(1);

for i=2:8

s2(i)=alpha*s1(i)+(1-alpha)*s2(i-1);

end

a8=2*s1(8)-s2(8)

b8=alpha/(1-alpha)*(s1(8)-s2(8))

yhat9=a8+b8

yhat(1)=y(1)

for i=2:8

yhat(i)=s1(i-1)+1/(1-alpha)*(s1(i-1)-s2(i-1));

end

temp=sum((yhat-y).^2);

sigma=sqrt(temp/6)

§2 平稳时间序列模型

这里的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。

下面自回归模型（Auto Regressive Model）简称AR模型，移动平均模型（Moving

Average Model）简称MA模型，自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving Average

Model）简称ARMA模型。下面的Xt为零均值（即中心化处理的）平稳序列。

（1）一般自回归模型AR(n)

假设时间序列Xt仅与Xt1,Xt2,,Xtn有线性关系，而在Xt1,Xt2,,Xtn已知条件下，Xt与Xtj(jn1,n2,)无关，at是一个独立于2)。

Xt1,Xt2,,Xtn的白噪声序列，at~N(0,aXt1Xt12Xt2nXtnat

上式还可以表示为

atXt1Xt12Xt2nXtn

可见，AR(n)系统的响应Xt具有n阶动态性。AR(n)模型通过把Xt中的依赖于Xt1,Xt2,,Xtn的部分消除掉之后，使得具有n阶动态性的序列Xt转化为独立的序列at。因此，拟合AR(n)模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。

-285-

（2）移动平均模型MA(m)

AR(n)系统的特征是系统在t时刻的响应Xt仅与其以前时刻的响应Xt1,Xt2,,Xtn有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在t时刻的响应Xt，与其以前时刻t1,t2,的响应Xt1,Xt2,无关，而与其以前时刻t1,t2,,tm进入系统的扰动at1,at2,,atm存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为MA(m)系统。

Xtat1at12at2matm

（3）自回归移动平均模型

一个系统，如果它在时刻t的响应Xt，不仅与其以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统。

ARMA(n,m)模型为

Xt1Xt1nXtnat1at1matm

对于平稳系统来说，由于AR、MA、ARMA(n,m)模型都是ARMA(n,n1)模型的特例，我们以ARMA(n,n1)模型为一般形式来建立时序模型。

§3 ARMA模型的特性

在时间序列的时域分析中，线性差分方程是极为有效的工具。事实上，任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程。

3.1 AR(1)系统的格林函数

格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。

AR(1)模型为

Xt1Xt1at

设Xt1y(t)，则有

y(t1)1y(t)at （6）

显然是一个一阶非齐次差分方程。

由于

Xt1Xt1at1(1Xt2at1)at

12Xt21at1at

13Xt312at21at1at

依次递推下去，可得到

Xt1jatj （7）

j0显然（7）式是差分方程（6）的解。

方程解的系数函数1j客观地描述了该系统的动态性，故这个系统函数就叫做

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记忆函数，也叫格林函数。若用Gj表示，则AR(1)模型的格林函数可以表示为

Gj1j

这样（7）式可等价地写成：

XtGjatj （8）

j0上式也可写成

Xt这里G01。

定义后移算子B，BXtXt1,B2XtXt2,，这样，AR(1)可写成

k01Gttkak

(11B)Xtat

它的解为

Xt111Bat(11B12B2)at

at1at112at2

Gajj0tj

由于格林函数就是差分方程解的系数函数，格林函数的意义可概括如下：

（1）Gj是前j个时间单位以前进入系统的扰动atj对系统现在行为（响应）影响的权数。

（2）Gj客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。

（3）对于一个平稳系统来说，在某一时刻由于受到进入系统的扰动at的作用，1的值较小，离开其平衡位置（即平均数－零），Gj描述系统回到平衡位置的速度，速度较快；1的值较大，回复的速度就较慢。

