牛吃草问题(五年级奥数讲解及例题分析)

小学奥数之牛吃草问题

牛吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。

那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。

一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变 2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。

因此孩子要弄清楚三个量的关系：

第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）

第二：求出原有草量

第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机

二、解题基本思路

1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。

2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。

3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数

三、解题基本公式

解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：

1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）

2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数

3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）

4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度

四、下面举个例子

例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。

一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有：

（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）

（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）

（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15

（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72

（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－

15）＝72÷6＝12（天）

所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽

公式解法：

（1）草的生长速度=（207－162）÷（9－6）＝15

（2）牧场上原有草=（27－15）×6＝72

再把题目中的21头牛分成两部分，一部分15头牛去吃新长的草（因为新长的草每天长15份，刚好可供15头牛吃，剩下（21-15=6）头牛吃原有草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天））所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃完。

方程解答：

设草的生长速度为每天x份，利用牧场上的原有草是不变的列方程，则有

27×6-6x =23×9-9x

解出x=15份

再设21头牛，需要x天吃完，同样是根据原有草不变的量来列方程：

27×6-6×15 =23×9-9×15=（21-15）x

解出x=12（天）

所以养21头牛。12天可以吃完所有的草。

牛吃草问题试题总结

牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．

牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.

下面给出几例牛吃草及其相关问题．

1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．)

【分析与解】 27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；

23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，

现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；

所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周．

评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了．

一般方法：

先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙)；

再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙．

或者：(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．

巩固练习：

1、牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？

这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：

（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．

（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量．

（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天．

解答：解：设1头牛1天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20-15

×10=50．

为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20-10）=10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10=5．

现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10-5）×20=100．

那么：第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；

每天生长草量50÷10=5．

原有草量（10-5）×20=100或200-5×20=100．

25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20=5（天）．

答：可供25头牛吃5天．

点评：解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题．

这类问题的基本数量关系是：

1、（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草量．

2、牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草．

2.有三块草地，面积分别是5，15，24亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

考点：牛吃草问题．

分析：这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28

×45=1260份，所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45-30=15天，每亩面积长84-60=24份；则每亩面积每天长24÷15=1.6份．

所以，每亩原有草量60-30×1.6=12份，第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃．

解答：解：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60；

每亩45天的总草量为：28×45÷15=84；

那么每亩每天的新生长草量为（84-60）÷（45-30）=1.6；

每亩原有草量为：60-1.6×30=12；

那么24亩原有草量为：12×24=288；

24亩80天新长草量为24×1.6×80=3072；

24亩80天共有草量3072+288=3360；

所以有3360÷80=42（头）．

答：第三块地可供42头牛吃80天．

点评：本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量--生长的草量=消耗原有草量”这个关系式认真分析解决．

3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年．假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

分析：根据“100亿人生活100年，”知道一共有资源1万亿人每年，再根据“80亿人生活300年，”知道一共有资源2.4万亿人每年，即相差的1.4万亿人每年就是200年增长的，所以100年增长0.7万亿人每年，1年增长70亿人每年，当增长量等于消耗量时，可以永远生活，所以最多70亿人．