山东省聊城市慧德中学等校2022(三篇)

2022-2023学年山东省聊城市慧德中学等校九年级（上）第一次联考数学试卷

一．选择题（每题3分，共12小题，共36分）

1．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝A．70° B．60°

，则α等于（ ）

C．50° D．30°

2．（3分）下列图形不一定相似的是（ ）

A．两个等边三角形

B．各有一个角是110°的两个等腰三角形

C．两个等腰直角三角形

D．各有一个角是45°的两个等腰三角形

3．（3分）点M（cos30°，sin30°）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）

A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）

4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

5．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，则端点C的坐标为（ ）

A．（3，3）

C．（﹣4，﹣1）

B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）

D．（4，1）

6．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ） A． B． C． D．

7．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．

8．（3分）如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

9．（3分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）

A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m

10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ） A． B． C． D．

11．（3分）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）

A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+

12．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（ ）

A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）

二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）

13．（3分）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的对应边高的比为 ．

14．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD＝60°，BP＝2，则CD长为 ． 15．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 ．

16．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比＝ ．

17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则t＝ 秒．

三．解答题（共8小题，共69分）

18．（8分）计算：

（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）1+﹣；

（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．

19．（7分）如图，平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．

（1）在坐标系中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心画△A2B2C2，使它与△ABC相似，相似比为2．且与△ABC分别在点O的两侧，并写出点C2的坐标；

（3）直接写出△A2B2C2的面积： ．

20．（8分）如图，△ABC中，D是AB上的一点，∠ABC＝∠ACD．

（1）求证：△ABC∽△ACD；

（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的长．

21．（8分）在△ABC中，AC＝4（1）求△ABC的面积；

（2）求AB的值；

（3）求cos∠ABC的值．

，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．

22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

23．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．

（1）求证：BD2＝AD•CD．

（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．

24．（10分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）

25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 2022-2023学年山东省聊城市慧德中学等校九年级（上）第一次联考数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（每题3分，共12小题，共36分）

1．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝A．70° B．60°

，则α等于（ ）

C．50° D．30°

【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．

【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝∴α﹣10°＝60°，

∴α＝70°．

故选：A．

2．（3分）下列图形不一定相似的是（ ）

A．两个等边三角形

，

B．各有一个角是110°的两个等腰三角形

C．两个等腰直角三角形

D．各有一个角是45°的两个等腰三角形

【分析】本题可根据相似三角形的判定定理进行求解．

【解答】解：A选项，正确，根据三边对应成比例来判定；

B选项，正确，根据两角对应相等来判定；

C选项，正确，根据两角对应相等来判定；

D选项，45°的角可能是顶角，也可能是底角，没有指代清楚，故错误．

故选：D．

3．（3分）点M（cos30°，sin30°）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）

A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）

【分析】利用特殊角的三角函数值确定出M坐标，找出关于原点中心对称的点坐标即可．

【解答】解：点M（cos30°，sin30°）化简得：M（，）， 关于原点对称的点的坐标是（﹣故选：D．

，﹣），

4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

【分析】先由＝得＝，再由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，则＝＝≠，可判断A错误；

假设＝正确，由DF∥AC得∠A＝∠BDF，而∠ADE＝∠B，即可证明△ADE∽△＝＝，因为＝，所以＝，得DF＝BF，由△DBF∽△ABCDBF，得得＝，则AC＝BC，与已知条件不符，可判断B错误；