3.2

ARMA(2,1)系统的格林函数

（1）ARMA(2,1)系统的格林函数的隐式

ARMA(2,1)模型是一个二阶非齐次差分方程

Xt1Xt12Xt2at1at1

设该二阶非齐次差分方程的解为

XtGjatjj0

（9）

为方便起见，可用B算子：

(11B2B2)Xt(11B)at （10）

-287-

j（11）

XtGBjat

j0把（11）式代入（10），比较两边B的同次幂的系数得

G01，G111，Gj1Gj12Gj2,j3,4,

（2）ARMA(2,1)系统的格林函数的显式

ARMA(2,1)模型实质上是一个二阶非齐次差分方程：

Xt1Xt12Xt2at1at1

欲求其解，必须先求出其相应的齐次差分方程的通解。

齐次方程对应的特征方程为

2120，

特征根为

1112422，2112422

齐次差分方程的通解为

j

Gjc11jc22其中c1和c2是任意常数，其值由初始条件唯一地确定。这里的初始条件为：

G01

GG111111于是有

G0c1c21

G1c11c2211而121，即

c1c21

cc2212111解之，得

111，c22

1221则ARMA(2,1)系统的格林函数为：

1j21j12

Gj11221

c13.3 逆函数和可逆性

前面的格林函数，把Xt表示为过去at对Xt的影响，或者说系统对过去at的记忆性，也就是用一个MA模型来逼近Xt的行为。平稳序列Xt的这种表达形式称为Xt的“传递形式”。同样我们也可以用过去的Xt的一个线性组合来逼近系统现在

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时刻的行为。即

XtI1Xt1I2Xt2atIjXtjat

j1我们把这种表达形式称为Xt的“逆转形式”。其中的系数函数Ij(I01)称为逆函数。可见它是一个无穷阶的自回归模型。一个过程是否具有逆转形式，也就是说逆函数是否存在的性质，通常称为过程是否具有可逆性，如果一个过程可以用一个无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，我们就称该过程具有可逆性，否则，就是不可逆的。

对于AR（2）模型

Xt1Xt12Xt2at

有

I11，I22，Ij0,j3,4,

可见，所谓可逆性，是指移动平均模型可以用AR模型表示。

MA(1)模型：

Xt(11B)at

那么

Xt22at(11B1B)XtXt1jXtj

11Bj1即

Xt(1jXtj)at

j1可见，Ij1j，显然，只有|1|1时，才有j，Ij0，故MA（1）的可逆性条件为

|1|1

§4 时间序列建模的基本步骤

上面我们介绍了时间序列的一些基本概念，下面我们初步给出时间序列建模的基本步骤，有兴趣的读者可以去查阅相关的参考资料。

时间序列建模的基本步骤如下：

1．数据的预处理：数据的剔取及提取趋势项。

2．取n1，拟合ARMA(2n,2n1)（即ARMA(2,1)）模型

（1）p3，拟和AR(p)模型。

设所要拟合的模型为Xt1Xt12Xt23Xt3at，

用最小二乘法拟合出系数1,2,3。

注意到对于AR(p)模型，jIj，这里Ij是模型的逆函数，于是可得到I1,I2,I3的值。

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（2）估计ARMA(2,1)模型Xt1Xt12Xt2at1at1参数的初始值。

对于ARMA(2,1)模型，我们有：

IjIj10,于是

j2，

I3I201I3。

I2注意：以AR(3)中的I1,I2,I3替代ARMA(2,1) 中的I1,I2,I3是一种近似代替。通过这种方法求得的1的绝对值若大于1，则取其倒数作为初始值，以满足可逆性条件。

知道了I1,I2,I3及1，再用下式来确定ARMA(2,1)模型中的1,2：

1I11；221I1I2。

（3）以（2）中得到的1,2,1为初始值，利用非线性最小二乘法得到1,2,1的终值及置信区间，并且求出残差平方和(RSS)。

3．nn1，拟合ARMA(2n,2n1)模型

其基本步骤与2类似。

4．用F准则检验模型的适用性。若F检验显著，则转入第2步。若F检验不显著，转入第5步。

对于ARMA模型的适用性检验的实际就是对at的独立性检验。检验at的独立性的一个简便而有效的办法是拟合更高阶的模型。若更高阶模型的残差平方和有明显减少，就意味着现有模型的at不是独立的，因而模型不适用；若更高阶模型的残差平方和没有明显减少，同时更高阶模型中的附加参数的值也很小（其置信区间包含0），则可认为该模型是适用的。具体的检验准则如下。

设有模型ARMA(n1,m1)和ARMA(n2,m2)，n2n1,m2m1。假设A0ARMA(n1,m1)模型的残差at之平方和，A1ARMA(n2,m2)模型的残差at之平方和，N是采集数据的数目，则检验准则为：

AA0A0F1~F(s,N)，

sN其中n2m2，sn2m2(n1m1)。

若这样得到的F值超过由F分布查表所得的在5%置信水平上的F(s,N)值，那么由ARMA(n1,m1)模型改变为ARMA(n2,m2)时，残差平方和的改善是显著的，因而拒绝关于模型ARMA(n1,m1)的适用性假设；F值低于查表所得之值，就可以认为在该置信水平上这个模型是适用的。

5．检查2n,2n1的值是否很小，其置信区间是否包含零。若不是，则适用的若2n,2n1很小，且其置信区间包含零，则拟合ARMA(2n1,2n2)。

6．利用F准则检验模型ARMA(2n,2n1)和ARMA(2n1,2n2)，若F值

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模型就是ARMA(2n,2n1)。

不显著，转入第7步；若F值显著，转入第8步。

7．舍弃小的MA参数，拟合m2n2的模型ARMA(2n1,m)，并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。

8．舍弃小的MA参数，拟合m2n1的模型ARMA(2n,m)，并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B.

Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义

例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2应满足

max（目标函数）z4x13x2 (1)

2x1x210xx8（约束条件） （2）

x27x1,x20这里变量x1,x2称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

-291-

1.2 线性规划的Matlab标准形式

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中规定线性规划的标准形式为

min cTx such that Axb

x

Aeqxbeq

lbxub

其中c和x为n维列向量，A、Aeq为适当维数的矩阵，b、beq为适当维数的列向量。

例如线性规划

max cTx such that Axb

x的Matlab标准型为

min cTx such that Axb

x1.3 线性规划问题的解的概念

一般线性规划问题的标准型为

max(3)

s.t.

(4)

zcjxjj1n

aj1nijxjbii1,2,,m

xj0j1,2,,n可行解 满足约束条件（4）的解x(x1,x2,,xn)，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。

可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

1.4 线性规划的图解法

-292-

1z=1200246810x1+x2=8(2,6)x2=72x1+x2=10

图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。我们先应用图解法来求解例1。对于每一固定的值z，使目标函数值等于z的点构成的直线称为目标函数等位线，当z变动时，我们得到一族平行直线。对于例1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。不难看出，本例的最优解为

x*(2,6)T，最优目标值z*26。

从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言：

（1）可行域R可能会出现多种情况。R可能是空集也可能是非空集合，当R非空时，它必定是若干个半平面的交集（除非遇到空间维数的退化）。R既可能是有界区域，也可能是无界区域。

（2）在R非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。

（3）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域R的“顶点”。

上述论断可以推广到一般的线性规划问题，区别只在于空间的维数。在一般的n维空间中，满足一线性等式aixib的点集被称为一个超平面，而满足一线性i1n不等式axii1nib（或aixib）的点集被称为一个半空间（其中(a1,,an)为i1n一n维行向量，b为一实数）。若干个半空间的交集被称为多胞形，有界的多胞形又被称为多面体。易见，线性规划的可行域必为多胞形（为统一起见，空集也被视为多胞形）。

在一般n维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。二维空间中的顶点可以看成为边界直线的交点，但这一几何概念的推广在一般n维空间中的几何意义并不十分直观。为此，我们将采用另一途径来定义它。

12定义1 称n维空间中的区域R为一凸集，若x,xR及(0,1)，有

-293-

x1(1)x2R。

定义2 设R为n维空间中的一个凸集，R中的点x被称为R的一个极点，若不存在x1、x2R及(0,1)，使得xx1(1)x2。

定义1 说明凸集中任意两点的连线必在此凸集中；而定义2 说明，若x是凸集R的一个极点，则x不能位于R中任意两点的连线上。不难证明，多胞形必为凸集。同样也不难证明，二维空间中可行域R的顶点均为R的极点（R也没有其它的极点）。

1.5 求解线性规划的Matlab解法

单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一。这里我们就不介绍单纯形法，有兴趣的读者可以参看其它线性规划书籍。下面我们介绍线性规划的Matlab解法。

Matlab中线性规划的标准型为

min cTx such that Axb

x

Aeqxbeq

lbxub

基本函数形式为linprog(c,A,b)，它的返回值是向量x的值。还有其它的一些函数调用形式（在 Matlab 指令窗运行 help linprog 可以看到所有的函数调用形式），如：

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

这里fval返回目标函数的值，LB和UB分别是变量x的下界和上界，x0是x的初始值，OPTIONS是控制参数。

例2 求解下列线性规划问题

max z2x13x25x3

x1x2x37

2x15x2x310

x,x,x0123解 （i）编写M文件

c=[2;3;-5];

a=[-2,5,-1]; b=-10;

aeq=[1,1,1];

beq=7;

x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))

value=c\'*x

（ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。

（iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。

例3 求解线性规划问题

min z2x13x2x3

-294-

x14x22x38

3x12x26

x,x,x0123解 编写Matlab程序如下：

c=[2;3;1];

a=[1,4,2;3,2,0];

b=[8;6];

[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))

1.6 可以转化为线性规划的问题

很多看起来不是线性规划的问题也可以通过变换变成线性规划的问题来解决。如：

例4 规划问题为

min|x1||x2||xn|s. t. Axb其中x[x1xn]T，A和b为相应维数的矩阵和向量。

要把上面的问题变换成线性规划问题，只要注意到事实：对任意的xi，存在

ui,vi0满足

xiuivi，|xi|uivi

事实上，我们只要取ui这样，记u[u1题变成

minxi|xi||x|xi，vii就可以满足上面的条件。

22un]T，v[v1vn]T，从而我们可以把上面的问(ui1nivi)

