第一章(五篇)

第一章 勾股定理

测试1 勾股定理(一)

一、填空题

1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．

2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；

(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；

(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；

(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．

3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．

(A)150cm2

(C)225cm2

三、解答题

4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．

5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．

二、选择题

6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．

(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算

(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；

(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

第 1 页

共 1 页

(A)4 (B)6 (C)8 (D)210

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．

(B)200cm2

(D)无法计算

9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 综合、运用、诊断

一、选择题

10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．

(A)1个

(C)3个

二、填空题

11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．

(B)2个

(D)4个

14．如图，△ABC中，∠C＝90°．

(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；

图①

(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；

12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．

图②

三、解答题

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．

BC的长．

图③

拓展、探究、思考

第 2 页

共 2 页

测试2 勾股定理(二)

课堂学习检测

一、填空题

1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．

2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．

3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．

(A)122

(C)65

3题图

4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

三、解答题

(A)5m (B)7m

5题图

(C)8m (D)10m

6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．

6题图

(B)103

(D)85

7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

4题图

二、选择题

5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．

8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?

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共 3 页 综合、运用、诊断

一、填空题

9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为____

__米．

12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?

10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)

拓展、探究、思考

13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管

二、解答题：

11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．

第 4 页

共 4 页

的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

测试3 勾股定理(三)

课堂学习检测

一、填空题

1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．

2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．

3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．

4．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，则△ABC的面积为______．

5．在△ABC中，若∠ACB＝120°，AC＝BC，AB边上的高CD＝3，则AC＝______，AB＝______，BC边上的高AE＝______．

二、选择题

6．已知直角三角形的周长为26，斜边为2，则该三角形的面积是( )．

1(A)

43(B)

41(C)

2

综合、运用、诊断

10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．

11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

(D)1

7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )．

(A)7

三、解答题

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝210求AB的长．

(B)7或41 (C)42 (D)42或7

12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

第 5 页

共 5 页

13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且

15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积Sn＝______．

DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．

拓展、探究、思考

14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?

第 6 页

共 6 页

测试4 勾股定理的逆定理

课堂学习检测

一、填空题

1．如果三角形的三边长a、b、c满足a＋b＝c，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．

2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．

3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)

4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；

②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；

③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．

5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝____________；

6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．

2229．下列线段不能组成直角三角形的是( )．

(A)a＝6，b＝8，c＝10

53(C)a,b1,c

44 (B)a1,b2,c3

(D)a2,b3,c6

10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．

(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26 (D)25∶144∶169

11．已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．

(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定

综合、运用、诊断

一、解答题

12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

13．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．

8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．

二、选择题

第 7 页

共 7 页

114．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB，4求证：AF⊥FE． 来的式子．

第十八章 勾股定理全章测试

一、填空题

15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

拓展、探究、思考

16．已知△ABC中，a＋b＋c＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下第 8 页

共 8 页

2221．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．

2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．

3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．

3题图

4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．

4题图

5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．

5题图

6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．

(A)450a元

10题图

(B)225a元 (C)150a元 (D)300a元

11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )．

6题图

7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．

8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

(A)2

(B)3 (C)22 (D)23

12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )．

8题图

二、选择题

9．下列三角形中，是直角三角形的是( )

(A)三角形的三边满足关系a＋b＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3

(A)5

三、解答题

(B)513 (C)1313 (D)95

13．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

(C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，41

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )．

第 9 页

共 9 页 14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．

15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP2＋PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．

16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．

17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?

图1 图2 图3

(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；

(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；

(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．

18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．

第 10 页

共 10 页

19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 参考答案

勾股定理

测试1 勾股定理(一)

1．a2＋b2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．

3．25． 4．52，5． 5．132cm． 6．A． 7．B． 8．C．

9．(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；

(4)63； (5)12．

＝(x＋10)2＋202，解得x＝5．

11．BE＝5．提示：设BE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴32＋(9－x)2＝x2．解得x＝5．

12．EC＝3cm．提示：设EC＝x，则DE＝EF＝8－x，AF＝AD＝10，BF＝AF2AB26，CF＝4．在Rt△CEF中(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．

13．提示：延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．

14．提示：过A，C分别作l3的垂线，垂足分别为M，N，则易得△AMB≌△BNC，则AB34,AC217.

