2024年3月8日发(作者：临翔区期末考数学试卷)

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半球体雪堆融化时间

系别：土木建筑工程学院

专业：土木（1）班

姓名：何泽波

学号：0161

一、摘要：一个半球体状的雪堆，在阳光下慢慢融化，过程中雪堆始终保持着半球体状，利用微分知识来解决雪堆融化的时间问题，并展开假设，当雪堆融化时保持锥形等其它形状，再次求解。

关键词

半径，半圆面积，半圆体积，常数，常微分

二、 提出问题：一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0。假设在融化过程中雪堆始终保持着半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的堆全部融化需要多少小时？

7，问雪8三、问题分析：

在融化过程，根据“一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0”的条件，我们可以列得方程然这里为常微分方程。

即可得到基本思路就是：先找到V(t)与S(t)的关系，将S(t)替换V(t)的代数式，再利用已知条件“半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的dV(t)KS(t)，显dt7，821则V(0)r03，V(3)r03”解出V(t)的具体表达式，而雪堆全部融化所用312的时间，为满足V(n)0的n值，解出n即为所求。

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四、建模过程

1、 模型假设：

在融化过程中雪堆始终保持着半球体状；

外界因素基本保持不变，即不影响计算结果。

2、符号说明：

t

t小时，t>0

S(t) ——

t时刻半球状球体表面面积

V(t) ——

t时刻半球状球体体积

r(t) ——

t时刻半球状球体半径

C —— 常数C

3、模型的建立：

（1）. 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例dV(t)系数K>0.即KS(t)。

dt2（2）.

雪堆始终保持着半球体状，则有V(t)r3(t)，S(t)2r2(t)。

37（3）. 半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，则821V(0)r03，V(3)r03。

312（4）. 雪堆全部融化所用的时间，为满足V(n)0的n值。

4、模型的求解：

22r(t

)因为有

S(t)解出关系:

18V(t)NV(t) ( 其中令N18 )

由13232313dV(t)KS(t)得：

dt求解常微分方程：

V(t)dV(t)KNdt （方程左右两边求积）

23解出3V(t)：

KNV(t)C31 ·····················○t·2页

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21： 因为又有V(0)r03 代入○32解出常数C：

Cr0

313常数C3代入1○得：

1KN23V(t)r0332 ·····················○t·因为又有V(3)12解出K值：

r03，代入○122解得V(t)： 代回○11123V(t)r0r01833183

···············○t·33则：

最后将V(n)0代入○所以

n1816 （小时）

2713答：雪堆全部融化需要6小时.

参考文献:

《大学数学实验》清华出版社 姜启源 邢文训 谢金星 杨顶辉 编著

总结：雪堆融化过程中，无论是保持半球型或圆锥等其它形状，根据计算，所用的融化时间都一样。所以，在日常生活中，在细心观察问题的同时，还要经过运算才能得到真理。

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