A(uv)b

s. t.



u,v0例5

min{max|i|}

xiyi其中ixiyi。

对于这个问题，如果我们取x0max|i|，这样，上面的问题就变换成

yi

minx0

s. t. x1y1x0,,xnynx0

此即我们通常的线性规划问题。

§2 运输问题(产销平衡)

例6 某商品有m个产地、n个销地，各产地的产量分别为a1,,am，各销地

-295-

的需求量分别为b1,,bn。若该商品由i产地运到j销地的单位运价为cij，问应该如何调运才能使总运费最省？

解：引入变量xij，其取值为由i产地运往j销地的该商品数量，数学模型为

minmncxi1j1ijij

nxijai,i1,,mj1ms.t.

xijbj,j1,2,,n

i1xij0显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

nnmmbjxijxijai

j1i1j1j1i1i1nm其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）。

§3 指派问题

3.1 指派问题的数学模型

例7 拟分配n人去干n项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第i人去干第j项工作，需花费cij单位时间，问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？

容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵C(cij)，C被称为指派问题的系数矩阵。

引入变量xij，若分配i干j工作，则取xij1，否则取xij0。上述指派问题的数学模型为

mincxi1j1nnijij

-296-

s.t.

nxij1j1nxij1

i1xij0 或 1



(5)

(5)的可行解既可以用一个矩阵表示，其每行每列均有且只有一个元素为1，其余元素均为0，也可以用1,,n中的一个置换表示。

(5)的变量只能取0或1，从而是一个0-1规划问题。一般的0-1规划问题求解极为困难。但指派问题并不难解，其约束方程组的系数矩阵十分特殊（被称为全单位模矩阵，其各阶非零子式均为1），其非负可行解的分量只能取0或1，故约束xij0或1可改写为xij0而不改变其解。此时，指派问题被转化为一个特殊的运输问题，其中mn，aibj1。

3.2 求解指派问题的匈牙利算法

由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家Konig提出的更为简便的解法—匈牙利算法。算法主要依据以下事实：如果系数矩阵C(cij)一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵B(bij) ，则以C或B为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。

例8 求解指派问题，其系数矩阵为

1617

C2417151922211918

221817192216解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得

10

B171047421

510360再将第3列元素各减去1，得

10*37*0411

B2*7500*1350

-297-

以B2为系数矩阵的指派问题有最优指派

1234

2134由等价性，它也是例7的最优指派。

有时问题会稍复杂一些。

例9 求解系数矩阵C的指派问题

12797989666

C717121412

151466104107106解：先作等价变换如下

76764 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但n5，最优指派还无法看出。此时等价变换还可进行下去。步骤如下：

(1) 对未选出0元素的行打；

(2) 对行中0元素所在列打；

(3) 对列中选中的0元素所在行打；

重复（2）、（3）直到无法再打为止。

可以证明，若用直线划没有打的行与打的列，就得到了能够覆盖住矩阵中所有零元素的最少条数的直线集合，找出未覆盖的元素中的最小者，令行元素减去此数，列元素加上此数，则原先选中的0元素不变，而未覆盖元素中至少有一个已转变为0，且新矩阵的指派问题与原问题也等价。上述过程可反复采用，直到能选取出足够的0元素为止。例如，对例5变换后的矩阵再变换，第三行、第五行元素减去2，第一列元素加上2，得

12797950*20896662300*7171214120*105715146610980*036410710606 205

4274

0110

-298-

020230008353

80044140

12345现在已可看出，最优指派为24135。



§4 对偶理论与灵敏度分析

4.1 原始问题和对偶问题

考虑下列一对线性规划模型：

max和

cTx s.t.

Axb,x0 (P)

bTy s.t.

ATyc,y0 (D)

min称（P）为原始问题，（D）为它的对偶问题。

不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置”：

（1） 原始问题中的第j列系数与其对偶问题中的第j行的系数相同；

（2） 原始目标函数的各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同；

（3） 原始问题右侧的各常数列与其对偶目标函数的各个系数行相同；

（4） 在这一对问题中，不等式方向和优化方向相反。

考虑线性规划：

b,x0

把其中的等式约束变成不等式约束，可得

Ab

mincx s.t.

