人教版九年级数学上册21.3 一元二次方程实际问题 讲义设计(无答案(三篇)

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T同步(一元二次方程的实际应用 )

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T能力( )

T同步(一元二次方程实际应用)

同步知识梳理

（大脑放电影~）

1．应用问题中常用的数量关系及题型

(1)数字问题(包括日历中的数字规律)

关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．

(2)体积变化问题

关键是寻找其中的不变量作为等量关系.

(3)打折销售问题

其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝ ×100%．

明确这几个关系式是解决这类问题的关键．

(4)关于两个或多个未知量的问题

重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.

(5)行程问题

对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．

注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.

(6)和、差、倍、分问题

增长量＝原有量×增长率；

现有量＝原有量+增长量；

现有量＝原有量-降低量．

2．解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

要点诠释：

方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．

注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏掉单位；③列方程时，两边单位要统一。

类型一 利用一元二次方程解决增长率问题

1．某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）

A．1280（1+x）＝1600

B．1280（1+2x）＝1600

C．1280（1+x）2＝2880

D．1280（1+x）+1280（1+x）2＝2880

2.经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是( )

A．10%

B．15%

C．20%

D．25%

3．连云港某农户2016种植水稻10亩，总产量为5000kg，该农户逐步改良技术，使今年的总产量增加到6050kg，（1）求这两年平均亩产量的增长率；

（2）按今年的平均增长率增长，他家明年的总产量将是多少？

4．互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．

（1）求平均每年增长率；

（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据：≈1.414）

5．为了深化瑶海教育改革发展，办好人民满意的教育．自2017年以来，瑶海区加大了教育经费的投入，2017年该区投入教育经费6250万元，2019年投入教育经费9000万元，假设该区这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2020年该区投入教育经费多少万元．

类型二 利用一元二次方程解决病毒感染问题

1.电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？

2．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有81人患了此流感．

（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）两轮后，人们觉察到此病，采取预防措施，这样平均一个人一轮以少传染2人的速度递减，则第四轮后共有多少人得此流感？

3.一个消息原来只有小李一人知道，小李把这个消息传出去.听到这个消息的每个人又把这个消息传出去，经这样两轮传播后，知道这 个消息的人已达到36人.问平均每个人传播给多少人?若上述这传播，只需几轮，就能传播给1 000人?

类型三 利用一元二次方程解决比赛/握手问题

1.某中学九年级组织了一次篮球联赛,赛制为单循环形式(即每两队之间都赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?设共有x个队参赛,则列方程为___________________

变式：要组织一场篮球比赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛？

2.参加一次聚会的每两人都互送卡片.若所有人共握手送出卡片10张，那么有多少人参加聚会?

3.路桥区教育局组织教师进行排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），全区有x支球队参加比赛，则比赛总场数y与x之间的关系式是（ ）

A.yx2x B.y

4.某校为更好地开展“阳光体育”活动，觉得组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛，则该校八年级共有班级（ ）

A.6个 B.7个 C.8个 D.9个

5.象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

6.在学校文化艺术节中，围棋比赛进行了单循环赛，若每两个学生之间都只比赛一场，共比赛了45场，求参加围棋比赛的学生人数．

12111xx C.yx2x D.yx2x

2222类型四 利用一元二次方程解决商品销售利润问题

1.某商场销售一种学生用计算器，进价为每台20元，售价为每台30元时，每周可卖160台，如果每台售价每上涨2元，每周就会少卖20台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元，当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？

2.国庆前，某灯具店的护眼台灯进价50元，平均每天卖9台时一天的利润是450元，国庆节期间，店里进行降价促销，发现每降价2元就会多卖3台，但降价幅度不能低于七折，问售价为多少元时，平均一天的利润为1026元？

3.某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？

4．水果店进口一种高档水果，卖出每斤水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000斤，经市场调査后发现，在进价不变的情况下，若每斤售价涨0.5元，每天销量将减少40斤．

（1）若以每斤盈利9元的价钱出售，问每天能盈利多少元？

（2）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每斤水果应涨价多少元？

5.无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．

（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；

（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？

类型五 利用一元二次方程解决与图形面积有关的问题 1.现有一块长方形绿地，它的边长为100m，现将长边缩小与短边相等（短边不变），使缩小后的绿地的形状是正方形，且缩小后的绿地面积比原来减少1200m2，设缩小后的正方形边长为xm，则下列方程正确的是（ ）

A．x（x﹣100）＝1200 B．x（100﹣x）＝1200

C．100（x﹣100）＝1200 D．100（100﹣x）＝1200

2．有一张面积为100cm2的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5：3，面积为150cm2，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．