10．B． 11．5. 12．4． 13．103.

14．(1)S1＋S2＝S3；(2)S1＋S2＝S3；(3)S1＋S2＝S3．

测试2 勾股定理(二)

1．13或119. 2．5． 3．2． 4．10．

5．C． 6．A． 7．15米． 8．3米．

215．128，2n－1．

测试4 勾股定理的逆定理

1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)．

4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．

7．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．

9．D． 10．C． 11．C．

12．CD＝9． 13．15.

14．提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．

1039．3 10．25． 11．2322. 12．7米，420元．

13．10万元．提示：作A点关于CD的对称点A′，连结A′B，与CD交点为O．

测试3 勾股定理(三)

1．34,1532a.

34; 2．16，19.2． 3．52，5． 4．43415．南偏东30°．

16．直角三角形．提示：原式变为(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0．

5．6，63，33． 6．C． 7．D

8．213. 提示：设BD＝DC＝m，CE＝EA＝k，则k2＋4m2＝40，4k2＋m2＝25．AB＝17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．

18．352＋122＝372，[(n＋1)2－1]2＋[2(n＋1)]2＝[(n＋1)2＋1]2．(n≥1且n为整数)

4m24k2213.

9．1013,1323,图略．

10．BD＝5．提示：设BD＝x，则CD＝30－x．在Rt△ACD中根据勾股定理列出(30－x)2第 11 页

共 11 页

2222

参考答案

勾股定理全章测试

1．8． 2．3. 3．10. 4．30． 5．2．

6．3．提示：设点B落在AC上的E点处，设BD＝x，则DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，

由勾股定理得：AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况．

①如图1，当AB＝AD＝10时，可求CD＝CB＝6得△ABD的周长为32m．

图1

②如图2，当AB＝BD＝10时，可求CD＝4

CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．

7．26或526.

8．6．提示：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．

9．D． 10．C 11．C． 12．B

213．21. 提示：作CE⊥AB于E可得CE3,BE5,由勾股定理得BC27,由三角7

图2

由勾股定理得：AD45，得△ABD的周长为(2045)m.．

③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，

形面积公式计算AD长．

14．150m2．提示：延长BC，AD交于E．

15．提示：过A作AH⊥BC于H

AP2＋PB·PC＝AH2＋PH2＋(BH－PH)(CH＋PH)

＝AH2＋PH2＋BH2－PH2

＝AH2＋BH2＝AB2＝16．

16．14或4．

17．10；

2916n2.

18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，862,8210,62210.

19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6

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共 12 页

图3

由勾股定理得：x

8025，得△ABD的周长为m.

33

六年级下册数学-小升初行程问题应用题及答案-人教版

评卷人 得分

一、解答题（题型注释）

1.两艘小船保持600米的间隔从河的上游往下游开，两个人A和B在河岸上同一地点．当前面的小船来到两个人的面前时，A向河的上游，B向河的下游以相同的速度走出去．这样，A在两分钟后遇上了后面的小船，又过了3分钟，B被后面的小船超过．问他们两人行走的速度是多少？

2.甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，经过3.5小时相遇．相遇时，乙车比甲车多行70千米．已知乙车每小时行的路程是甲车的1.5倍．甲车每小时行多少千米？

3.甲、乙两车同时从两地相对开出，相遇时甲车超过两地中点30千米，这时甲车和乙车所行路程的比是5：3，两地路程是多少千米？

4.一辆汽车从甲地到乙地，行了3.2小时，每小时行95千米，返回甲地用了3.8小时，平均每小时行多少千米？

5.甲、乙两站之间的铁路长1650千米，一列客车以每小时80千米的速度从甲站开往乙站，一列货车以每小时70千米的速度从乙站开往甲站，两车同时出发，相遇时行驶了几小时?