x,x0

Ab它的对偶问题是

yAT1c

y2其中y1和y2分别表示对应于约束Axb和Axb的对偶变量组。令yy1y2，则上式又可写成

maxbTy s.t. ATyc

maxbTybT1y2s.t. AT原问题和对偶的对偶约束之间的关系：

min

max

变量行约束00

行约束无限制00

变量000

000

无限制4.2 对偶问题的基本性质

-299-

1o

对称性：对偶问题的对偶是原问题。

2o

弱对偶性：若x是原问题的可行解，y是对偶问题的可行解。则存在cTxbTy。

3o

无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。

ˆ是对偶问题的可行解，ˆ是原问题的可行解，y4o

可行解是最优解时的性质：设xˆbTyˆ时，xˆ,yˆ是最优解。

当cTx5o

对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相同。

ˆ,yˆ分别是原问题和对偶问题的最优解，则 6o

互补松弛性：若xˆT(Axˆb)0,xˆT(ATyˆc)0

y例10 已知线性规划问题

min2x13x25x32x43x5

x1x22x3x43x54

2x1x23x3x4x53

xj0,*已知其对偶问题的最优解为y1j1,2,,5

4*3试用对偶理论找出原问题的最优,y2;z5。55解。

解 先写出它的对偶问题

max①

②

2y13y35

③

y1y22

④

3y1y23

⑤

y1,y20

**,y2将y1的值代入约束条件，得②，③，④为严格不等式；由互补松弛性得*****x2x3x40。因

y1,y20；原问题的两个约束条件应取等式，故有

**x13x54

**2x1x53

z4y13y2

y12y22

y1y23

-300-

**1,x51；故原问题的最优解为

求解后得到x1

X*[10001]\';*5 。

4.3 灵敏度分析

在以前讨论线性规划问题时，假定aij,bi,cj都是常数。但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条件一变，cj值就会变化；aij往往是因工艺条件的改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选择。因此提出这样两个问题：当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化；或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。这里我们就不讨论了。

4.4 参数线性规划

参数线性规划是研究aij,bi,cj这些参数中某一参数连续变化时，使最优解发生变化的各临界点的值。即把某一参数作为参变量，而目标函数在某区间内是这参变量的线性函数，含这参变量的约束条件是线性等式或不等式。因此仍可用单纯形法和对偶单纯形法进行分析参数线性规划问题。

习 题 一

1．试将下述问题改写成线性规划问题：

mmm

maxminai1xi,ai2xi,,ainxi

xii1i1i1x1x2xm1

st.

xi0,i1,,m2．试将下列问题改写成线性规划问题：

maxzcj|xj|

j1nnaijxjbi(i1,2,,m)

st.j1

x取值无约束j3．线性回归是一种常用的数理统计方法，这个方法要求对图上的一系列点(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)选配一条合适的直线拟合。方法通常是先定直线方程为yabx，然后按某种准则求定a,b。通常这个准则为最小二乘法，但也可用其他准则。试根据以下准则建立这个问题的线性规划模型：

min|yi1ni(abxi)|

4．某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A,B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1,A2表示；有三种规格的设备能完成B

-301-

工序，它们以B1,B2,B3表示。产品I可在A,B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

设备

产 品

I

5

7

6

4

7

0.25

1.25

II

10

9

8

0.35

2.00

III

12

11

0.50

2.80

设备有效台时

6000

10000

4000

7000

4000

满负荷时的

设备费用(元)

300

321

250

783

200

A1

A2

B1

B2

B3

原料费(元/件)

单 价(元/件)

5．有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表：

工作

C

A

B

D

工人

甲

15 18 21 24

19 23 22 18

乙

26 17 16 19

丙

19 21 23 17

丁

问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？

6．某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行4千米）外，起飞和降落每次各消耗100升。有关数据如表所示。

要害部位

1

2

3

4

-302-

离机场距离

（千米）

450

480

540

600

摧毁可能性

每枚重型弹 每枚轻型弹

0.10 0.08

0.20 0.16

0.15 0.12

0.25 0.20

为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案，要求建立这个问题的线性规划模型。

7．用Matlab求解下列线性规划问题：

maxz3x1x2x3

x12x2x3114xx2x3123 s.t.



2xx113x1,x2,x308．用Matlab求解下列规划问题：

minz|x1|2|x2|3|x4|4|x4|

x1x2x3x40 s.t.

x1x2x33x41

1x1x22x33x42

第二章 整数规划

§1 概论

1.1 定义

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。

1.2 整数规划的分类

如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类：

1o

变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。

2o

变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

1.2 整数规划特点

（i） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：

①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。

②整数规划无可行解。

例1 原线性规划为

minzx1x2

2x14x25,x10,x20

-303-

其最优实数解为：x10,x255,minz。

44③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。

例2 原线性规划为

zx1x2

2x14x26,x10,x20

33其最优实数解为：x10,x2,minz。

22若限制整数得：x11,x21,minz2。

（ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

1.3 求解方法分类：

（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。

（ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。

（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：

①过滤隐枚举法；

②分枝隐枚举法。

（iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。

（v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。

下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。

§2 分枝定界法

对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。

分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。

设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作z；而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z。分枝定界法就是将B的可行域分成子区域的方法。逐步减小z和增大z，最终求到z*。现用下例来说明：

