勾股定理 课时一 二 (五篇)

初二数学·秋季

课时1 勾股定理及运用

一．【知识点归纳】

1. 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么abc

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的变式： 1）acb； 2）bca；

勾股定理的作用：求直角三角形的长度

熟记在平常运用中常见的勾股数：

例：

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足abc（c边最大），

那么这个三角形是直角三角形

3. 勾股定理的运用：

222222222222二．【典型例题】

例1．若直角三角形中的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方为

若直角三角形中的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为

例2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为n-1、2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）

22 A．2n B．n+1 C．n-1 D．n+1

例3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，

求旗杆在离底部什么位置断裂?

28cm

例4．如图所示，以直角三角形的一直角边和斜边为边长所作正方形A、C的面积分别为9和25，则以另

一直角边为边长的正方形B的边长为 ，B的面积为 。

A

C

B

例5. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是

1

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例6. 在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.

（1）求这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米，

那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？

例7. 如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底 面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（取3）

例8. 如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ,8cm,30cm,在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？

三．【基础过关】

一．选择题：

1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A、25 B、14 C、7 D、7或25

2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ）

A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25

C、a=6, b=8, c=10 D、a=3,b=4,c=5

3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（ ）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7

2

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4．Rt△一直角边的长为11，另两边为连续自然数，则Rt△的周长为（ ）

A、121 B、120 C、132 D、不能确定

5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）

A、56 B、48 C、40 D、32

226．三角形的三边长为（a+b）=c+2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

7．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ）

（1）3，4，5；（2）3，4，5；（3）3，4，5；（4）0.03，0.04，0.05．

222DCE A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．2

9．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

二．填空题：

BAAECDB1. 测得一块三角形麦田三边长分别为9m，12m，15m，则这块麦田的面积为_________㎡。

2. 在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC= .

3. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 海里

4．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

5．如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正2方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm

三．解答题：

A

1. 某片绿地的形状如下图所示，其中∠B=90°，,AB=20 m,BC=15m,

CD=7m,AD=24m,求绿地的面积。

B

3

C

B

D

A

图4

7cm

D

C

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2. 如图，有圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下 底面A点处有一只蚂蚁，•它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为______cm．（取3）

3. 如图，一个圆桶的底面半径为30cm，高为80cm，

求桶内能容下的最长的木棒长为_____cm

80cm

4. 如图，有一个长、宽、高分别为50cm、40cm、30cm的木箱，你能否把一根长

为70cm的木棒放进去？请说明你的理由。

四． 【能力提高】

1．如图，水池中离岸边D点1.5m的C处，直立着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5m，把芦苇拉到岸边

它的顶端B恰好在D点，求水池的深度AC=________．

2. 若a、b、c是△ABC的三边，且满足acbcab，试判定三角形的形状。

4

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3. 如图，ABC中，CD是AB边上的高，且CDADBD，求证：ABC是直角三角形。】

C

B

A

D

4．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，

求FC和EC的长．

2

5题图

5．如图，一块矩形纸片ABCD，长BC=8cm，宽CD=6cm，将这块矩形纸片沿对角线BD对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到△BDE

1）求证：AF=EF

2）求EF的长是多少？

6．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．

（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；

（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

B

5

A

河边

l

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五． 【课后作业】

1. 如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。

2. 如图所示，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，

C

求该图形的面积。

/3. 如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，使点D落在D 处。

1）求证：DF=BF

2) 求DF的长度是多少？

3）求重叠部分△AFC的面积是多少？

6

D

A

B

D C

A

D/

F

B

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课时二 勾股定理复习

一．选择题：

1.下列各组中，不能组成直角三角形三边的是 （ ）

．． A．５，１２，１３ Ｂ．８，１５，１７ Ｃ．７，２４，２５ Ｄ．１２，１６，１８

2.a、b、c是△ABC的三边，

①a5，b12，c13 ②a8，b15，c17 ③a∶b∶c=3∶4∶5

④a15，b20，c25。上述四个三角形中直角三角形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.

4. 三角形的三边长为（a+b）＝c+2ab，则这个三角形是（ ）

A. 等边三角形 B. 钝角三角形

C. 直角三角形 D. 锐角三角形

5、直角三角形的两边为5和12，则第三边长为（ ）

A．10 B。13 C。15 D。以上答案都不对

6. 若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为„( )

A、225512cm B、cm C、 5 cm D、cm

21257．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里

二．填空题：

1. 测得一块三角形麦田三边长分别为9m，12m，15m，则这块麦田的面积为_________㎡。

2．△ABC中，∠C＝90°，①若a＝6，b＝8，则c＝ ；②若c＝17，a＝15，则b＝ 。

3．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则其三个内角为∠A＝______，∠B＝_______，∠C＝________。

4．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:1:2，则此三角形为_______三角形。

5. 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，求S1＋S2＋S3＋S4的值：_______________

S112S23S3S4l7

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三．计算题：

1. 如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。

2．如图所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，•求该四边形的面积．

3. 小芳想在墙壁上钉一个三角架(如图), 其中两直角边长度之比为3:2, 斜边长直角边的长度.