宁夏固原市原州区大疙瘩小学

宁夏固原市原州区大疙瘩小学

6.在400米环形跑道上进行10000米赛跑，乙始终保持一个固定的速度前进；甲刚开始的速度比乙慢，但一直没有被乙追上．计时到30分0秒时甲开始加速并保持这个速度；36分0秒时甲追上乙，46分0秒时甲再次追上乙，47分40秒时甲到达终点．问：计时到几分几秒时乙到达终点？

7.王叔叔骑自行车从甲地到乙地,每时行12千米,需要2.5时,回来时每时多行3千米,用了几时?

8.小李平常的反应时间是0.16秒，酒后的反应时间是0.62秒，如果他骑摩托车的速度是28米每秒，遇到紧急情况时，酒后的刹车距离要比平时长多少米？谈谈你的体会。（除不尽的保留两位小数）

9.一辆汽车以104千米/时的速度从甲地开往乙地,行驶3小时能到达。返回时逆风,用了4小时。这辆汽车返回时的平均速度是多少?

10.一艘船以每小时34海里的速度航行，上午7时30分从甲港出发，晚上9时30份到达乙港。这两个港口之间的水路长是多少海里？

11.甲车每小时行48千米，乙车每小时行56千米，两车从相距12千米的两地同时背向而行，几小时后两车相距272千米? 宁夏固原市原州区大疙瘩小学

12.一辆汽车行千米用汽油

升，用升汽油可以行多少千米？

13.小明要去离家360千米的地方看奶奶，他早上7点出发，火车的平均速度为每小时60千米，他中午能到达目的地吗？

14.2019年1月2日，中国自行研造的“复兴号”动车首次实现时速350千米自动驾驶功能，从杭州到上海共210km，比以前乘坐200km/h的动车，可节约多少小时？

宁夏固原市原州区大疙瘩小学 参数答案

1.解：后边的船与B的速度差为600÷（2+3）=120（米/分钟）；

设两人行走的速度为x，则后边小船的速度为x+120，根据与A的相遇时间及路程可得方程：

（x+x+120）×2=600．

2x+120=300，

2x=180，

x=90．

答：两人行走的速度为90米每分钟．

【解析】1.根据题意可知，本题中包含了行程问题中的相遇与追及两个问题，A与后面的船是相遇问题，B被后面的船追上为追及问题，相遇路程与追及路程同为 600米．A在两分钟后遇上了后面的小船，又过了3分钟，B被后面的小船超过，即后面的船追上B共用了3+2=5分钟，所以后边的船与B的速度差为 600÷5=120（米/分钟）；设两人行走的速度为x，则后边小船的速度为x+120，根据与A的相遇时间及路程可得方程：

（x+x+120）×2=600．

2.解：设甲车的速度是x千米，则乙车的速度是1.5x米，

1.5x×3.5﹣3.5x=70，

3.5×（1.5x﹣x）=70，

0.5x=70÷3.5，

0.5x=20，

x=20÷0.5，

x=40

答：甲车每小时行40千米．

【解析】2.设甲车的速度是x千米，则乙车的速度是1.5x千米，那么经过3.5小时，甲、乙各行3.5x千米，1.5x×3.5千米，再根据“乙车比甲车多行70千米，”列方程解答．解答此题的关键是，根据题意设出未知数，再根据数量关系等式，列方程解决问题．

3.解：30×2÷（ ﹣ ）

=60÷（ ﹣ ），

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=60÷ ，

=240（千米）．

答：两地的路程是240千米．

【解析】3.相遇时甲车超过两地中点30千米，即此时甲车比乙车多行了30×2=60千米，又甲车和乙车所行路程的比是5：3，即甲车行了全程的

55+3 ，乙车行了全程的

35+3 ，所以这60千米占全程的

535+3 ﹣

5+3 ，所以全程为：60÷（

5 ﹣

35+35+3 ）．在此类问题中，如果相遇时甲车超过两地中点n千米，则甲车比乙多行2n千米．

4.解：95×3.2÷3.8

=304÷3.8

=80（千米）

答：平均每小时行80千米

【解析】4.先依据路程=速度×时间，求出两地间的距离，再依据速度=路程÷时间即可解答．

5.1650÷(80+70)=11(时)

答：相遇时行驶了11小时

6.50分钟．

【解析】5.

