小学数学《牛吃草问题》教案

教学内容：

教学目标：

让学生掌握牛吃草问题的解题技巧，训练学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

教学重点：

学习牛吃草问题的基本解题思路，掌握牛吃草问题的解题方法。教学难点：

掌握牛吃草问题的解题技巧，以及这类问题的解题思路和方法。教学方法：自主探究、合作交流

教学准备：多媒体课件

教学过程：

一、故事导入

英国著名科学家牛顿的《算术》一书中有一道非常有名的题：有一片牧场，已知牛27头，6天把草吃尽，

同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21 头，几天能把草吃尽？以后人们把这类问题称为“牛吃草”问题。

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

二、自主探究，理解新知：

1、导入新课，学习新知。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶

（1）草的生长速度＝（相应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

三、自主探究：

1、出示例1：

【例1】一个牧场上有一片均速增长的青草，可供20头牛吃9周，或者供２5头牛吃6周．那么这片青草可供15头牛吃几周？

2、引导学生读题，分析题意：

3、学生自主探究。

4、交流汇报，教师点拨。

【思路点拨】：解决这类问题，关键是设法先求出草地上＂原有草量＂和单位时间内＂新长出＂的草量，再设想用＂几头牛＂专门吃单位时间内＂新生的草＂，＂剩下的牛＂去吃＂原有草＂．

20头牛９周原有草＋９周新生草；

25头牛6周原有草＋６周新生草；

１５头牛？周原有草＋？周新生草．

解决这类问题关键是要抓牧场总草量的变化．设一头牛一周吃的草量为１．则２０头牛９周吃草量为20×9＝180，２５头牛６周吃草量为：２５×６＝150；总吃草量相差：180－150＝３０，草的原有量是不变的，总吃草量之差是（９－６）＝３（周）的新生草．所以每天生长的青草为：30÷3＝10，所以每周新生的草够１０头牛吃的．最后来求这片青草供１５头牛吃几天就很容易了．

解：设１头牛一周的吃草量为＂１＂，

则２０头牛９周吃草量为20×9＝180；

２５头牛６周吃草量为：２５×６＝150；

每周生长的草量为：（１８０－１５０）÷（９－６）＝10

原有草量为：２０×９－１０×９＝９０；

１５头牛中，若有１０头专门吃新长出来的草，其它５头吃原有草，全部牧场的草可吃：９０÷（15－10）＝18（周）

答：这片青草可供15头牛吃18周.

四、巩固练习：

【变式题１】牧场上有一片草，每天匀速生长。这片草可供10头牛

吃２０天，可供１５头牛吃１０天。照这样计算，这片草可供２５头牛吃多少天？

五、学习例2：

1、出示例2：

【例2】有一池水，池底有泉水不断涌入。用１０台抽水机２０小时可以把水抽干；用１５台同样的抽水机，１０小时可以把水抽干。用２５台这样的抽水机，多少小时可以把水抽干？

2、引导学生读题，分析题意：

3、学生自主探究。

4、交流汇报，教师点拨。

【思路点拨】：此题看上去似乎和牛吃草问题无关，但是仔细分析会发现，我们可以把这类问题也归结为牛吃草问题。抽水机相当于牛，水相当于草。然后再利用解决牛吃草问题的方法解题即可。

10台抽水机20小时池子原有水＋20小时新涌入的水；15台抽水机10小时池子原有水＋10小时新涌入的水；

2５台抽水机？小时池子原有水＋？小时新涌入的水

假设一台抽水机１小时抽水量为“１”，

则１０台抽水机２０小时抽水量为：10×20＝200；１５台抽水机１０小时抽水量为：15×10＝150；总抽水量相差：２００－１５０＝50，池子原有水量是不变的，总抽水量之差是（20－10）＝10（小时）新涌入的；所以每小时的出水量为：50÷10＝5，所以池子原有水量为：10×20－20×5＝100，所以可用５台抽水机专门抽新涌入的水，

其余的20台专门抽原有水量，所以２５台抽水机抽水所需时间为：100÷（25-5）=5（小时）

解：设一台抽水机２小时抽水量为“１”

１０台抽水机２０小时抽水量为：10×20＝200；

１５台抽水机１０小时抽水量为：15×10＝150；

所以每小时的出水量为：（200－150）÷（20－10）＝５

所以２５台抽水机抽水所需时间为：100÷（25-5）=5（小时）

答：用２５台这样的抽水机，5小时可以把水抽干.

六、基础巩固：

【变式题2】有一口井，井底匀速涌出泉水，如果用６台抽水机抽水，２０天可把井水抽干；若用８台抽水机来抽，需要１０天把水抽干；那么现在要用五天时间把水抽干，需要多少台同样的抽水机？

七、课堂小结：

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：

1、(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量；