ADBC5200厘米, 求两

4、如图所示，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为60厘米）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？

8

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5．如图1，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）

6．如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

(

5B

C

15

7. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里、外面至少要露出4.5㎝，问吸管要做多长？

8．如图,若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积是多少?

A

C B

9

A益田村分校：83807578 龙福一村分校：28907989 新城市分校：33836065 坪地：84867186 初二数学·秋季

9. 如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上 建一车站E，

（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？

（2）DE与CE的位置关系是什么？

D

C

A B

E

10、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边24米处有“车速检测仪O”，•测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．BC=18米

1）试求该车从A点到B的平均速度；

2）试说明该车是否超过限速．

11.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.

利用这个图试说明勾股定理?

C

10

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沪教版-九年级(初三)数学上册-期中考试复习试卷试题及答案(Word版)

AC5

1.将抛物线y=x^2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为哪一个？

A。y=(x-1)^2+2

B。y=(x+1)^2+2

C。y=(x-1)^2-2

D。y=(x+1)^2-2

2.已知二次函数y=ax^2-1的图象经过点(1,-2)，那么a的值为多少？

A。a=-2

B。a=2

C。a=1

D。a=-1

3.对于非零向量a、b，如果2|a|=3|b|，且它们的方向相同，那么用向量a表示向量b正确的是哪一个？ A。b=a*(3/2)

B。b=a*(2/3)

C。b=-a*(3/2)

D。b=-a*(2/3)

4.在四边形ABCD中，若AB=a，AD=b，BC=c，则CD等于哪一个？

A。a-b-c

B。-a+b-c

C。a-b+c

D。-a+b+c

5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC等于哪一个？

A。3sinα

B。3cosα

C。sinα/3

D。cosα/3

6.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为多少？

A。3/4

B。4/3

C。5/3

D。3/5

7.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列结论正确的是哪一个？

A。sinA=3/2

B。tanA=1/2

C。cosB=3/2

D。tanB=3/4

8.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与x轴交点的个数是多少？

A。没有交点

B。只有一个交点

C。有且只有两个交点

D。有且只有三个交点

9.关于二次函数y=(x+1)^2的图象，下列说法正确的是哪一个？

A。开口向下

B。经过原点

C。对称轴右侧的部分是下降的

D。顶点坐标是(-1,0)

10.在三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE//BC的是哪一个？

A。DE^2/BC^2=3/2

B。DE^2/BC^2=5/3

C。AE^2/AC^2=3/2

D。AE^2/AC^2=5/3

ACCB

已知一个三角形的两个角分别为60度和90度，那么另一个三角形的最小内角是多少度？

答案：30度。

如果一个二次函数的图像有最高点，那么a的取值范围是什么？

答案：a<1.

已知二次函数y=-(x+3)^2，那么这个二次函数的图像有什么特点？

答案：最低点在(-3,0)。

在直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA=10，tanα=3，那么点A的坐标是什么？

答案：(3,1)。

在四边形ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么三角形AFE和四边形FCDE的面积比是多少？

答案：1:3.

在图中，已知BD与CE相交于点A，ED//BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长度是多少？

答案：16.

在图中，已知XXX，

答案：.

在三角形ABC中，点D在边BC上且BD=2CD，AB=a，BC=b，那么AD的长度是多少？

答案：AD=a+2b/3.

已知|a|=1，|b|=3，且b和a的方向相反，那么下列结论中正确的是什么？

答案：a=-3b。

在图中，点D、E分别在三角形ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行。下列条件中，能判定三角形ADE与三角形ACB相似的是什么？

答案：XXX。

BCAC21．（2019•虹口区一模）一物体沿着传送带和地面所成斜坡AB前进了10米，求该物体离地面的高度。

答案：25米。

22．（2019•杨浦区一模）已知二次函数的函数值y与自变量x之间的对应值，求该二次函数的图像的对称轴。

答案：x=1.

23．（2019•徐汇区一模）判断哪些条件不能判定三角形ACD与三角形ABC相似。

答案：C和D。

24．（2019•浦东新区一模）将抛物线y=x²+4x+1平移，使其与抛物线y=x²+1重合，求平移的方式。

答案：向左平移2个单位，向上平移4个单位。

25．（2019•杨浦区一模）已知x/(5x-y) = y/(3y+x)，求x/y的值。

答案：5/3. 26．（2019•黄浦区一模）求抛物线y=x²-4x+8的顶点坐标。

答案：(2,4)。

27．（2015•黄浦区一模）求抛物线y=x²-4x+3的对称轴方程。

答案：x=2.

