湖北省武汉市2024届部分学校高三年级九月调研考试+数学答案

武汉市2024届部分学校高三年级九月调研考试

数学试卷参考答案及评分标准

选择题：

题号

答案

填空题：

13.

−40

14.

(x+1)

2

+(y−2)

2

=5

15.

4−2ln2

16.（1）

1

B

2

C

3

D

4

B

5

A

6

C

7

C

8

B

9

ABD

10

BC

11

AD

12

ACD

111

；

1

n

（2）

[4−(−)]

9242

解答题：

17.（10分）解：

（1）由题意，

2S

n

=(n+2)(a

n

−1)

，

2S

n+1

=(n+3)(a

n+1

−1)

.

两式相减得：

2a

n+1

=(n+3)a

n+1

−(n+2)a

n

−1

，

即

(n+1)a

n+1

=(n+2)a

n

+1

.

a

n+1

a

1

=

n

+

，

n+2n+1(n+1)(n+2)

aa

即

n+1

=

n

+

1

−

1

.

n+2n+1n+1n+2

a+1a

n

+1a+1

=}

是常数列. 有

n+1

，所以数列

{

n

n+2n+1n+1

（2）取

n=1

，有

2a

1

=3(a

1

−1)

，解得

a

1

=3

.

a+1

a

1

+1

==2

，所以

a

n

=2n+1

. 由（1）可得：

n

n+11+1

1

=

1

=

1

(

1

−

1

)

.

a

n

a

n+1

(2n+1)(2n+3)22n+12n+3

111111

−

1

)=

1

(

1

−

1

)=

n

. 所以

T

n

=(−+−+...+

235572n+12n+3232n+36n+9

此时

18.（12分）解：

（1）由正弦定理得：

2sinAcosB=2sinC−sinB

.

2sinAcosB=2sin(A+B)−sinB

，

…………5分

…………10分

2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB−sinB

，即

2cosAsinB=sinB

.

1

又

sinB0

，故

cosA=

.

2



所以

A=

.

3

11

（2）

ABC

面积

S=bcsinA=(a+b+c)r

.

22



代入

a=7

和

A=

，整理得：

bc=2(b+c)+14

.①

3

由余弦定理：

a

2

=b

2

+c

2

−2bccosA

，得：

b

2

+c

2

−bc=49

.

bc−14

)

2

−3bc=49

.

2

即

(b+c)−3bc=49

，代入①，得：

(

2

解得：

bc=40

.

1

所以

S=bcsinA=103

.

2

…………6分

…………12分

19.（12分）解：

1

−m−0.04−0.025−0.01=0.025−m

.

10

样本平均数的估计值为：

10[(0.025−m)55+m65+0.0475+0.02585+0.0195]=74.5+100m

.

0.05−0.025

=76.25

. 样本中位数的估计值为：

70+10

0.04

所以

74.5+100m=76.25

，解得：

m=0.0175

. …………6分

（2）总的成绩优秀人数为：

20010(0.025+0.01)=70

.

（1）由题意，第一组的频率/组距为：

得到列联表为：

性别

男生

女生

合计

2

测试成绩

优秀

45

25

70

不优秀

65

65

130

合计

110

90

200

200(4565−2565)

2

2600

χ

==

3.75



3.841

.

1109070130693

所以根据小概率值



=0.05

的独立性检验，认为男生和女生的优秀率没有差异. …………12分

20.（12分）解：

（1）如图，连接

AC,BD

交于点

O

，取

OD

中点

F

，连接

EF,CF,AF

.

由

AB=CB

，

AD=CD

，所以

BD

垂直平分

AC

.

由

ABO=45

，且

AB=2

，

有

AO=BO=CO=1

， 且

DO=

所以

AD

2

−AO

2

=2

.

BF

=

PE

=2

，有

EF

∥

PB

，

FDED

因为

PB

平面

PAB

，

EF

平面

PAB

，所以

EF

∥平面

PAB

.

又点

O

平分线段

BF

和

AC

，所以四边形

ABCF

是平行四边形，

有

CF

∥

AB

.

因为

AB

平面

PAB

，

CF

平面

PAB

，所以

CF

∥平面

PAB

.

由

EFCF=F

，有平面

CEF

∥平面

PAB

.

又

CE

平面

CEF

，所以直线

CE

∥平面

PAB

. …………6分

（2）连接

PO

，在

POB

和

POD

中，由

cosPOB=−cosPOD

，

22222222

PO+1−5PO+4−8

.

PO+BO−PBPO+DO−PD

=−=−

有，即

2PO4PO2POBO2PODO

解得：

PO=2

，满足

PO

2

+BO

2

=PB

2

，所以

PO⊥BD

.

又

PA=PC

，所以

PO⊥AC

，由

ACBD=O

，所以

PO⊥

平面

ABCD

，满足

PO,CO,DO

两两垂直.

以

O

为原点，

OC,OD,OP

所在直线分别为

x

轴、

y

轴、

z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

42

有

P(0,0,2)

，

B(0,−1,0)

，

C(1,0,0)

，

E(0,,)

.

33

BP=(0,1,2)

，

CP=(−1,0,2)

.





y+2z=0



nBP=0

设平面

PBC

的法向量

n=(x,y,z)

，由



，得



，取

n=(2,−2,1)

.



