高数论文——微积分中的微元法

2024年4月17日发(作者：小毕考往年数学试卷)

高数论文——微积分中的微元法

微积分中的微元法

班级12出版1班姓名陈薇

摘要：微积分是高等数学课程体系的基础和核心，微积分的理论

基础是在长期实践中逐步完善的；微积分中微分与积分思想方法的本

质是一致的，利用微积分解决实际问题的核心是微元法。微积分是与

应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已

广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们

学习各门学科的重要工具。

关键词：微积分微元法定积分

引言微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人

类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽

的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学

的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被

广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程

的分析，物理方面的应用，以及弹道、气象的计算，人造卫星轨迹的

计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的

广泛的应用，才使得我们人类在数学，科学技术、经济等方面得到了

长足的发展，解决了许多的困难。[1]

1 定积分的概念

定积分是积分教学的首要环节，因此讲好定积分的概念是非常重

要的。积分来源于实践，通过具体的实际问题引入，最终解决实际问

题，因此无论是理工类微积分教材，还是数学专业教材[2]，都首先分

析“求曲边梯形的面积”和“求变直线运动的路程”两个实例，通过

分割、近似代替、求和、取极限的过程，让大家意识到其实定积分是

微分和，是无穷小量和的极限[3]，从而引出定积分的概念。

设函数f(x )在[a，b]上有界，分割T把区间[a，b]分成n个小区间

[x

i-1

，

x i ]，(i=1，2，…，n)，每个小区间的长度为△x

i

= x

i

—x

i-1

，从区间[x

i-1

，x

i

]

内任取一点g

i ，作乘积f(g

i

) △x

i

，并作和∑n

i=1

f(g

i

) △x

i

，记入max = {△x }，

当入→0时，若极限lim

入→0∑n

i=1

f(g

i

) △x

i

存在，则称此极限I，为函数f(x )

在区间[a，b]上的定积分，记作I=∫b

a

f ( x)dx。

在学习和生活中，我们常常会遇到一些计算图形面积和体积的问

题，而且这些图形大多是无规则的，对这些图形的计算，如果用我们

以前计算面积和体积的数学公式是无法解决，因为从前所学的这些公

式都是对比较规则图形实用。但是我们应用了定积分，这样的问题就

可迎韧而解。

2 微元法的概念

微元法不仅是一种解决定积分应用的重要工具，更是一种重要的

思想方法，蕴含着深刻的哲学思想，只有深刻理解其实质，才能灵活

应用。先看看微元法的概念，从概念上来看凡是具有以下两种特征的

量都可以使用微元法来解决：(1)所求的量取决于某些变量在一个区域

上的函数；(2)所求的量在区域上具有可加性，而且其在区域上的部分

量可用变量微分的现性其次来近似表示．只要看出积分微元，所求的

量就是该微元法所论区域上的积分。从上述微元法解决问题的条件和

方法可以看出微元法具有很广泛的应用。

3 微元法的应用

在理论计算中，也就是在《高等数学》中，其应用在这些方面：

(1)虽然计算平面图形的面积是定积分的几何应用，但实际上用微元法

也可以求出平面方程的面积，先求出面积微元，整个面积就是该微元

在区域上的积分；而且使用微元法是更具有一般性的方法，不仅可以

解决平面直角坐标系上面积问题还可以解决极坐标系下平面图形的面

积问题。(2)可以使用微元法求截面面积再利用定积分来解决立体体积，

还可以使用微元法利用二重积分来计算立体体积，不管是利用定积分

还是二重积分都要使用微元法的思想；(3)利用微元法可以计算平面或

空问中曲线的长度；(4)还可以使用微元法计算空间中曲面的面积和侧

面积；(5)除了上述外，如果学生掌握了微元法的思想和利用其解决问

题的方法．那对他们后面的学习也是很有帮助的，能更好的掌握微积

分的思想和方法．然后使用这个数学工具来解决后面学习中的问题，

如可以很好的理解二重积分或者三重积分的

概念及其应用。[4]

当然微元法的应用绝不仅仅就只有这些微元法不仅是一种解决问

题的有用工具，还是一种深刻的哲学思想，如果我们能够很好的理解

微元法的思想．并将这种思想应用在其他学科的学习中，那能大大提

高学习能力：如果应用在将来的工作中，我想也能从中获益匪浅。所

以应该要给予微元法足够的重视，以提高我们大学生的学习兴趣，从

而提高学习效率。

4结论

从广泛应用的微元法看数学的简约性微积分是高等数学课程体系

的基础和核心，微积分的理论基础是在长期实践中逐步完善的；微积

分中微分与积分思想方法的本质是一致的。“微元法”通俗地说就是

把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部

分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。

微元法所以很有效，可以用于众多不同问题的解决，在于它的思想的

简洁性与普遍性：宏观是微观的累加，或说，微观构成了宏观。这是

多么简洁而普遍的事实。简约就是简洁的普遍性，是众多现象背后所

隐藏的统一的规律性，微元法很好地体现了数学的本质：数学是众多

事物现象背后所隐藏的简约的统一的普遍性，是事物内部属性的科学

描述。

微积分是与应用联系发展起来的。微积分的应用推动了数学的发

展，同时也极大的推动了天文学，物理学，化学，工程学，经济学等

自然科学，社会科学及应用科学各个分支中的发展，而且随着人类认

识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

参考文献：

[1]熊伟. 定积分的若干应用[J].学术观察,2009:5.

[2]华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．北京：高等教育

出版社，2001．

[3]郑维行．现代分析中的积分概念[J]．大学数学，1986：2—7．

[4]张玲.《高等数学》的教学中应重视和加强微元法[J]. 科技信息，

2007：35.