28．（2019•奉贤区一模）计算sin30°tan60°的值。

答案：1/3.

29．（2019•杨浦区一模）已知开口向下的抛物线y=ax²+5x+4-a²(a≠0)过原点，求a的值。

答案：-2或2.

30．（2019•普陀区一模）将抛物线y=(x+3)²-4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求得到的新抛物线的表达式。

答案：y=(x+1)²-1.

31．（2019•杨浦区一模）已知点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)在抛物线y=x²+2x+m上，且x₁

答案：y₁

32．（2015•建湖县校级模拟）已知XXX，

答案：20. 33．（2018秋•普陀区期中）已知梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，且S△

答案：1:3.

34.如果一个二次函数的图像在其对称轴左侧部分是上升的，则这个二次函数的解析式可以是什么？

35.如图，为了测量铁塔 AB 的高度，在离铁塔底部（点

B）60 米的 C 处，测得塔顶 A 的仰角为 30 度。那么铁塔的高度 AB 等于多少米？

36.连接三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是多少？

37.如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为 18 厘米，宽为 30 厘米。为方便残疾人，准备在门前台阶右侧改成斜坡。设台阶的起点为 A 点，斜坡的起点为 C 点。拟设计斜坡 BC 的坡度为 1:5，则 AC 的长度是多少厘米？

38.如果两个相似三角形的面积比是 4:9，则它们对应高的比是多少？ 39.已知点 A(3,n) 在二次函数 y=x^2-2x+3 的图像上，那么

n 的值为多少？

40.如图，正方形 CDEF 内接于直角三角形 ABC，点 D、E、F 分别在边 AC、AB 和 BC 上。当 AD=2，BF=3 时，正方形 CDEF 的面积是多少？

41.如图，已知XXX的身高是 1.6 米，他在路灯下的影长为 2 米，XXX距路灯灯杆的底部 3 米。那么路灯灯泡距地面的高度是多少米？

42.计算：2sin260°-cos60° ÷ tan260°+4cos45°。

43.计算：4sin45°+cos230°-tan60°。

44.计算：|sin45°-tan45°| + cos30° ÷ (tan60°-2)。

45.解方程组：2x+y=1，x^2+xy-6y^2=0.

46.先化简，再求值：(2-2cot45°)/(cos30°-tan60°-cos45°) ÷

(x-1)/(x^2+6x+9)，其中 x=2.

47.已知二次函数 $y=ax^2+bx+c(aneq0)$ 图象经过点 $A(-3,0)$、点 $B(0,-3)$ 和点 $C(2,5)$，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标。

解析：由已知可列出以下三个方程组：

begin{cases} 0=a(-3)^2+b(-3)+c -3=a(0)^2+b(0)+c

5=a(2)^2+b(2)+c end{cases}$$

解得 $a=1,b=-6,c=5$，因此二次函数的解析式为 $y=x^2-6x+5$。对称轴的横坐标为 $x=-frac{b}{2a}=3$，因此对称轴为直线 $x=3$。顶点的纵坐标为 $y=f(3)=4$，因此顶点坐标为

$(3,4)$。

48.已知：如图，$triangle ADE$ 的顶点 $E$ 在 $triangle

ABC$ 的边 $BC$ 上，$DE$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，$AE^2=AFcdot AB$，$angle DAF=angle EAC$。

1）求证：XXX$；

2）求证：$frac{DF}{CE}=frac{DE}{CB}$。

解析：（1）由题意可知 $angle DAF=angle EAC$，因此

$triangle ADEsimtriangle ACB$（相似条件）。

2）根据相似三角形的性质，有

$frac{DF}{CE}=frac{[ADF]}{[AEC]}=frac{AFcdot

ADcdotsinangle DAF}{AEcdot ECcdotsinangle EAC}$，$frac{DE}{CB}=frac{[ADE]}{[ACB]}=frac{ADcdot

DEcdotsinangle DAE}{ACcdot CBcdotsinangle CAB}$。由题意可知 $angle DAF=angle EAC$，$angle DAE=angle

CAB$，代入上式化简得到 $frac{DF}{CE}=frac{DE}{CB}$。

49.如图，已知 $ABparallel CD$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$，点 $F$ 在线段 $BC$ 上，$frac{AB_1}{BF_1}=frac{AB}{CD}$，$frac{CD_2}{CF_2}=frac{CD}{AB}$。

1）求证：$ABparallel EF$；

2）求 $frac{S_{triangle ABE}}{S_{triangle

EBC}}:frac{S_{triangle EBC}}{S_{triangle ECD}}$。

解析：（1）根据题意，$frac{AB_1}{BF_1}=frac{AB}{CD}$ 可以转化为 $frac{AB_1}{AB}=frac{BF_1}{CD}$，$frac{CD_2}{CF_2}=frac{CD}{AB}$ 可以转化为