由△ADE∽△ABC得＝＝≠，可判断C错误；

由△ADE∽△DBF得＝＝，可判断D正确，于是得到问题的答案．

【解答】解：∵∴＝，

＝，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝＝≠，

故A错误；

假设＝正确， ∴DF∥AC，

∴∠A＝∠BDF，

∵∠ADE＝∠B，

∴△ADE∽△DBF，

∴∵＝＝＝，

，

∴DF＝BF，

∵△DBF∽△ABC，

∴＝，

∴AC＝BC，

显然与已知条件不符，

∴＝不正确，

故B错误；

∵△ADE∽△ABC，

∴＝＝＝≠，

故C错误；

∵△ADE∽△DBF，

∴＝＝＝，

故D正确，

故选：D．

5．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，则端点C的坐标为（ ）

A．（3，3）

C．（﹣4，﹣1）

B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）

D．（4，1）

【分析】根据所给相似比把各坐标都乘以或﹣即可．

【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，

将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，

∴端点C的坐标为：（3，3）或 （﹣3，﹣3）．

故选：B．

6．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ）

A． B． C． D．

【分析】先由∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°知∠B＝∠ACD＝∠α，再分别在Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△ACD中表示出sinα，据此可得答案．

【解答】解：∵AC⊥BC、CD⊥AB，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°，

则∠B＝∠ACD＝∠α，

在Rt△ABC中，sinα＝在Rt△BCD中，sinα＝在Rt△ACD中，sinα＝故选：C．

7．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）

；

；

；

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．

【解答】解：A、若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意； B、若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；

C、若D、若故选：C．

8．（3分）如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（ ）

，其夹角不相等，则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；

，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，则可判定△CDF∽△BEF，从而可得比例式，结合DC＝AB，AD＝BC及BE：AB＝3：2，可得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，

∴△CDF∽△BEF，

∴BE：DC＝BF：CF，

∵BE：AB＝3：2，DC＝AB，

∴BE：DC＝BF：CF＝3：2，

∴CF：BF＝2：3，

∴CF：BC＝2：5，

∵AD＝BC＝10，

∴CF：10＝2：5．

∴CF＝4．

故选：C．

9．（3分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ） A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m

【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．

【解答】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，

∵△ABE∽△EDC，

∴即＝＝，

，

解得：AB＝6，

故选：D．

10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，

∴∠BDC＝∠DBF，

由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，

∴∠BDF＝∠DBF，

∴BF＝DF， 设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，

在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，

∴x＝，

， ∴cos∠ADF＝故选：C．

11．（3分）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）

A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+

【分析】先根据正方形的性质得到GF∥DE，从而证明△CGF∽△CAB，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解．

【解答】解：如图，设CH与GF交于点M，

∵四边形DEFG是正方形，

∴GF∥DE，∠GDE＝∠DGF＝90°，

∴△CGF∽△CAB，

∴＝，

∵CH⊥AB，

∴∠DHM＝90°，

∴四边形DHMG是矩形， ∴DG＝MH，

∵CH＝h，AB＝c，正方形DEFG的边长是x，

∴MH＝x，

∴CM＝CH﹣MH＝h﹣x，

∴＝，

∴＝1﹣，

∴＝﹣，

∴＝+，

故选：D．

12．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（ ）

A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）

【分析】先得出OA＝10，再利用解直角三角形的知识确定B（3，9），由于2022÷4＝505…2，所以第2022次旋转结束时，相当于Rt△OAB绕点O逆时针旋转2次，由此求出点B坐标即可．

【解答】解：如图，过点B作BC⊥y轴于点C， ∵点A的坐标为（0，10），

∴OA＝10，

∵tan∠AOB＝，

∴设AB＝x，则OB＝3x，

∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，

∴x2+（3x）2＝102，

解得x＝∴OB＝3x＝3，

，

在Rt△OBC中，设BC＝y，则OC＝3y，

∴解得y＝3，

∴BC＝3，则OC＝9，

∴B（3，9），

∵Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，

则第1次旋转结束时，点B的坐标为（﹣9，3）；

则第2次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）；

则第3次旋转结束时，点B的坐标为（9，﹣3）；

则第4次旋转结束时，点B的坐标为（3，9）；

…

发现规律：旋转4次一个循环，

∴2022÷4＝505…2，

则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）．

故选：D．

， 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）

13．（3分）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的对应边高的比为 2：3 ．

【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定义对应高的的平方比解决问题即可．

【解答】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，

∴对应高的比＝相似比＝2：3，

故答案为：2：3．

14．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD＝60°，BP＝2，则CD长为 ．

【分析】证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．

【解答】解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，

∠APC＝∠B+∠BAP，

∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，

即∠BAP＝∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∵AB＝BC＝6，BP＝2，

∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，

∴，

∴CD＝．

答：CD的长为．

故答案为：．

15．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 2 ． 【分析】利用勾股定理根据格点先计算AB、AC，利用三角形的面积计算CD的值，最后计算∠A的正切值．