−x+2z=0





nCP

=0

8

+

2

||−2−

|nCE|

33

=

429

. 又

CE=(−1,

4

,

2

)

，故所求角的正弦值为

|cosn,CE|==

33

29

|n||CE|

9

29

9

429

. 所以直线

CE

与平面

PBC

所成角的正弦值为 …………12分

29

21.（12分）解：

（1）由题意，

|AB|=2a=4

，得：

a=2

.

22

a−b

=

3

，得：

b=1

. 离心率

e=

a2

2

x

所以椭圆

E

的标准方程为

+y

2

=1

.

4

（2）设

C(x

C

,y

C

)

，

D(x

D

,y

D

)

.

11

(x+2)

，即

x=2(t+2)y−2

. 点

A(−2,0)

，直线

AT

的方程为

y=

2t+2

2(t+2)

与椭圆方程联立得：

(t

2

+4t+5)y

2

−2(t+2)y=0

，解得：

y

C

=

2

.

t+4t+5

点

B(2,0)

，直线

BT

的方程为

x=2(t−2)y+2

.

−2(t−2)

与椭圆方程联立得：

(t

2

−4t+5)y

2

+2(t−2)y=0

，解得：

y

D

=

2

.

t−4t+5

1

|CT||DT|sinCTD

S

|CT||DT|

三角形面积比

CDT

=

2

=

S

ABT

1

|AT||BT|sinATB

|AT||BT|

2

y

C

−

1

y

D

−

1

2



2

=(2y−1)(2y−1)

=

C

D

1

−0

1

−0

22

11

又因为

S

ABT

=4=1

，

22

(t

2

−3)

2

4t+8−4t+8

所以

S

CDT

=(2y

C

−1)(2y

D

−1)=(

2

.

−1)(

2

−1)=

222

t+4t+5t−4t+5(t+5)−16t

(t

2

−3)

2

由题意，

2

=

1

，整理得

t

4

−6t

2

+8=0

，解得：

t

2

=2

或

t

2

=4

.

22

17

(t+5)−16t

…………3分

又由点

T

在椭圆内部，故

t

2

=2

，即

t=2

.

22.（12分）解：

（1）

m=n=0

时，

f(x)=x

2

e

x

.

…………12分

f\'(x)=(x

2

+2x)e

x

=x(x+2)e

x

.

令

f\'(x)=0

，得

x=−2

或

x=0

.

当

x−2

或

x0

时，

f\'(x)0

，

f(x)

单调递增；

当

−2x0

时，

f\'(x)0

，

f(x)

单调递减.

综上所述：

f(x)

在

(−,−2)

和

(0,+)

上单调递增，在

(−2,0)

单调递减.

2x

（2）

f\'(x)=[x+(m+2)x+m+n]e

.

2

令

f\'(x)=0

，得

x+(m+2)x+m+n=0

.

2

由题意，

x

1

,x

2

是关于

x

的方程

x+(m+2)x+m+n=0

的两个实根.

所以

x

1

+x

2

=−(m+2)

，

x

1

x

2

=m+n

.

由

x

1

+(m+2)x

1

+m+n=0

，有

x

1

=−(m+2)x

1

−m−n

.

所以

f(x

1

)=(x

1

+mx

1

+n)e

1

=(−2x

1

−m)e

1

，将

m=−x

1

−x

2

−2

代入，

得

f(x

1

)=(x

2

−x

1

+2)e

1

，同理可得：

f(x

2

)=(x

1

−x

2

+2)e

2

.

x

2

xx

…………5分

2

2

x

f(x

2

)−f(x

1

)(x

1

−x

2

+2)e

x

2

−(x

2

−x

1

+2)e

x

1

(x

2

−x

1

−2)e

x

2

−x

1

+(x

2

−x

1

+2)

==−

所以.

e

x

2

−e

x

1

e

x

2

−e

x

1

e

x

2

−x

1

−1

(t−2)e

t

+(t+2)

令

x

2

−x

1

=t(t0)

，上式为

−

.

e

t

−1

(t−2)e

t

+(t+2)t(e

t

+1)

(t0)

，此时

g(t)=−

t

+2

. 设

g(t)=−

t

e−1e−1

2tt

e−2te−1

.

g\'(t)=−

t2

(e−1)

记

h(t)=e

2t

−2te

t

−1

，

h\'(t)=2e

t

(e

t

−t−1)

.

t

记



(t)=e

t

−t−1

，

t0

时，



\'(t)=e−10

，



(t)

单调递增，所以



(t)



(0)=0

.

所以

h\'(t)0

，

h(t)

单调递增，

h(t)h(0)=0

.

所以

g\'(t)0

，

g(t)

在

(0,+)

单调递减.

2222

又

t=(x

2

−x

1

)=(x

2

+x

1

)−4x

1

x

2

=m−4n+4

.

此时

t

2

=(a+b+2)

2

−4(a

2

+b

2

+2)+4=−3a

2

−3b

2

+2ab+4a+4b

.

t

2

=−3a

2

+(2b+4)a−3b

2

+4b=−3(a−

b+2

)

2

−

8

b

2

+

16

b+

4

3333

−

8

b

2

+

16

b+

4

=−

8

(b−1)

2

+44

.

3333

b+2

=0

且

b−1=0

，即

a=b=1

时，

t

2

取到最大值

4

，即

t

的最大值为2. 当且仅当

a−

3

f(x

2

)−f(x

1

)

−4

. 所以的最小值为

g(2)=

2

…………12分

x

2

x

1

e−1

e−e