试题分析：由于36分0秒时甲追上乙，46分0秒时甲再次追上乙，即甲加速后，每46分﹣30分=10分钟比乙多行一圈，从66分0秒时甲再次追上乙后，47分40秒时甲到达终点，则在经过了47分40秒﹣36分=1分40秒即11分内，在这甲比乙多行了11÷10=1圈，由于跑10000米共需要跑10000÷400=25圈，所以当甲到达终点时，乙已跑了25﹣1=23圈，用时47分，则每跑一圈用时47÷23=2分钟，所以乙到达终点需要25×2=50分钟．

解：46分﹣30分=10分钟

47分40秒﹣36分=1分40秒=11分

47分40秒=47分 11÷10=1（圈）

47÷（10000÷400﹣1）×（10000÷400）

=47÷23×25

=50（分钟）

答：乙到达终点需要50分钟．

7.2时

【解析】6.

12×2.5÷(12+3)=2(时)

8.12.88米；酒后不要开车，会危及自身以及他人的生命.

【解析】7.

平常的刹车距离：28×0.16+28×28÷14=4.48+56=60.48（米）酒后的刹车距离：28×0.62+28×28÷14=17.36+56=73.36（米）73.36-60.48=12.88（米）

答：酒后的刹车距离要比平时长12.88米。

体会：酒后不要开车，会危及自身以及他人的生命.

9.78千米/时

【解析】8.

104×3÷4

=312÷4

=78(千米/时)

答:这辆汽车返回时的平均速度是78千米/时。

10.476海里

【解析】9.

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解答本题时，我们要先求出题目中隐含的已知条件，也就是这艘船的航行时间，在题目中没有直接告诉我们航行的时间，这就需要我们先求出船航行的时间，然后再根据“路程=速度×时间”求出甲、乙两个港之间的水路长多少海里？

晚上9时30分=21时30分

航行时间为：21-7=14小时

34×14=476（海里）

答：甲、乙两个港之间的水路长476海里。

11.2.5小时

【解析】10.

先算两车需要行驶的路程272-12=260（千米），甲车每小时行48千米，乙车每小时行56千米，两车每小时共行的路程是：48+56=104（千米），用路程260除以速度104就是所用的时间。

解：（272-12）÷（48+56）

= 260÷104

=2.5（小时）

答：2.5小时后两车相距272千米。

12.千米

【解析】11.

（÷）×=（千米）

13.不能

【解析】12.

小明到达目的地需要的时间=小明家与奶奶家之间的距离÷火车平均每小时行的距离，小明出发的时间+小明到达目的地需要的时间=小明到达目的地的时间，如果小明到达目的地的时间如果超过12时，说明他中午不能到达目的地，如果小于或等于12时，

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说明他能够到达目的地。

360÷60=6（小时）

7+6=13时

答：他中午不能到达目的地。

14.0.45小时

【解析】13.

210÷200﹣210÷350

＝1.05﹣0.6

＝0.45（小时）

答：可节约0.45小时．

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2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》解答专题训练（附答案）

1．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA＝30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？

2．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．

3．如图，一根2.5米长的竹竿AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端为0.7米，如果竹竿的底端沿地面向外滑动0.8米，那么点A将向下移动多少米？

4．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面圆的直径为cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）

5．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．

6．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）

7．如图，长方体底面是长为2cm宽为1cm的长方形，其高为8cm．

（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少？

（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要多少？

8．如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？

9．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为多少？

10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．

（1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

（2）若BE⊥DC，垂足为E，求BE的长．

11．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

12．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，AD⊥BC于点D，求AD的长．

13．2017年9月3日21时30分，台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏．台风“玛娃”将一棵竖直9米高的参天古树吹折（如图），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度．

14．某工厂的大门如图所示，其中下部分是矩形，上部分是一个半圆，一辆装满货物的卡车要通过此门．已知卡车高为2.5m，车宽为1.6m，你认为卡车能通过工厂的大门吗？请说明理由．