【解答】解：由格点知：AB＝AC＝＝．

＝3，

∵S△ABC＝•BC•AE

＝×4×3

＝6，

S△ABC＝•AB•CD

＝×3＝∴∴CD＝2∴AD＝＝．

＝2．

×CD

，

＝6，

．

∴tanA＝

16．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比＝ 1：4 ． 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 ＝，＝＝，结合图形得到＝，由此即可得到答案．

【解答】解：∵DE∥AC，

∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，

∴＝，

∵DE∥AC，

∴∴＝＝，

＝，

∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，

故答案为：1：4．

17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则t＝ 2或5 秒．

【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△CDA或△QBP∽△CDA，从而解得所需的时间．

【解答】解：①若△PBQ∽△CDA，

则即，

，解得t＝5；

②若△QBP∽△CDA， 则即，

，解得t＝2．

故答案为：2或5．

三．解答题（共8小题，共69分）

18．（8分）计算：

（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）1+﹣；

（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．

【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答】解：（1）原式＝1+1﹣＝；

）2+×（）2﹣

﹣2+2

（2）原式＝﹣2×（＝﹣2×+×3﹣

＝﹣1+2﹣

＝1．

19．（7分）如图，平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．

（1）在坐标系中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；

（2）以原点O为位似中心画△A2B2C2，使它与△ABC相似，相似比为2．且与△ABC分别在点O的两侧，并写出点C2的坐标；

（3）直接写出△A2B2C2的面积： 14 ． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；

（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．

（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标（6，﹣2）；

（3）△A2B2C2的面积＝6×6﹣×2×4﹣×2×6﹣×4×6＝14．

故答案为：14．

20．（8分）如图，△ABC中，D是AB上的一点，∠ABC＝∠ACD．

（1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若AC＝3，AD＝2，求AB的长．

【分析】（1）由∠ABC＝∠ACD结合公共角∠BAC＝∠CAD，即可证出△ABC∽△ACD；

（2）利用相似三角形的性质可得出＝，结合AC＝3，AD＝2，即可求出AB的长．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，

∴△ABC∽△ACD．

（2）解：∵△ABC∽△ACD，

∴即＝，

＝，

∴AB＝，

∴AB的长为．

21．（8分）在△ABC中，AC＝4（1）求△ABC的面积；

（2）求AB的值；

（3）求cos∠ABC的值．

，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．

【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；

（2）先利用线段的和差关系求出BD，再利用勾股定理求出AB；

（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值．

【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∴∠ADC＝∠ADB＝90°．

∵∠C为锐角且tanC＝1，

∴∠C＝45°＝∠DAC．

∴AD＝DC．

∵sinC＝，AC＝4，

×4＝4． ∴DC＝AD＝sin45°×AC＝∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．

（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，

∴BD＝BC﹣DC＝2．

在Rt△ABD中，

AB＝＝＝2．

（3）在Rt△ABD中，

cos∠ABC＝＝＝．

22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．

【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图． 由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，

∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．

即∠BCA＝∠CBD，

∴AC＝AB＝200（海里）．

在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．

海＝100（海里）．

故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200里．

23．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．

（1）求证：BD2＝AD•CD．

（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．

【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，则可判断△ABD∽△BCD，利用相似比可得到结论；

（2）先证明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再证明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，则MA＝MB＝MD＝AD＝4，接着利用BD2＝AD•CD得到BD2＝48，再根据BM∥CD，得出计算出DN的长．

