2024年4月17日发(作者：100字数学试卷反思)

目 录

摘要

................................................................................................................................................ 1

关键词

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Abstract

....................................................................................................................................... 1

Key words

.................................................................................................................................. 1

0 前言

........................................................................................................................................... 1

1 利用微分证明不等式

..................................................................................................... 1

1.1利用微分中值定理证明不等式

................................................................................. 1

1.2利用泰勒公式证明不等式

.......................................................................................... 2

1.3利用函数的增减性证明不等式

................................................................................. 3

1.4利用函数函数的最值和极值

..................................................................................... 4

1.5利用函数凹凸性证明不等式

..................................................................................... 6

1.6微分定义法证明不等式

.............................................................................................. 7

2 利用积分证明不等式

..................................................................................................... 7

2.1利用定积分定义及性质证明不等式

....................................................................... 7

2.2利用柯西不等式证明不等式

..................................................................................... 9

2.3利用积分上限函数(原函数法)证明不等式

......................................................... 10

参考文献

................................................................................................................................... 10

微积分在不等式中的应用

摘要

：

微积分和不等式都是数学中极为重要的内容，本文在回顾了几种常

用的证明不等式的初等方法后，利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、

极（最）值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，

最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用.

关键词

：微积分；不等式；导数；函数

Abstract

：

Calculus and inequality are very important contents of mathematics.

The paper reviews some common elementary methods to prove inequality, then

explores the proving method of inequality by using

differential mean value theorem,

Taylor formula,

monotony of function, determinate method of extreme (most) value,

definite integral quality and some other related knowledge of calculus, at last, the

paper points out the specific application of calculus in the proof of inequality.

Key words

: calculus; inequality; derivative; functions

0 前言

不等式涉及数量之间大小的比较，而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系.

因此，从某种意义上说, 对不等式的探讨，在数学分析中甚至比等式的推演更为重要.许多数

学家证明和发现了不少重要的不等式，许多著名不等式在数学分析中都起到了重要的作用.

所以对不等式的研究无论是实践应用，还是理论分析都有重要的意义.本章就从此基点出发，

介绍利用微积分法证明不等式的几种方法.

1 利用微分证明不等式

微分在不等式中的应用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、

极值、最值、凸函数法等来证明不等式.以下对这些方法分别做详细的介绍.

1.1利用微分中值定理证明不等式

定理1(微分中值定理） 如果函数

yf(x)

，满足下列条件:

(1)在闭区间

a,b

上连续；

(2)在开区间

(a,b)

内可导，

则在区间

(a,b)

内至少存在一点

，使得

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