3．合肥市某小区有一块长12米、宽6米的，计划在其中修建两块矩形空地相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米？

3．如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？

4．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．

（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．

（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．

2

5．用一块边长为60cm的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）． （1）求做成的盒子底面积y（cm2）与截去小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；

（2）当做成的盒子的底面积为900cm2时，求该盒子的容积．

类型六 利用一元二次方程解决动态几何问题

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒种后△DPQ的面积为31cm2？

2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BC＝7cm．动点P在线段AC上从点C出发，沿CA方向运动；动点Q在线段BC上同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P，Q的运动速度均为lcm/s，那么运动几秒时，它们相距5cm．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从A点出发沿AB以5cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从C点出发沿CD以3cm/s的速度向点D移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离为10cm？

4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

26．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动

（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？

（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？

27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3cm/s．

（1）如果P、Q分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21cm2？ （2）如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51cm2？说明理由．

类型七 利用一元二次方程解决情景问题

28．青年旅行社为吸引游客组团去“黄果树﹣﹣龙宫﹣﹣织金洞”一线旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：

某单位组织员工去“黄果树﹣﹣龙宫﹣﹣织金洞”一线旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去“黄果树﹣﹣龙宫﹣﹣织金洞”一线旅游？

类型七 利用一元二次方程解决航海问题

29如图,某海军基地位于A处,其正南方向200海里处有一个重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.

(1)小岛D和小岛F相距多少海里?

(2)已知军舰的速度是补给船速度的2倍,军舰在由B到C航行的途中与补给船相遇于E处,那么相遇的时候航行了多少海里？(结果精确到0.1海里,62.45）

三年级下册数学一课一练-1.3速度、时间和路程(含答案)

一、单选题

1.求汽车每小时行多少千米，要知道（

）

A.

速度和时间 B.

速度和路程 C.

路程和时间 D.

单价和时间

2.如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生的运动情况．图中s和t分别表示运动路程和时间．根据示意图判断快者的速度比慢者的速度每秒快（

）

A. 2.5米 B. 2米 C. 1.5米 D. 1米

3.“大庆”号远洋油轮在海上航行1000小时，行了18500海里，平均每小时航行______海里,照这样速度航行10小时，可航行______海里.（

）

A. 1.85, 18.5 B. 18.5, 185 C. 185, 1850 D. 1.85, 1.85

二、判断题

4.路程÷速度=时间

5.判断对错明2小时行10千米，小光5分钟行400米，如果每人的速度保持不变，一定是小光走得快．

6.一辆客车2小时行了160千米，照这样的速度，它一天可以行1920千米。

7.一辆小汽车4小时行驶360km，照这样计算，8小时可以行驶720 km

。

三、填空题

8.猎豹奔跑的速度是每秒32米，可以写成________。

9.单价=________÷________

路程=________×________

10.填表（自左向右顺次填写）

________

11.一辆汽车0.75小时行驶了55.5千米．照这样计算，这辆汽车每小时可行驶________千米？

12.小红去参加活动，她用了25分种的时间走了半段路程10千米，然后她改变了速度走完后半程10千米，己知她总共用了40分钟到达目的地，则她后半程的速度为________千米/时．

四、选择题

13.甲、乙走完同一段路，甲用6分钟，乙用8分钟，甲和乙的速度比是（

）。

A. 3︰4 B. 4︰3 C.

︰ D. 6

： 8

五、解答题

14.一辆汽车从起始点出发到目的地一共是480千米，假设汽车每小时的速度相等，在行驶了4小时后，距离目的地还有240千米，则这辆汽车的速度是多少千米每小时？

15.埃及金字塔是世界七大奇迹之一，雄伟壮观。经测算一座金字塔高106米，绕塔底一周近1000米，小明3分钟走了156米，照这样计算，21分钟能绕该金字塔走一周吗？

六、综合题

16.小明从甲地去乙地开会，小亮从乙地去甲地卖货物．两人同时从两地相对出发，小明与小亮的速度之比是5：3．

（1）如果相遇时，小明走了200千米，小亮走了多少千米？

（2）如果相遇时小明比小亮多走了32千米，则甲乙两地相距多少千米？

七、应用题

17.某人从甲地去乙地，先步行0.5小时，每小时行3.5千米之后，他又坐汽车经过4小时到达乙地，已知汽车每小时行驶38千米，那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？

参考答案

一、单选题

1.【答案】 C

【解析】【解答】求每小时行多少千米是求速度．

【分析】路程=速度×时间

2.【答案】 C

【解析】【解答】64÷8-(64-12)÷8

=8-52÷8

=8-6.5

=1.5(米)

故答案为：C

【分析】两人行的时间都是8s，一人的路程是64米，一人的路程是(64-12)米，用路程除以时间分别求出速度，再用减法计算即可.