【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，

＝＝， ∵∠ABD＝∠BCD＝90°，

∴△ABD∽△BCD，

∴BD：CD＝AD：BD，

∴BD2＝AD•CD；

（2）解：∵BM∥CD，

∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，

而∠MDB＝∠CDB，

∴∠MBD＝∠MDB，

∴MB＝MD，

∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，

∴∠A＝∠ABM，

∴MA＝MB，

∴MA＝MB＝MD＝AD＝4，

∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8，

∴BD2＝8×6＝48，BD＝4∵BM∥CD，

∴∴∴∴DN＝

．

＝＝，

，

24．（10分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）

【分析】在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．

【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，

在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，

∴CO＝AO•tan60°＝100设PE＝x米，

∵tan∠PAE＝∴AE＝2x．

在Rt△PCF中，

∠CPF＝45°，CF＝100∵PF＝CF，

∴100+2x＝100解得x＝﹣x，

（米）．

米，点P的铅直高度为（米）．

﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，

＝，

（米）

答：电视塔OC高为100

25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 【分析】（1）由两对角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），证明△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；

（Ⅱ）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．

【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，

∴∠AQP＝90°＝∠ABC，

在△APQ与△ABC中，

∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，

∴△AQP∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．

∵∠QPB为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．

∵∠QPB为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴，即，解得：PB＝，

∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；

（Ⅱ）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示． ∵∠QBP为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．

∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，

∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，

∴∠AQB＝∠A，

∴BQ＝AB，

∴AB＝BP，点B为线段AP中点，

∴AP＝2AB＝2×3＝6．

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．

2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14.2勾股定理的应用》

解答题专题提升训练（附答案）

1．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．

2．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里．CE＝80海里．

（1）求小岛两端A、B的距离；

（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求的值．

3．如图，有一空心圆柱，高为12cm，底面周长为15cm，在圆柱内的下底面A处有一只蝴蝶，它想和上底面B处的同伴汇合，则这只蝴蝶经过的最短距离是多少cm？（π取3）

4．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？

5．（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是 ；

（2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点C1以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿C1→C向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？

6．如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？

7．如图，有一个长方形水池，它的长是4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，将芦苇拽至池边，它的顶端刚好与水面一样平，求水有多深？芦苇有多长？

8．如图，某块四边形的实验田ABCD，经测量可知∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米．

（1）判断∠D是否为直角，并说明理由．

（2）求四边形ABCD的面积．

9．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．

（1）若AB＝6.5米，BC＝2.5米．

①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？

②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．

（2）若AC＝BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．

10．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？

11．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．

（1）求旗杆距地面多高处折断；

（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？

12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．

13．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3；

（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；

（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．

14．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA＝30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？

15．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．

16．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？

17．一块钢板形状如图所示，量得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，请你计算一下这块钢板的面积．

18．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面圆的直径为cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）

19．某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？

20．如图，某公路稽查站设立了如下测速方法：先在公路旁选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21m，∠ACD＝60°，∠BCD＝30°．某辆汽车从A到B用时为2s，本路段对汽车限速为40km/h，这辆汽车是否超速？说明理由．（≈1.732）

