2024年9月15日发(作者：)
2023年武汉市高中毕业生四月调研考试数学试卷
一、单选题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1
.已知集合
A.
2
.若复数
A.
3
.已知
A.
B.
是纯虚数，则实数
B.
，则
B.
和表示
( )
C.
( )
C.
，则
C.
( )
D.
D.
D.
，
C.
，则
D.
( )
4
.正六边形
ABCDEF
中，用
A. B.
5
.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，
1852
年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲年英国数学家马西森指出此法符合
1801
年由高斯得出的关于同余式解法的一般
性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题
.
现有这样一个
问题：将正整数中能被
3
除余
1
且被
2
除余
1
的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列
( )
A. 55
6
.设抛物线
B. 49C. 43D. 37
，则
的焦点为
F
，准线为
l
，
P
是抛物线上位于第一象限内的一点，过
P
作
l
的垂线，垂足为
，则
( )
C. 9D. 12
，使得为有理数
;
Q
，若直线
QF
的倾斜角为
A. 3
7
.阅读下段文字：“已知
若
B. 6
为无理数，若
，
为有理数，则存在无理数
，此时为无理数，则取无理数
为有理数
.
”依据这段文字可以证明的结论是
( )
A.
是有理数
为有理数
B.
是无理数
为无理数
C.
存在无理数
a
，
b
，使得
D.
对任意无理数
a
，
b
，都有
第1页，共19页
8
.已知直线与函数
和，且
C.
，则
( )
的图象恰有两个切点，设满足条件的
k
所有
可能取值中最大的两个值分别为
A. B. D.
二、多选题：本题共
4
小题，共
20
分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分。
9
.某市
2022
年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收
入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是
( )
A.
招商引资后，工资性收入较前一年增加
B.
招商引资后，转移净收入是前一年的倍
C.
招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.
招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
10
.椭圆
率的可能取值有
( )
A.
11
.函数
B.
的图象可能是
( )
C. D.
的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心
第2页，共19页
A.
B.
C.
D.
第3页，共19页
12
.三棱锥中，，，，直线
PA
与平面
ABC
所成的角为，直线
PB
与平面
ABC
所成的角为
A.
三棱锥
B.
三棱锥
，则下列说法中正确的有
( )
体积的最小值为
体积的最大值为
的平面角为锐角
的平面角为钝角
C.
直线
PC
与平面
ABC
所成的角取到最小值时，二面角
D.
直线
PC
与平面
ABC
所成的角取到最小值时，二面角
三、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
.的展开式中含项的系数为__________
.
14
.半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体
.
如图，将正方体沿交于
一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，
它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体
.
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为__________
.
15
.直线和与
x
轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的
k
的两个可能取
值：__________和__________
16
.在同一平面直角坐标系中，
P
，
Q
分别是函数
若对任意，有
和图象上的动点，
恒成立，则实数
m
的最大值为__________
.
四、解答题：本题共
6
小题，共
70
分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17
.本小题
10
分
记数列
证明：
若当且仅当
18
.本小题
12
分
的前
n
项和为
是等差数列
;
时，取得最大值，求的取值范围
.
，对任意，有
第4页，共19页
设
求角
的内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且有
若
BC
边上的高
19
.本小题
12
分
，求
如图，在边长为
4
的正三角形
ABC
中，
E
，
F
分别为边
AB
，
AC
的中点
.
将
得到四棱锥，
P
为的中点
.
沿
EF
翻折至，
证明：
若平面
平面
平面
EFCB
，求直线与平面
BFP
所成的角的正弦值
.
20
.本小题
12
分
中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率
问题中
.
例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性
可知，在
5
场比赛后，甲获胜次数不低于
3
场的概率为
枚质地均匀的硬币
.
若两人各抛掷
3
次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率
;
若甲抛掷
21
.本小题
12
分
过点的动直线
l
与双曲线
，当
l
与
y
轴平行时，
求双曲线
E
的标准方程
;
点
P
是直线
标
.
22
.本小题
12
分
上一定点，设直线
PM
，
PN
的斜率分别为，，若为定值，求点
P
的坐
交于
M
，
N
两点，当
l
与
x
轴平行时，
次，乙抛掷
n
次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率
.