3.【答案】 B

【解析】【解答】解：平均每小时航行：18500÷1000=18.5(海里)，10小时航行：18.5×10=185(海里)

故答案为：B

【分析】用共行的路程除以1000即可求出平均每小时航行的路程，用平均每小时航行的路程乘10即可求出10小时可以航行的路程.

二、判断题

4.【答案】

正确

【解析】【分析】由于速度乘时间等于路程，所以路程÷速度=时间，这种关系表述是正确的。

5.【答案】

错误

【解析】【解答】小明：10千米=10000米，2小时=120分钟；10000÷120=83(米)……40(米)；

小光：400÷5=80(米)；

83＞80

所以小明走的快，原题错误.

故答案为：错误

【分析】把小明走的路程换算成米，2小时换算成分钟，用路程除以时间分别求出两人每分钟走的路程，比较后即可判断谁走的快.

6.【答案】

正确

【解析】【解答】一天有24小时，即有12个2小时，列竖式算出12×16=192，被乘数扩大10倍，则答案为1920。则判断正确。

【分析】

理解题意后，列出算式，根据竖式运算得出12×16的答案，再由积的变化规律得出答案后作出判断。

7.【答案】

正确

【解析】【解答】解：360÷4=90km，8×90=720km，所以8小时可以行驶720km。

故答案为：正确。

【分析】这辆汽车的速度=4小时行驶的距离÷4，那么8小时行驶的距离=这辆汽车的速度×8。

三、填空题

8.【答案】 32米/秒

【解析】【解答】

猎豹奔跑的速度是每秒32米，可以写成32米/秒.

故答案为：32米/秒.

【分析】根据题意可知，速度可以表示为米/秒或千米/时，据此解答.

9.【答案】

总价；数量；速度；时间

【解析】【解答】解：单价=总价÷数量；路程=速度×时间。

故答案为：总价；数量；速度；时间。

【分析】根据单价和路程的计算公式作答即可。

10.【答案】 3132;160;13

【解析】【解答】解：(1)116×27=3132，(2)960÷6=160，(3)1066÷82=13；所以自左向右顺次填写为：3132，160，13。

故答案为：。

【分析】根据速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，列式计算，即可解答此题。

11.【答案】 74

【解析】【解答】55.5÷0.75=74（千米）

答：这辆汽车每小时行驶74千米。

故答案为：74

【分析】根据公式速度=路程÷时间，即可求出速度。

12.【答案】 40

【解析】【解答】她走后半程所用的时间为：

(40－25)÷60

＝15÷60

＝0.25(小时)

10÷0.25＝40(千米/时)

故答案为：40

【分析】解答本题的关键是明确路程÷时间＝速度，解答本题时要注意统一单位.

四、选择题

13.【答案】 B

【解析】【解答】解：甲的速度：乙的速度=8：6=4：3。

故答案为：B。

【分析】路程一定，速度和时间成反比。

五、解答题

14.【答案】

解：

（480-240）÷4

=240÷4

=60（千米/小时）

答：这辆汽车的速度是60千米每小时.

【解析】【分析】用总路程减去还有的路程就是汽车行驶的路程，用行驶的路程除以行驶的时间即可求出每小时行驶的路程.

15.【答案】

解：156÷3×21

=52×21

=1092（米）

1092＞1000

答： 21分钟能绕该金字塔走一周

。

【解析】【分析】路程÷时间=小明速度，小明速度×走的时间=可以走的路程，因为可以走的路程大于1000米，所以21分钟能绕该金字塔走一周

。

六、综合题

16.【答案】

（1）解：200×

=120（千米）；

答：小明走了120千米

（2）解：32÷（5﹣3）×（5+3），

=32÷2×8，

=128（千米）．

答：甲乙两地相距128千米．

【解析】【分析】（1）因为，小明的速度：小亮的速度=5：3，当时间一定时，距离和速度成正比，所以，小明走的路程：小亮走的路程=5：3．则小亮走的路程就是小明所走路程的

，根据分数乘法的意义列式，

解答即可．（2）根据两人所走路程的比是5：3，则全长为（5+3）8份，小明和小亮所走的路程就各占其中的5份和3份．因此相遇时小明比小亮多走的32千米就占（5﹣3）2份，每份的千米数可以求出，用每份的千米数乘以8即可．解答该题（1）的关键是把两人的速度比变成路程比，重点是根据路程比，求出小亮走的路程是小明所走路程的几分之几；（2）关键是根据两人所走的路程比求出每份的千米数．

七、应用题

17.【答案】

解：0.5×3.5＋4×38

＝1.75＋152

＝153.75(千米)

答：甲、乙两地之间的距离是153.75千米.