参考答案

1．解：由题意可知，∠B＝90°，

∵AB＝20，AC＝25，

∴BC＝∵AD＝12，

∴DB＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（米），

∴DC＝即小鸟到地面C点的距离为4米．

＝＝100（海里），

（米），

（米），

2．解：（1）在Rt△CED中，由勾股定理得：CD＝∵∠CED＝90°，B点是CD的中点，

∴BE＝CD＝×100＝50（海里），

∴AB＝BE﹣AE＝50﹣16.6＝33.4（海里），

答：小岛两端A、B的距离为33.4海里；

（2）设BF＝x海里，

∵B点是CD的中点，

∴BC＝CD＝×100＝50（海里），

在Rt△CFB中，由勾股定理得：CF2＝BC2﹣BF2＝502﹣x2＝2500﹣x2，

在Rt△CFE中，由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2，

即2500﹣x2+（50+x）2＝802，

解得：x＝14，

∴＝＝．

3．解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE，

连接AB，则线段AB的长就是蝴蝶爬行的最短距离，其中C，B分别是AE，DF的中点．

∵AD＝12cm，DB＝πr＝7.5cm，

∴AB故蝴蝶经过的最短距离为：答：这只蝴蝶经过的最短距离是cm．

（cm）． 4．解：如图，由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，这条公路的造价最低，

∵AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km，

∴AB2+AC2＝25＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，

∴即解得．

（元）＝6.24（万元），

，

，

则这条公路的最低造价为答：这条公路的最低造价是6.24万元．

5．解：（1）如图1中，连接AC．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，

∴AC＝故答案为：．

＝＝．

（2）把长方体展开，如图3中， t＝5秒时，C1P＝5，

∴CP＝CC1﹣C1P＝6，

∵AC＝AB+BC＝5+3＝8，

∴AP＝＝＝10，

＝2单位/秒． ∴点Q是运动速度为6．解：∵开始时绳子BC的长为13m．明明收绳6m后，船到达D处，

∴CD＝13﹣6＝7（m），

由题意得：CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，

∴AD＝AB＝＝＝＝2（m），

＝12（m），

）（m），

）米，

）米．

∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2∴船向岸A移动了（12﹣2答：船向岸A移动了（12﹣27．解：设水深x米，则芦苇有（x+1）米，

由勾股定理：x2+22＝（x+1）2，

解得：x＝1.5，x+1＝2.5，

答：水深1.5米，芦苇的长度是2.5米．

8．解：（1）∠D是直角，

理由：连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，

∴AC＝∵CD＝15米，AD＝20米，

∴CD2+AD2＝AC2，

∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°；

（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD

＝＝＝234．

9．解：（1）①在Rt△ABC中，AB＝6.5米，BC＝2.5米，

∴AC2＝AB2﹣BC2＝6.52﹣2.52＝36，

∴AC＝6米，

∵AA1＝1米，

∴A1C＝AC﹣AA1＝5米，

在Rt△A1B1C中，A1B1＝AB＝6.5米，

∴B1C2＝A1B12﹣A1C2＝6.52﹣52＝∴B1C＝米，

﹣2.5＝米；

米，

，

（米），

∴B1B＝B1C﹣BC＝答：点B将向外移动②相等．

∵AC＝6米，AA1＝BB1，

∴A1C＝AC﹣AA1＝6﹣AA1＝6﹣BB1， ∵B1C＝BC+BB1＝2.5+BB1，B1C2＝A1B12﹣A1C2，

∴（2.5+BB1）2＝6.52﹣（6﹣BB1）2，

解得BB1＝3.5或0（舍去），

故竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离会相等，移动距离为3.5米；

（2）不相等．

当AC＝BC时，AB＝6.5米，

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，

∴AC2+BC2＝6.52，

解得AC＝BC＝，

在Rt△A1B1C中，B1C2+A1C2＝A1B12，

即（解得∴AA1＞BB1，

故顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．

10．解：（1）根据勾股定理：

所以梯子距离地面的高度为：AO＝答：这个梯子的顶端距地面有12米高；

（2）梯子下滑了5米即梯子距离地面的高度为OA′＝12﹣5＝7（米），

根据勾股定理：OB′＝∴BB′＝OB′﹣OB＝（2﹣5）米

﹣5）米．

＝＝2（米），

＝＝12（米）；

+BB1）2+（﹣AA1）2＝6.52，

，

答：当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端水平后移了（2

11．解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米， ∵∠A＝90°，

∴AB2+AC2＝BC2，

又∵AB＝4米，

∴AC＝3米，BC＝5米，

故旗杆距地面3米处折断；

（2）如图，

∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75米，

∴B\'D＝8﹣1.75＝6.25米，

∴AB′＝米，

∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．

12．解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），

则AE＝AB﹣0.8，

在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，

∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2

解得：x＝4，

答：秋千AB的长为4m．

13．解：（1）∵根据勾股定理可知：S1+S2＝S3；

（2）S1+S2＝S3；

（3）S阴影部分＝S1+S2﹣（S3﹣S△ABC）

＝S△ABC＝×6×8＝24．

14．解：由题意可知，OA＝16×1.5＝24（海里），OB＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，