现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一
第5页，共19页
已知函数
证明：
记
，其中
恒有唯一零点
;
，当时，证明：图象上存在关于点对称的两点
.
中的零点为
第6页，共19页
答案和解析
1.
【答案】
C
【解析】【分析】
本题考查交集的运算，为基础题
.
【解答】
解：
2.
【答案】
A
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，属于基础题
.
【解答】
解：，则，且
，，则，故选：
3.
【答案】
D
【解析】【分析】
本题考查诱导公式和二倍角公式，属于基础题
.
【解答】
解：
，故选：
4.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，为基础题
.
【解答】
解：设边长为
2
，有
则
，，
第7页，共19页
，选：
B
5.
【答案】
A
【解析】【分析】
本题考查求等差数列中的项，属于基础题
.
【解答】
解：由题知数列
故
故
6.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题考查抛物线的基本性质，属于基础题
.
【解答】
解：依题意
，则
故选：
，，，
，
，又，
，
是以
1
为首项，
6
为公差的等差数列，
为等边三角形，有
7.
【答案】
C
第8页，共19页
【解析】【分析】
本题考查逻辑推理在数学学习中的应用，为中档题
.
【解答】
解：题意阐述的过程为：存在
a
为无理数，
b
为无理数，使得
8.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，过两点的斜率公式，属于难题
.
【解答】
解：由题知不妨令
设
设
由
对应切点为
对应切点为
和
，则
，
，
，
，
，
，则
，则
，
，
和，
为有理数，故选
为
k
所有可能取值中最大的两个值，结合图象可得，
，
，，
，
，
，
，
在上单调递减，
，当
，
，故，
，
，
不妨令
则
则
即
故
设
所以
又
故
又
，
所以，
设
当时，
则
，
，
第9页，共19页
故在上单调递减，即，
所以
故
9.
【答案】
AD
【解析】【分析】
本题考查统计的相关知识，较为基础
.
【解答】
解：由题干可知
2022
年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，将经济收入分别设为
a
和
2a
，
易知工资性收入分别为
同理可得转移净收入分别为
同理可得经营净收入分别为
和
和
和
，故
A
正确；
，转移净收入是前一年的倍，故
B
错误；
，较前一年增加了一倍，故
D
正确；
，小于，故
C
错误
.
招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和占比为
10.
【答案】
BCD
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求解，为中档题
.
【解答】
解：圆的方程化为标准方程：
当上顶点为
当焦点为
故选：
11.
【答案】
ABC
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于中档题
.
【解答】
，焦点为
，右顶点为
或
，则
，则
，
，
或，
第10页，共19页
解：由题知
当
当
ⅰ
当
又当
ⅱ
当
则
①当
则
当
②当
故
且
在
在
时，
时，
和
，故
C
正确
.
时，
和
且
，令
时，
时，
即
时，
即或
时，
，故
，
在
R
上单调递增，故
A
正确；
，故在
R
上单调递增，
，故
A
正确；
时，设方程的两根为，且，
，则，
上单调递增，
时，，故
B
正确；
或
上单调递减，
，
上单调递减，在
，当
，令
上单调递增，在
，则
12.
【答案】
ACD
【解析】【分析】
本题考查圆的轨迹问题、三棱锥体积的求法以及二面角的相关知识，考查运算能力与空间想象能力，题目
较难
.
【解答】
解：作平面
ABC
，则
设，，，
又有，，圆心，半径，
第11页，共19页
所以，则
，
A
正确，
B
错误；
，
由
当
正确
.
故选：
最小时，有
H
在外部，如图，此时，二面角为锐角，为钝角，
D
13.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项式定理求解指定项的系数，为基础题
.
【解答】
解：含项的系数为：，系数为
14.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱柱与棱锥的体积，属于中档题
.
【解答】
解：设正方体的棱长为
2
，正方体的体积为
则截去的
8
个三棱锥的总体积为
则二十四等边体的体积
15.
【答案】 ；
，
，所以
，
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率关系，属于中档题
.