15．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．

试问：

（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点．

（1）画出从点A到点B的台阶侧面展开图；

（2）求壁虎爬行的最短路线的长．

17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

18．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

19．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．

20．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；

（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．

（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？

参考答案

1．解：由题意可知，OA＝16×1.5＝24（海里），OB＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，

∵242+182＝302，即OA2+OB2＝AB2，

∴△OAB是直角三角形，

∵∠AOD＝40°，

∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．

2．解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），

则AE＝AB﹣0.8，

在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，

∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2

解得：x＝4，

答：秋千AB的长为4m．

3．解：由题意得，AB＝A1B1＝2.5m，BC＝0.7m，B1C＝1.5m，

在Rt△ABC中，AC＝在Rt△A1B1C中，A1C＝则顶端下移的距离＝2.4﹣2＝0.4（m），

答：点A将向下移动0.4米．

＝2.4（m），

＝2（m），

4．解：画圆柱的展开图，如图所示：

过C作CM⊥DE于M，

由题意得：BC＝DF＝1，DE＝AB＝18， ∴FM＝DE﹣DF﹣ME＝18﹣1﹣1＝16，

CM＝π××＝10，

＝＝2，

cm．

由勾股定理得：CF＝答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为2

5．解：此车超速，

理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，

∴△POB是等腰直角三角形，

∴OB＝OP＝100米，

∵∠APO＝60°，

∴OA＝OP＝100≈173米，

∴AB＝OA﹣OB＝73米，

∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，

∴此车超速．

6．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；

根据勾股定理可得：

（m）

∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；

∵72（km/h）＞70（km/h）；

∴这辆小汽车超速行驶．

答：这辆小汽车超速了．

7．解：（1）将长方体的四个侧面展开如图，连接A、B，

根据两点之间线段最短，

AB＝cm； （2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，

相当于直角三角形的两条直角边分别是12和8，根据勾股

定理可知所用细线最短需要4cm．

cm． 答：（1）所用细线最短需要10cm． （2）所用细线最短需要4

8．解：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，

由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6．

答：旗杆的高度为9.6 m．

9．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，

∵∠QON＝30°，OA＝240米，

∴AC＝120米，

当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，

∵AB＝200米，AC＝120米，

∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，

∵72千米/小时＝20米/秒，

∴影响时间应是：320÷20＝16秒．

答：A处受噪音影响的时间为16秒．

10．（1）解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

即∠DBC＝90°， S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC，

＝×4×3+×12×5＝36．

所以需费用36×200＝7200（元）．

（2）作BE⊥CD，垂足为E，

在Rt△DBC中，

由于BD•BC＝CD•BE，

即BE＝＝．

11．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，

∴BC＝CA．

设AC为x，则OC＝9﹣x，

由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，

又∵OA＝9，OB＝3，

∴32+（9﹣x）2＝x2，

解方程得出x＝5．

∴机器人行走的路程BC是5cm．

12．解：如图所示．

则∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．

∴∠CAB＝∠ABD，

∴BC＝AC＝100海里．

在Rt△ACD中，设CD＝x海里，

则AC＝2x海里，AD＝在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2BD＝＝＝x，

＝3x，

＝x，

又∵BD＝BC+CD， ∴3x＝100+x，

解得x＝50，

∴AD＝x＝50海里．

13．解：设断裂处距树底的高度为x米，则树尖距吹折处为（9﹣x）米，由勾股定理得：

x2+62＝（9﹣x）2，

解得：x＝．

故断裂处距树底的高度是米．

14．解：能通过，理由如下：

设点O为半圆的圆心，则O为AB的中点，OG为半圆的半径，

如图，∵直径AB＝2（已知），

∴半径OG＝1，OF＝1.6÷2＝0.8，

∴在Rt△OFG中，FG2＝OG2﹣OF2＝12﹣0.82＝0.36；

∴FG＝0.6

∴EG＝0.6+2.3＝2.9＞2.5．

∴能通过．

15．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．

理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，

∵∠ABD＝30°，AB＝240，

∴AD＝AB＝120， ∵城市受到的风力超过四级，则称受台风影响，

∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200．

∵120＜200，

∴该城市会受到这次台风的影响．

（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．

则AE＝AF＝200．

∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．

（3）∵AD距台风中心最近，

∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）＝7.2（级）．

＝320．

16．解：（1）将台阶展开，如图；

（2）因为BC＝30×3+10×3＝120，AC＝50，

所以AB2＝AC2+BC2＝16900，

所以AB＝130（cm），

所以壁虎爬行的最短线路为130cm．

17．解：设水池的深度为x尺，由题意得：

x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12，

则x+1＝13，

答：水深12尺，芦苇长13尺．

18．解：在Rt△ABC中：

∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，

∴AB＝＝12（米），

∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，

∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），

∴AD＝＝＝（米），

）米．

（米），

∴BD＝AB﹣AD＝12﹣答：船向岸边移动了（12﹣19．解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，

则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），

BC＝70﹣20+10＝60（米），

故终止点与原出发点的距离AB＝＝100（米），

答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．

20．解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：

（cm）．

（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝所以最短路程为cm；

cm，

cm＞AG＝（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B＝＝13（Cm）．

1

2015年中考一元二次方程的实际应用题专题

类型1、传播问题

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

举一反三：