例3 求解下述整数规划

-304-

min

z40x190x2

9x17x256

7x120x270

x,x0且为整数12解 （i）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B，得最优解为：

Maxx14.8092,x21.8168,z355.8779

可见它不符合整数条件。这时z是问题A的最优目标函数值z*的上界，记作z。而x10,x20显然是问题A的一个整数可行解，这时z0，是z*的一个下界，记作z，即0z*356。

（ii）因为x1,x2当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选x1进行分枝，把可行集分成2个子集：

x1[4.8092]4，x1[4.8092]15

因为4与5之间无整数，故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。这一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下：

z40x190x2

9x17x256

7x120x270

0x4,x012最优解为：x14.0,x22.1,z1349。

问题B1：

Maxz40x190x2

9x17x256

7x120x270

x5,x021最优解为：x15.0,x21.57,z1341.4。

再定界：0z*349。

（iii）对问题B1再进行分枝得问题B11和B12，它们的最优解为

问题B2：

MaxB11:x14,x22,z11340

B12:x11.43,x23.00,z12327.14

再定界：340z*341，并将B12剪枝。

（iv）对问题B2再进行分枝得问题B21和B22，它们的最优解为

B21:x15.44,x21.00,z22308

B22无可行解。

将B21,B22剪枝。

于是可以断定原问题的最优解为：

x14,x22,z*340

-305-

从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：

开始，将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。

（i）解问题B可能得到以下情况之一：

（a）B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止．

（b）B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解，则停止。

（c）B有最优解，但不符合问题A的整数条件，记它的目标函数值为z。

（ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取xj0,j1,,n，试探，求得其目标函数值，并记作z。以z*表示问题A的最优目标函数值；这时有

zz*z

进行迭代。

第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件

xj[bj] 和

xj[bj]1

将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数条件求解这两个后继问题。

定界，以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界z。从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界z，若无作用z不变。

第二步：比较与剪枝，各分枝的最优目标函数中若有小于z者，则剪掉这枝，即以后不再考虑了。若大于z，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直到最后得到z*z为止。得最优整数解x*,,n。

j,j1

§3

01型整数规划

它的变量xj仅取值0或1。这时xj01型整数规划是整数规划中的特殊情形，称为01变量，或称二进制变量。xj仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：

0xj1，整数

所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。在实际问题中，如果引入

01变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。我们先介绍引入01变量的实际问题，再研究解法。

3.1 引入01变量的实际问题

3.1.1 投资场所的选定——相互排斥的计划

例4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置（点）Ai(i1,2,,7)可供选择。规定

在东区。由A1,A2,A3三个点中至多选两个；

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在西区。由A4,A5两个点中至少选一个；

在南区，由A6,A7两个点中至少选一个。

如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？

解题时先引入01变量xi(i1,2,,7)

令

1,当Ai点被选中，

i1,2,,7.

xi0，当Ai点没被选中.于是问题可列写成：

Maxzcixi

i177bixiBi1

x1x2x32xx154xi0或1x6x71,3.1.2 相互排斥的约束条件

有两个相互排斥的约束条件

5x14x224 或

7x13x245。

为了统一在一个问题中，引入01变量y，则上述约束条件可改写为：

5x14x224yM

7x13x245(1y)M

y0或1其中M是充分大的数。

约束条件

x10 或

500x1800

可改写为

500yx1800y

y0或1如果有m个互相排斥的约束条件：

ai1x1ainxnbii1,2,,m

为了保证这m个约束条件只有一个起作用，我们引入m个01变量yi(i1,2,,m)和一个充分大的常数M，而下面这一组m1个约束条件

ai1x1ainxnbiyiM（1）

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i1,2,,m

y1ymm1（2）

就合于上述的要求。这是因为，由于（2），m个yi中只有一个能取0值，设yi*0，代入（1），就只有ii*的约束条件起作用，而别的式子都是多余的。

3.1.3 关于固定费用的问题（Fixed Cost Problem）

在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。那时总设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必明显列出。但有些固定费用（固定成本）的问题不能用一般线性规划来描述，但可改变为混合整数规划来解决，见下例。