【解答】解：①根据等腰三角形对应的斜率关系可以直接令
②，根据腰长相等可得
；
第12页，共19页
16.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查两曲线上动点间的距离的最值问题，为难题
.
【解答】
解：
当且仅当
如下图，
恒成立，可得：
时取
\"=\"
，
的最小值点在上运动，
，
，
设
，
在上递增
;
在
，易得在上递减，
使得，即
上递减，时，
距离的最小值
.
则问题可转化为求
令
与切于
为
Q
到
17.
【答案】
则
①
-
②可得
图象上的点到
且与
的距离
因为
平行，
，
①，
，②
，
，
，
第13页，共19页
，
故为等差数列
.
若当且仅当
则有
故的取值范围为
时，取得最大值，
【解析】本题考查等差数列的证明，及等差数列前
n
项和的最值问题，属于中档题
.
18.
【答案】解：
则
有
又
由
有
又
，则
，所以
，则
，
，则
，所以
，即，
由，
，
【解析】本题考查三角恒等变换，属于基础题
.
19.
【答案】解：
且
取中点
Q
，连接
PQ
，
EQ
，
，有
故四边形
EFPQ
是平行四边形，所以
又
所以
平面
平面
，
；
平面，
第14页，共19页
取
EF
中点
O
，
BC
中点
G
，由平面
在平面
故
此时，
如
图所示的空间直角坐标系
.
有，
，
，，
平面
内，且与交线垂直，
平面
EFCB
，且交线为
EF
，
，
OE
，
OG
两两垂直，以
O
为原点，
OE
，
OG
，所在直线分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立
，中点
设平面
BFP
的法向量，由，得，
取
又，故所求角的正弦值为
所以直线与平面
BFP
所成角的正弦值为
【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量法求空间中线面角的正弦值，考验学生空间想象能力和
计算能力，为中档题
.
取中点
Q
，连接
PQ
，
EQ
，先证明，再根据线面平行的判定定理可得平面
建立空间直角坐标系，求出
20.
【答案】解：
的坐标，平面
BFP
的法向量，带入公式计算即可
.
，设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率
第15页，共19页
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝
上次数的概率相等，故
可以先考虑甲乙各抛赛
n
次的情形，
①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须
再抛掷出正面朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数
;
②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第
数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为
③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第
数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为
故
可得
，而由
次无论结果如何，甲正面朝上次
次无论结果如何，甲正面朝上次
，由对称性可知
【解析】本题考查概率的新定义问题，古典概型求概率及求独立事件的概率、概率的基本性质，属于较难
题
.
21.
【答案】解：由题可知双曲线过点，，
将其代入方程可得
计算可得
解法一：
则双曲线
E
的标准方程为
当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为，
与双曲线方程联立，得
设
设
，，有，
第16页，共19页
当
当
时，不满足
时，若
为定值
.
，解得
，也满足
，此时为定值，则
经检验，当直线
l
斜率不存在时，对
所以点
P
坐标为
解法二：当直线
l
的斜率存在时，设
与双曲线
注意到，为方程
联立可得
，，
，
的两根，
，
，
，直线，
故有恒等式
则
同理由
与双曲线
，可得
联立可得
，
注意到，为方程的两根，
，
故有恒等式
则，
，
则
若为定值，则必有
第17页，共19页
计算可得或，或，
又因为点
P
在直线上，故点
P
坐标为
，也满足经检验，当直线
l
斜率不存在时，对
【解析】本题考查直线与双曲线中的定值问题，题目较难
.
22.
【答案】解：
由
令
即是
得：
，则
上的增函数，且值域为
，在上恒存在唯一，使得
令，得
故对任意
所以函数
当
恒有唯一零点
.
时，，故
，使得
，下面证明
，
在有零点：
时，
由题意，要求存在
令
记，
，
，
当
由
故
有
此时
故
故在
时，
时，
，当
，
，有在
时，
当
，
时，
时，
单调递增，
单调递增，
第18页，共19页
又
故
时，
在
，故时，
在有零点，问题得证
.
有零点，即
【解析】本题考查利用导数研究函数零点有关问题，为难题
.
第19页，共19页
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