【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

类型2、平均增长率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

1.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

【变式2】青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

1 2

2.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

举一反三：

【变式1】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

【变式2】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率.

类型3、储蓄问题

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率(税率是20%) 本金×(1+利率×期数)=本息和

本金×[1+利率×期数×(1-20%)]=本息和(收利息税时)

1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率

举一反三：

2 3

【变式1】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

类型4、商品销售问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

1.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，

3 4

每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

举一反三：

【变式1】某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8 000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?

【变式2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1 600元，每件应降价多少元？

【变式3】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系：

(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销量减少的数量(件)之间的关系．

(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1 600元？

2.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

4 5

举一反三：

【变式1】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

举一反三：

【变式1】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

【变式2】西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价格出售，每天可售出２００千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

类型5、面积问题

1. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为31米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

5 6

举一反三：

【变式1】一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？

2【变式2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

3(2)如果计划每天挖土48m，需要多少天才能把这条渠道挖完？

2.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去的小正方形的边长。

举一反三：

【变式1】如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。则道路的宽为?

【变式2】一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？

3.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场

6 7

的面积能达到150m吗？②鸡场的面积能达到180m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?

举一反三：

2【变式1】要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m

(1)求鸡场的长与宽各是多少？

(2)题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

【变式2】某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．

(1)如图1，请分别写出每条道路的面积(用含a或含b的代数式表示)；

2 (2)已知a∶b=2∶1，并且四块草坪的面积之和为312m，试求原来矩形场地的长

与宽各为多少米？

(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同 时符合下述两个条件)：

请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积．

4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

2222

7 8

举一反三：

【变式1】将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.

B

图4

图2

图3

类型6、动态几何问题

1.如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积

8 9

的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

举一反三：

【变式1】已知：如图3-9-3所示，在△ABC中，

B90,AB5cm,BC7cm,点P从点A开始沿

AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿

BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果P,Q分别

从A,B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm？

2（2）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm?说明理由.

2

类型7 比赛和赠送问题

1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

举一反三：

【变式1】参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

9 10

【变式2】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？

举一反三：

【变式1】一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？

类型8、一元二次方程应用新题型

1．情景对话

春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.

如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.

图1

10 11

2．梯子问题

一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.

（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

3.航海问题

如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标ADC，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

图5

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）

11 12

4.图表信息

如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

纸片的边长n 2 3 4 5 6

使用的纸片张数

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2. ①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.

5.平分几何图形的周长与面积问题

在等腰梯形ABCD中， AD平行BC,AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

12 13

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

6．利用图形探索规律

在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

图8

（1）观察图形，请填写下列表格：

正方形边长

黑色小正方形个数

正方形边长

黑色小正方形个数

2

4

6

8

…

…

1

3

5

7

…

…

n（奇数）

n（偶数）

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数请写出n的值；若不存在，请说明理由.