（1） 例5 某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自动化

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咖啡店创业计划书

第一部分：背景

在中国，人们越来越爱喝咖啡。随之而来的咖啡文化充满生活的每个时刻。无论在家里、还是在办公室或各种社交场合，人们都在品着咖啡。咖啡逐渐与时尚、现代生活联系在一齐。遍布各地的咖啡屋成为人们交谈、听音乐、休息的好地方，咖啡丰富着我们的生活，也缩短了你我之间的距离，咖啡逐渐发展为一种文化。随着咖啡这一有着悠久历史饮品的广为人知，咖啡正在被越来越多的中国人所理解。

第二部分：项目介绍

第三部分：创业优势

目前大学校园的这片市场还是空白，竞争压力小。而且前期投资也不是很高，此刻国家鼓励大学生毕业后自主创业，有一系列的优惠政策以及贷款支持。再者大学生往往对未来充满期望，他们有着年轻的血液、蓬勃的朝气，以及初生牛犊不怕虎的精神，而这些都是一个创业者就应具备的素质。大学生在学校里学到了很多理论性的东西，有着较高层次的技术优势，现代大学生有创新精神，有对传统观念和传统行业挑战的信心和欲望，而这种创新精神也往往造就了大学生创业的动力源泉，成为成功创业的精神基础。大学生创业的最大好处在于能提高自己的潜力、增长经验，以及学以致用;最大的诱人之处是透过成功创业，能够实现自己的理想，证明自己的价值。

第四部分：预算

1、咖啡店店面费用

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咖啡店店面是租赁建筑物。与建筑物业主经过协商，以合同形式达成房屋租赁协议。协议资料包括房屋地址、面积、结构、使用年限、租赁费用、支付费用方法等。租赁的优点是投资少、回收期限短。预算10-15平米店面，启动费用大约在9-12万元。

2、装修设计费用

咖啡店的满座率、桌面的周转率以及气候、节日等因素对收益影响较大。咖啡馆的消费却相对较高，主要针对的也是学生人群，咖啡店布局、格调及采用何种材料和咖啡店效果图、平面图、施工图的设计费用，大约6000元左右

3、装修、装饰费用

具体费用包括以下几种。

(1)外墙装饰费用。包括招牌、墙面、装饰费用。

(2)店内装修费用。包括天花板、油漆、装饰费用，木工、等费用。

(3)其他装修材料的费用。玻璃、地板、灯具、人工费用也应计算在内。

整体预算按标准装修费用为360元/平米，装修费用共360*15=5400元。

4、设备设施购买费用

具体设备主要有以下种类。

(1)沙发、桌、椅、货架。共计2250元

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(2)音响系统。共计450

(3)吧台所用的烹饪设备、储存设备、洗涤设备、加工保温设备。共计600

(4)产品制造使用所需的吧台、咖啡杯、冲茶器、各种小碟等。共计300

净水机，采用美的品牌，这种净水器每一天能生产12l纯净水，每一天销售咖啡及其他饮料100至200杯，价格大约在人民币1200元上下。

咖啡机，咖啡机选取的是电控半自动咖啡机，咖啡机的报价此刻就应在人民币350元左右，加上另外的附件也不会超过1200元。

磨豆机，价格在330―480元之间。

冰砂机，价格大约是400元一台，有点要说明的是，最好是买两台，不然夏天也许会不够用。

制冰机，从制冰量上来说，一般是要留有富余。款制冰机每一天的制冰量是12kg。价格稍高550元，质量较好，所以能够用很多年，这么算来也是比较合算的。

5、首次备货费用

包括购买常用物品及低值易耗品，吧台用各种咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的费用。大约1000元

6、开业费用

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开业费用主要包括以下几种。

(1)营业执照办理费、登记费、保险费;预计3000元

(2)营销广告费用;预计450元

7、周转金

开业初期，咖啡店要准备必须量的流动资金，主要用于咖啡店开业初期的正常运营。预计2000元

共计：

120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元

第五部分：发展计划

1、营业额计划

那里的营业额是指咖啡店日常营业收入的多少。在拟定营业额目标时，必须要依据目前市场的状况，再思考到咖啡店的经营方向以及当前的物价情形，予以综合衡量。按照目前流动人口以及人们对咖啡的喜好预计每一天的营业额为400-800，根据淡旺季的不同可能上下浮动

2、采购计划

依据拟订的商品计划，实际展开采购作业时，为使采购资金得到有效运用以及商品构成达成平衡，务必针对设定的商品资料排定采购计划。透过营业额计划、商品计划与采购计划的确立，我们不难了解，一家咖啡店为了营

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业目标的达成，同时有效地完成商品构成与灵活地运用采购资金，各项基本的计划是不可或缺的。当一家咖啡店设定了营业计划、商品计划及采购计划之后，即可依照设定的采购金额进行商品的采购。经过进货手续检验、标价之后，即可写在菜单上。之后务必思考的事情，就是如何有效地将这些商品销售出去。

