小学数学《定义新运算》练习题（含答案）
（一） 直接运算型
【例1】
（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a
b.例如，13
5=3.根据
这样定义的运算，计算： （1）(269)
4等于多少？
（2）108（2008
19）
分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (26
9)
4=8
4=0      （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（2008
19）=108
13=4
[前铺]定义运算“⊙”如下：2
a b
a b +⊕=
． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），
分析：（教师先告诉学生2
a b
+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝20072009
2
+＝2008；
2006⊕2008＝20062008
2
+＝2007
（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝
39
2
+＝6    1⊕（5⊕9）＝1⊕59
2
+＝1⊕7＝172+＝4；
【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；
（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？
分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.
对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.
（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.
[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕
（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕
（3）这个运算有交换律吗？
分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20
（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23；          1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23
（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.
[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．
分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，
2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律．  【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：
a c
b d ＝ad+b
c ，求2516 40
21
的值．  分析：2516 40
21
＝25×21+40×16＝525+640＝1165
[巩固]我们规定：
a c
b d ＝ad －b
c ，例如：23 1
4
＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求
45
610
的值．
分析：
45
610
＝4×10－5×6＝40－30＝10
【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的
运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].
分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25
[巩固] 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：
4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）
分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=75
4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75
【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍
数，则a*b ＝a b
3
+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b
＝
a b-2
3
+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）
分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891
[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b
2
+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝
a b 1
2
+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；        (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．
分析: （教师先告诉学生
2
a b
+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝199920001
19992
+-=，2001＋2002＝4003
是奇数，所以2001☆2002＝
200120021
20012
+-=，1999＋2001＝4000是偶数，
所以1999☆2001＝
19992001
20002
+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝20002002
20012
+=，
1998＋2001＝3999是奇数，
所以1 998☆2001＝
199820011
19992
+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以
1999☆2 004＝199920041
20012
+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001
【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定m
n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；
[(1)(1)][(1)1]m m m
n m n
n n n m m m C
P P =÷=⨯-⨯
⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：
1
2
3
4
5
6
666666,,,,,C C C C C C
分析：1
6
C
=（1
6
P
）
÷（1
1
P
）=6÷1=6；2
6
C
=(6×5)÷（2×1）=15；36
C
=（6×5×4）÷（3×2×1）
=20；4
6
C
=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；5
6
C
=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66
C
=
（6
6
P
）÷（66
P
）=1
[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定m
n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：2
4P ＝4×3＝12．3
4P ＝4×3×2＝24．求：（1）3
4
5
555P P P ，，；（2）3
4
5
6
6666P P P P ，，，．
分析：（1）3
5P ＝5×4×3＝60，4
5P ＝5×4×3×2＝120，5
5P ＝5×4×3×2×1＝120
（2）3
6P ＝6×5×4＝120，4
6P ＝6×5×4×3＝360，5
6P ＝6×5×4×3×2＝720，6
6P ＝6×5×4×3×2×1＝720．
[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.
（二） 反求未知数
【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，
能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.
分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）
【例8】
（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=
y
mx y
x 26+⋅⋅ (其中
m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?
分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=61212
21224
m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所
以
62954
29=
=222911
⨯⨯⨯+⨯
[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：
①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.
[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.
（三）计算机程序语言
【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．
分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数
因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．
[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．

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