∵242+182＝302，即OA2+OB2＝AB2，

∴△OAB是直角三角形，

∵∠AOD＝40°，

， ∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．

15．解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，

则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），

BC＝70﹣20+10＝60（米），

故终止点与原出发点的距离AB＝＝100（米），

答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．

16．解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，

由勾股定理得：AB＝答：最短路程是150cm．

＝＝150cm，

17．解：∵42+32＝52，52+122＝132，

即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，

同理，∠ACD＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD

＝×3×4+×5×12

＝6+30 ＝36．

18．解：画圆柱的展开图，如图所示：

过C作CM⊥DE于M，

由题意得：BC＝DF＝1，DE＝AB＝18，

∴FM＝DE﹣DF﹣ME＝18﹣1﹣1＝16，

CM＝π××＝10，

＝＝2，

cm．

由勾股定理得：CF＝答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为2

19．解：连接AC，

∵∠B＝90°，

∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，

在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122，

∵52+122＝132，

∴AC2+AD2＝CD2，

∴∠DAC＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝AB•BC+AC•AD＝36cm2，

∵36×30＝1080（元），

∴这块地全部种草的费用是1080元

20．解：超速．

理由：由题意得，

在Rt△ADC和Rt△BCD中，∠ACD＝60°，∠BCD＝30°， ∠CAD＝∠ACB＝30°，

故AB＝BC，

在Rt△BDC中

AB＝BC＝14≈24.2（米），

∵汽车从A到B用时2秒，

∴速度为24.2÷2＝12.1（米/秒），

∵12.1×3600＝43560（米/时），

∴该车速度为43.56千米/小时，

∵大于40千米/小时，

∴此校车在AB路段超速．

六年级数学-比例尺应用题-11-人教新课标

一、解答题 (总分：50分 暂无注释)

1.(本题5分)一个机器零件的长度是0.5厘米，在比例尺30：1的图纸上，它的长度是多少？

2.(本题5分)某海军护航编队发现在某海域可疑船只P的位置（O为护航编队的位置），用学过的知识，报告船只P的位置是：可疑船只在护航编队的____偏________°方向____海里处．

3.(本题5分)我国于2015年9月3日在北京天安门广场举行抗战胜利70周年阅兵。天安门广场的长为880 m，宽为500 m，李军在一幅地图上量得天安门广场的长为4.4 cm，王明在另一幅地图上量得天安门广场的长为1.1 cm，而老师说他们量得的数据都对，你能解释原因吗？

4.(本题5分)在一幅比例尺是1：5000000的图上，量得甲城到乙城的距离是9厘米．一辆汽车从甲城开往乙城，每时行驶90千米，5小时后能到达乙城吗？

5.(本题5分)上林家园1号楼的高度是38米，它的高度与模型的高度比是500∶1，模型的高度是多少厘米？

6.(本题5分)在一幅地图上，量得上海到北京的距离是12厘米，一架飞机每小时行720千米，从上海到北京共飞行2小时，求这地图的比例尺？

7.(本题5分)在比例尺直径是 4cm，高是 5cm．

（1）如果在这个水池的底面和四周抺上水泥，抺水泥面积是多少平方米？

（2）这个水池最多能蓄水多少立方米？

8.(本题5分)小明画了一张长20厘米、宽12厘米的画．如果按20：1的比例把这张画放大，放大后的面积是多少平方米？

是的地图上，量得一个圆柱形水池底面 1

9.(本题5分)在比例尺为的地图上量得A、B两城的距离是7.2厘米，一辆汽车以每小时90千米的速度从A城开往B城，几小时可以到达？

10.(本题5分)学校篮球场的规划图中，量得篮球场的长是14厘米，宽是8厘米．如果这张规划图的比例尺是1：200，那么篮球场的实际面积有多大？（用比例解）

1 参考答案

1.答案：解：0.5×30=15（厘米）；

答：在比例尺30：1的图纸上，它的长度是15厘米．

解析：由“图上距离与实际距离的比即为比例尺”可得“图上距离=实际距离×比例尺”，据此即可求解．

2.答案：北东;30;80;

