关于折纸的小学生数学智力题
  折纸为什么要比尺规作图更强?这是一个好问题。查字典数学网欢迎大家阅读折纸的小学生数学智力题，希望对您的学习有所帮助。
要解答为何折纸如此强大，首先我们得解决一个问题：什么叫折纸。折纸的游戏规则是什么?换句话说，折纸允许哪些基本的操作?大家或许会想到一些折纸几何必须遵守的规则：所有直线都由折痕或者纸张边缘确定，所有点都由直线的交点确定，折痕一律是将纸张折叠压平再展开后得到的，每次折叠都要求对齐某些已有几何元素(不能凭感觉乱折)，等等。不过，这些定义都太“空”了，我们需要更加形式化的折纸规则。 1991 年， Humiaki Huzita 指出了折纸过程中的 6 种基本操作(也可以叫做折纸几何的公理)：
1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕
2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去(想象这张纸是透明的，所有几何对象正反两面都能看见，下同)
3. 已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上去
4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上
5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上
6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上
容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的(有时甚至是作不出来的)。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。
操作 6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解!
一组限定条件能同时产生三个解，这让操作 6 变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作 6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程!
让我们来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：
1. 过已知两点作直线
2. 给定圆心和圆周上一点作圆
3. 寻找直线与直线的交点
4. 寻找圆与直线的交点
5. 寻找圆与圆的交点
这五项操作看上去变化多端，但前三项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看，尺规作图最多只能解决二次问题，加减乘除和不断开方就已经是尺
规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则，势必比尺规作图更加强大。
正因为如此，一些尺规作图无法完成的任务，在折纸几何中却能办到。这就回到了文章开头提到的问题：用折纸法可以实现作正七边形，而这是无法用尺规作图办到的。
我们有更简单的例子来说明，用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍，本质上是求作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方，因而它无法完成“倍立方体”的任务。但是，折纸公理 6 相当于解三次方程，解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。
有意思的是，用纸片折出 2 的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形纸片，将它横着划分成三等份(方法有很多，大家不妨自己想想)。然后，将右边界中下面那个三等分点折到正方形内上面那条三等分线上，同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。那么，纸片的左边界就被分成了radic;2: 1 两段。
利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系，我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算，来看看三次方程是如何产生的。
本文写到这里，大家或许以为故事就结束了吧。 10 年以后(也就是 2019 年)，事情又有了转折： Koshiro Hatori 发现， Humiaki Huzita 的 6 个折纸公理并不是完整的。 Koshiro Hatori 给出了折纸的第 7 种操作。从形式上看，第 7 公理与已有的公理如出一辙，并不出人意料，很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前，大家不妨先自己想想，这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。
Koshiro Hatori 补充的公理是：
7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线，可以沿着一条垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。
后来，这 7 条公理就合称为了 HuzitaHatori 公理，你可以在Wikipedia上读到这个条目。在 2019 年的一篇文章中， Robert J. Lang 对这些公理进行了一番整理和分析，证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。
Robert J. Lang 注意到了，上述 7 项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的，例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等等。说得更贴切一些，这些更加基本的操作要素其实是对折痕的“限制条件”。在平面直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距
确定，它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的，例如“把已知点折到已知点上”就同时要求 x1 = x2并且 y1 = y2，可以建立出两个等量关系，一下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出一个方程，只能确定一个变量(形式上通常表示为与另一个变量的关系)，把折痕的活动范围限制在一个维度里。
不难总结出，基本的折叠限制要素共有 5 个：
(1) 把已知点折到已知点上，确定 2 个变量
(2) 把已知点折到已知线上，确定 1 个变量
(3) 把已知线折到已知线上，确定 2 个变量
(4) 把已知线折到自身上，确定 1 个变量
(5) 折痕经过已知点，确定 1 个变量
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。而折痕本身有 2 个待确定的变量，因此符合要求的折纸操作只有这么几种： (1) ， (2)+(2) ，
(3) ， (4)+(4) ， (5)+(5) ， (2)+(4) ， (2)+(5) ， (4)+(5) 。但是，这里面有一种组合需要排除掉： (4)+(4) 。在绝大多数情况下， (4)+(4) 实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行，我们无法折叠纸张使得它们都与自身重合，因为没有同时垂直于它们的直线。
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
另外 7 种则正好对应了前面 7 个公理，既无重合，又无遗漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。不过，折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同时包含多处折叠，折纸公理将会更复杂，更强大。折纸的极限究竟在哪里，这无疑是一个非常激动人心的话题。

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