【解析】【分析】根据“速度×时间=路程”列式计算分别求出步行的路程和坐汽车的路程，把两段路程相加即可求出两地之间的距离.

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速度单位的换算关系如下：

1 mph = 1.609344 km/h

1 km/h = 0.6213712 mph

KM大家都知道是公里的意思，而 MPH大家都俗称“迈”，在国外是“英里”的意思。

咱们车上的速度表都是以 KM来显示的，国外是 MPH

而咱们好些人确老爱说车速为多少多少迈，这就不对了，按上面的公式换算一下就知道时速

是多少公里了。比如说“我当时速度

用途

80迈”，实际上已经128公里了。

个人收集整理 勿做商业

常用速度单位

m/s （米每秒）

MPH = Miles per hour （ 英里 每 小时）

KPH = Kilometers per hour （ 公里 / 时，千米 / 时）

knot节（船速，=哩/小时）

kts = knots per hour 节（海里 / 小时）

mach number 马赫数

常用快速换算

1 m/s = 0.279 KPH = 0.449 MPH

1 MPH = 1.61 KPH

1 knot = 0.5144444 m/s = 1.152 MPH = 1.85 KPH

mach nu mber = object speed / sonic speed kts = knots

1 mach nu mber = sonic speed

马赫是表示速度的量词， 又叫马赫数。音速的单位是马赫.一马赫即一倍音速（声速）：音速为 压力波（声波）在流体中传递的速度。马赫数的命名是为了纪念奥地利学者马赫

（Ernst Mach, 1838-1916）。个人收集整理 勿做商业用途

马赫一般用于飞机、火箭等航空航天飞行器。由于声音在空气中的传播速度随着不同的条件 而不同，因此马赫也只是一个相对的单位，每“一马赫”的具体速度并不固定。在低温下声 音的传播速度低些，一马赫对应的具体速度也就低一些。因此相对来说，在高空比在低空更 容易达到较高的马赫数。

个人收集整理勿做商业用途

1947年10月14日，耶格尔驾驶 X-1试验飞机在加州南部上空脱离

二千米高空，并在此高度上达到每小时

人收集整理勿做商业用途

B-29母机，上升到一万

1078千米的速度，首次突破音障，超过了一马赫。个

当马赫数Ma<1.0时，流体所受的压力不足以压缩流体，仅会造成流体的流动。在此状况下，

流体密度不会随压力而改变， 此种流场称为亚音速流（Subsonic flow）,流场可视为不可压缩

流场（Incompressible flow）。一般的水流及大气中空气的流动，譬如湍急的河流、台风风场

和汽车的运动等，皆属于不可压缩流场。 但流体在高速运动 （流速接近音速或大于音速） 时， 流体密度会随压力而改变，此时气体之流动称为可压缩流场

（Compressible flow）。当马赫数

个人收集整理勿

Ma>1.0,称为超音速流（Supersonic flow），此类流况在航空动力学中才会遇到

做商业用途

10马赫大约合11000公里

1 mph = 1.609344 km/h

1 km/h = 0.6213712 mph

1 / 2

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KM大家都知道是公里的意思，而 MPH大家都俗称“迈”，在国外是“英里”的意思 .

常用速度单位

m/s (米每秒)

MPH (Miles per hour) 英里 每 小时

KPH ( Kilometers per hour) 公里 / 时,千米 / 时

knot节(船速，=哩/小时)

kts = knots per hour 节(海里 / 小时)

Mach number 马赫数

常用快速换算

1米/秒=0.279 公里/时=0.449 英里/时

1英里/时=1.61 千米/时

1节=0.5144444 米/秒=1.152 英里/时=1.852 千米/时

1节等于每小时1海里,也就是每小时行驶1.852千米(公里)。

Mach number = object speed(

kts = knots

1马赫=1音速

1 英尺 / 秒(ft/s)=0.3048 米/ 秒(m/s)

1 英里 / 时(mile/h)=0.44704 米 / 秒(m/s)

对象速度)/ sonic speed( 音速)

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