．．n，使P2＝5P1？若存在，

13

本章课标要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

探索勾股定理（1）

学习目标：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

自助探究

1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，

这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它

的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？

2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友

家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看能发现什么？

1 (1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；

(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.

结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角

B三角形也有这个性质吗？

A

C

C\'

A\'

B\'

4、猜想：

5动手操作、验证猜想：

（二）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表．观察三条边的平方有什么关系？(其中a、b是两直角边长，c是斜边长)

a2

b2

c2

J

结论．我们古代把直角三角形中较短的直角边称为 ，较长的直角边称为 ，斜边称为 ．从而得到著名的勾股定理： ．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ．

课题检测1. 求出下列直角三角形中未知边的长度。 2

2、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积

巩固练习1．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝ （2）若c＝5，a＝3，则b＝

2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 。

3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 。

4．一个抽斗的长为24cm，宽为7cm，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？

总结评价：今天的学习，我学会了：

我在 方面的表现很好，在

方面表现不够，以后要注意的是：

总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

探索勾股定理（2）

一、学习目标：

1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。，

3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。

二、学习重点：

通过自主学习验证归纳勾股定理。并进行应用。

三、学习过程：

3 （一）、学前准备：

1、每位同学准备四个全等的直角三角形。

2、自主阅读课本本节内容。

（二）、自学、合作探究：

活动一：各小组用8个同样大小的直角三角形。

活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。

思考1： 你能由图1表示大正方形的面积吗？

能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？

2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？

能由此得到勾股定理吗？

3、请利用图3验证勾股定理

图2

图1

a

b

a

c

c

b

4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？摆摆看。

4

（三）小结反思：理解这种数学方法，习惯上称为“算两次”。

例题讲解

例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

基础训练

1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .

2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .

3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 .

4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为 。

５．一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？

知识拓展

7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

5

ADEBFC

总结评价：今天的学习，我学会了：

我在 方面的表现很好，在

方面表现不够，以后要注意的是：

总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

能得到直角三角形吗

一、学习目标

1、掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。这是本节的重点和难点。

2、理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。

二、自学感知

阅读课本第17---18页，解决下列问题：

1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

(1)3,4,5, (2)6, 8, 10

2、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？

3、满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数。

4、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。

（1）9,12,15; (2)15,36,39 ； （３）12，35，36； （４）12，18，22

三、典型例题

1：如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？

2、填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”

2倍 3倍 4倍 5倍

3,4,5 6,8,10

5,12,13 15,36,39

8,15,17 32,60,68

7,24,25 70,240,250

四、课堂练习

1、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）

Ａ、８，15，17； Ｂ、４，５，６； Ｃ、５，８，10； Ｄ、8，39，40

6 ２、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（ ）Ａ、等腰三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、等腰直角三角形 Ｄ、等腰三角形或直角三角形

３、已知：在△ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)。

试判断△ABC的形状.

４、如图所示，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９００，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，ＣＤ＝１２，ＡＤ＝１３，求四边形ＡＢＣＤ的面积。

六、达标检测

１、下列几组数中，为勾股数的是（ ）

A、4，5，6 B、12，16，20 C、-10，24，26 D、2.4，4.5，5.1

2、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D 、都有可能

3、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,

求这块草地的面积。

4、如图所示，在△ABC中，AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12,∠B与∠C相等吗？为什么？

7

总结评价：今天的学习，我学会了：

我在 方面的表现很好，在

方面表现不够，以后要注意的是：

总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

勾股定理的应用

【学习目标】

运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。

【学习重点】

探索、发现问题中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决实际问题。

【自学感知】解决下列问题：

1、自己做一个圆柱，在圆柱的上下底面上分别标出两点，思考并找出这两点之间的最短路线？画出图形说明。

2、求圆柱下底面圆上一点到上底面圆上一点之间的距离时，需将 展开，转化为求平面上两点之间的 。

3、如图所示，如果只给你一把带刻度的直尺，你能否检验∠MPN是不是直角，简述你的作法。

【自学探究与合作交流】

【自学1】

1、有一个圆柱它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（参看P.22页图1—18）

⑴利用学具，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线路，你觉得那条线路最短？

由问题⑵及图1—19想一想，此问题是通过怎样的转换得以化简的。

【合作1】

立体图形中的两点之间的最短距离

8

BBA

A

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，

从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?