解析：解：通过测量，护航编队发现与可疑船只P的位置的图上距离是0.8厘米，

0.8×100=80（海里），

答：可疑船只在护航编队的北偏东30度方向，距离护船编队80海里．

故答案为：北、东、30，80．

3.答案：答：他们在两幅不同的地图上量天安门广场的长，两幅地图的比例尺不同，所得到的图上距离也不同。

解析：图上距离：实际距离=比例尺，实际距离相同，两幅地图的比例尺不同，所量得的图上距离也不同，据此解答即可。

4.答案：解：5000000×9=45000000（厘米）

45000000厘米=450千米

450÷90=5（小时）

所以5小时能到达乙城．

答：能到达乙城．

解析：根据比例尺的意义，知道在图上是1厘米的距离，实际距离是5000000厘米，现在知道图上距离是9厘米，根据整数乘法的意义，即可求出实际距离是多少；再根据速度，路程和时间的关系，列式解答即可．

5.答案：解：设模型高度为x厘米。

38米=3800厘米

500∶1=3800：x

500x=3800

x=7.6

答：模型的高度是7.6厘米。

解析：因为已知楼房实际高度与模型高度的比，可以把模型的高度设为x厘米，那么38米与x厘米的比就等于楼房高度与模型高度的比。由此列出比例，再根据比例的基本性质求解。

6.答案：解：720×2=1440（千米）

因为1440千米=144000000厘米

则12厘米：144000000厘米=1：12000000

答：这地图的比例尺是1：12000000．

解析：

7.答案：解：（1）4×200=800（分米）=80（米），

5×200=1000（分米）=100（米），

水池的侧面积：

3.14×20×100=6280（平方米），

水池的底面积：

3.14×（80÷2）2=5024（平方米），

抹水泥的面积：

6280+5024=11304（平方米）；

1

（2）水池的容积：

3.14×（80÷2）2×100，

=5024×100，

=502400（立方米）；

答：抹水泥的面积是11304平方米，这个水池最多能蓄水502400立方米．

解析：（1）因为图上距离1厘米表示实际距离200分米，于是即可求出底面直径和高的实际长度，再依据运用圆柱的侧面积公式及圆的面积公式列式解答即可；

（2）第二问是求圆柱形水池的容积，即求圆柱的体积，运用圆柱的体积计算公式，代入数据解决问题．

8.答案：解：（20×20）×（12×20）

=400×240

=96000（平方厘米）

=9.6（平方米）

答：放大后照片的面积是9.6平方米．

解析：根据图形放大与缩小的意义，放大后的照片长是20×20=400（厘米），宽是12×20=240（厘米），根据长方形的面积公式S=ab即可求出放大后照片的面积．

9.答案：解：50×7.2÷90

=360÷90

=4（小时）

答：4小时可以到达．

解析：已知比例尺和图上距离求实际距离，图上距离1厘米表示实际距离50千米，图上距离是7.2厘米，用乘法计算即可求出实际距离，再根据路程÷速度=时间，列式解答．

10.答案：解：设篮球场的实际长是x厘米，

1：200=14：x，

x=200×14，

x=2800，

2800厘米=28米；

设篮球场的实际的宽是y厘米，

1：200=8：y，

y=200×8，

y=1600，

1600厘米=16米；

篮球场的面积：28×16=448（平方米）；

答：篮球场的实际面积有448平方米．

解析：根据比例尺一定，图上距离与实际距离成正比例，由此列出比例分别求出篮球场的实际的长与实际的宽，再根据长方形的面积公式S=ab，即可求出篮球场的实际面积．

1