3、人员计划

为了到达设定的经营目标，经营者务必对人员的任用与工作的分派有一个明确的计划。有效利用人力资源，开展人员培训，都是我们务必思考的。

4、经费计划

经营经费的分派是管理的重点工作。通常能够将咖啡店经营经费分为人事类费用(薪资、伙食费、奖金等)、设备类费用(修缮费、折旧、租金等)、维持类费用(水电费、消耗品费、事务费、杂费等)和营业类费用(广告宣传费、包装费、营业税等)。还能够依其性质划分成固定费用与变动费用。我们要针对过去的实际业绩设定可能增加的经费幅度。

5、财务计划

财务计划中的损益计划最能反映全店的经营成果。咖啡店经营者在营运资金的收支上要进行控制，以便做到经营资金合理的调派与运用。

总之，以上所列的六项基本计划(营业额、商品采购、销售促进、人员、经费、财务)是咖啡店管理不可或缺的。当然，有一些咖啡店为求管理上更深入，也能够配合工作实际需要制订一些其他辅助性计划。

第六部分：市场分析

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2019-2021年中国咖啡市场经历了高速增长的阶段，在此期间咖啡市场总体销售的复合增长率到达了17%;高速增长的市场为咖啡生产企业带给了广阔的市场空间，国外咖啡生产企业如雀巢、卡夫、ucc等企业纷纷加大了在中国的投资力度，为争取未来中国咖啡市场的领先地位打下了良好的基础。

咖啡饮料主要是指速溶咖啡和灌装即饮咖啡两大类咖啡饮品;在速溶咖啡方面，2018-2021年间中国速溶咖啡市场规模年均增长率到达16%，显示出还处于成长阶段的中国速溶咖啡市场的高增长性和投资空间;在灌装即饮咖啡方面，2008-2010年间中国灌装即饮咖啡市场年均增长率也同样到达15%;未来几年，中国咖啡饮料的前景仍将被看好。

现今咖啡店主要是以连锁式经营，市场主要被几个集团垄断。但由于几个集团的咖啡店并没有个性主题，很难配合讲求特式的年青人。我们亦有思考到其他饮品店的市场竞争状况，但发现这些类似行业多不是以自助形式经营，亦很难配合讲求效率的年青人。故我们认为开设自助式主题咖啡店能到达年青人的需要，尚有很多发展空间。有数据证明，中国的咖啡消费量正逐年上升，而有望成为世界重要的咖啡消费国。

第七部分：营销策略

1、同行业竞争分析

知己知彼，百战百胜。咖啡店经营者应随时关注竞争者的经营动态及其产品构成状况，并进行深入的比较与分析，借以占据经营上的有利地位，保证采取比竞争对手更有效的销售策略。

咖啡店经营者绝不能忽视市场情报，必须要随时掌握最新的相关资料与信息。针对咖啡店地址的特点与顾客特征，不断地提高产品与服务的质量，提高顾客来店的频率，进而提高咖啡店的业绩。

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2、销售促进计划

咖啡店基本的特点是定点营业。但是目前市场竞争日益激烈，为使业绩得到有力发展，咖啡店已经不能被动地等顾客上门光顾，而是务必主动地吸引顾客来店。因此销售促进活动的实施与宣传效果的诉求，同样不可或缺。一般，小型咖啡店无法比照大型咖啡店投入巨额的广告促销费用，所以要做到花小钱做大广告。海报、传单、邮寄信函等促销手段都能够使用。

3、日常运营计划

如何拟订经营计划对咖啡店来说，在整个营运过程中最关切的问题，可能就是每一天的营业额了。每家咖啡店往往都定有营业目标，更详细者甚至还定了区位、商品的目标，以作为衡量每一天营业状况的基准。

在拟订日常运营计划时，必须要依据设定的经营方针和营业额的预测、目标库存量的推算、损耗额的预估、采购预定额的估算，以及预定毛利的推算等，完成整体的运营计划。由于整个计划过程务必以数据为依据，所以数据库资料的建立，是进行销售计划拟订时必备的条件。即使是小型的咖啡屋也应以数据为基础，这样才有客观的衡量标准，而不是单凭印象、感觉和观察等。

第八部分：成长与发展

咖啡店目标消费群体多是大学生为主，选址在商业区、大学校区与路口交汇处，房租价格适中，装修要求较高，以致整体投资成本加大。大学生创业最重要的是心态，准确定位的基础上要对发展前景有信心，不能着急，盲目调整经营策略。经营咖啡店是个完美的愿望，但要有充足的心理准备，才能一步步走向成功，因此要想有一个简单的心态。

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