（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

解：依题意，把圆柱的侧面展成如图所示的长方形，

求最短路线问题就变成了根据 求

三角形边的问题。

【自学2】

A8cm8cm12cmB 2、一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、

12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮

蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

⑴ 你的学具上画出几条线路，你认为将长方体侧面展开有几种方式？

反思：此问题是将立体的线路问题先 为平面的线路问题，再利用所学数学常识解决问题。

【课堂练习】

应用勾股定理及直角三角形的判定解决简单的实际问题

1、做一做：课本P23.

【今日作业】

1、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个

宽为9米的护城河，那么一个长为15米

的云梯能否到达墙的顶端？

9cm15cm11.7cm

【巩固练习】

2、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形

油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入

一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，

问这根铁棒最长应有多长？

9

2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

勾股定理复习

图1

学习目标

1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.

2.勾股定理的应用.

3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.

重点：掌握勾股定理及其逆定理.

难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.

一.复习回顾

10 在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

二、示例

类型一 已知两边求第三边

例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm，2cm ，则第三边长为_____________．

类型二 构造Rt△，求线段的长

例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长．

AFDAPBECBCBEDAC

例3．如图，P为边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，E为AD边中点，求EP+DP最小值。

例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________

dm.

类型三 判别一个三角形是否是直角三角形

例5、如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC．你能说明∠AFE是直角吗？

11

14ADFBEC 类型四 实际运用

例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东 60度方向移动（如图），距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。 ①A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？

北西BA东

类型五、拼图

例6、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

三. 课堂检测

1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm

2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）

A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm

3．在△ABC中，∠C＝90°，若

a＝5，b＝12，则

c＝＿＿＿

4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．

5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．

6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿

7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

12

S11S223S3S4l 8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

8m

图3

八年级上册第一章勾股定理练习题

一、选择题

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )

A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15.

2、适合下列条件的△ABC中, 是直角三角形的个数为 ( )

111①a,b,c; ②a6,∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580;

345④

a7,b24,c25; ⑤a2,b2,c4.

A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.

3、已知直角三角形两直角边的长为A和B，则该直角三角形的斜边的长度为（ ）A、A＋B B、2AB C、A-B D、A2B2

4、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）

6080A、6厘米 B、8厘米 C、厘米 D、厘米

13135、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为

( ) A. 48 cm2 B. 36 cm2 C. 24 cm2 D.12 cm2

6、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面

成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）

A．10米 B．15米 C．25米 D．30米

30°7、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，6

另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为 （ ）

A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm

8、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（ ）

A.34英寸（87厘米） B. 29英寸（74厘米） C. 25英寸（64厘米） D.21 13 英寸（54厘米）

9、一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD

＝13，∠B＝90°，木板的面积为( )

A．60 B．30 C．24 D．12

10、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到D

A

B

C

第9题

地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm

11、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若ab14cm，c10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）．A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2

北

12、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向A

东

航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里

南 第12题图

二、填空题

13、在△ABC中，∠C＝90°，若

a＝5，b＝12，则

c＝ ．

14、在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶

b＝3∶4，则SRt△AB＝ ．

15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。

16、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m。（精确到0.1m，可能用到的数据21.41，31.73）。

17、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。

18、在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m．

13

5m

(18题)

15题

16题

三、解答题

19、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下 14 的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

2.8

9.6

20、一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。

这个梯子顶端离地面有多高？

如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？

21、如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45º的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。

米

15

米 22、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

5B

C

15

A

24如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

A

E

BCD

25、咖菲尔德（Garfeild，1881年任美国第二十届总统）利用图7证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程。∠B和∠D为直角。

A

E

a c

c b

B b C a D

16