$frac{CD_2}{CD}=frac{CF_2}{AB}$。由相似三角形的性质，有 $frac{BF_1}{CF_2}=frac{AB}{CD}$。又因为 $ABparallel

CD$，所以 $triangle ABEsimtriangle CFE$，因此 $angle

AEB=angle CEF$，$angle BAE=angle ECF$，从而得到 XXX因此 $angle ABE=angle CFE$，即 $ABparallel EF$。

2）根据题意，$frac{AB_1}{AB}=frac{BF_1}{CD}$，$frac{CD_2}{CD}=frac{CF_2}{AB}$，因此 $frac{AB_1cdot

CD_2}{ABcdot CD}=frac{BF_1}{AB}cdotfrac{CF_2}{CD}$。又因为 $ABparallel CD$，所以 $frac{S_{triangle

ABE}}{S_{triangle EBC}}=frac{AB_1}{BF_1}$，$frac{S_{triangle EBC}}{S_{triangle

ECD}}=frac{CD_2}{CF_2}$。代入上式化简得到

$frac{S_{triangle ABE}}{S_{triangle EBC}}:frac{S_{triangle

EBC}}{S_{triangle ECD}}=ABcdot

50.如图，$P$ 点是某海域内的一座灯塔的位置，船

$A$ 停泊在灯塔 $P$ 的南偏东 $53^circ$ 方向的 $50$ 海里处，船 $B$ 位于船 $A$ 的正西方向且与灯塔 $P$ 相距 $203$ 海里。 1）试问船 $B$ 在灯塔 $P$ 的什么方向？

2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）

解析：（1）如图所示，连接 $AP$ 和 $BP$，则 $angle

PAB=53^circ$，$angle PBA=90^circ$，$angle PAB+angle

PBA=143^circ$。又因为 $angle PAB=angle ABP$，所以

$angle ABP=71.5^circ$。因此船 $B$ 在灯塔 $P$ 的方向为正北偏西 $71.5^circ$。

2）设两船之间的距离为 $x$，则 $tan

53^circ=frac{50}{x}$，$tan 71.5^circ=frac{203}{x}$。解得

$x=sqrt{50cdot 203tan 53^circtan 71.5^circ}approx 296.7$，因此两船相距约 $296.7$ 海里。

1.由二次函数 $y=(x+1)^2$ 得，顶点为 $(-1,0)$。因此，本项正确。

2.根据题意，当

$frac{DE^2}{BC^2}=frac{AD^2}{ABcdot AC}$ 时，有

$DEparallel BC$。因为 $frac{AD}{AB}=frac{2}{5}$，$frac{BD}{AB}=frac{3}{5}$，$frac{AE}{AC}=frac{3}{5}$，$frac{CE}{AC}=frac{2}{5}$，所以 $frac{AD^2}{ABcdot

AC}=frac{4}{25}$，$frac{AE^2}{ABcdot AC}=frac{9}{25}$，$frac{CE^2}{ABcdot

AC}=frac{4}{25}$。因此，当

$frac{DE^2}{BC^2}=frac{AE^2}{AC^2}$ 时，有 $DEparallel

BC$。所以选 D。

3.一个三角形的两个内角分别为 $60^circ$ 和 $90^circ$，第三个内角为 $30^circ$。因此，这个三角形的最小内角的度数为 $30^circ$。由于两个三角形相似，所以另一个三角形的最小内角的度数也为 $30^circ$。因此，选 C。

4.二次函数 $y=(a-1)x^2+3$ 的图像有最高点，当且仅当

$a<1$。因此，选 D。

5.二次函数 $y=-(x+3)^2$ 的 $x$ 坐标为 $-3$，所以它的图像有最高点 $(-3,0)$。因此，选 B。

6.由题意可知，$tanalpha=3$，因此 $frac{AB}{OB}=3$。设 $OB=x$，则 $AB=3x$，$OA=sqrt{10^2+x^2}$。根据勾股定理，得到 $10^2+x^2=(3x)^2+x^2$，解得 $x=1$。因此，$AB=3$，$OA=sqrt{10^2+1^2}$。因此，点 $A$ 的坐标为

$(1,3)$，因此选 A。

7.因为 $E$ 是 $AD$ 的中点，所以 $AE=ED$。因此，$triangle AFE$ 和 $triangle CDE$ 有相同的高，且底边之比为

$frac{AE}{CE}=frac{3}{2}$。因此，$S_{triangle AFE}:S_{text{四边形 }FCDE}=frac{1}{2}cdot AFcdot

FE:left(frac{1}{2}cdot CFcdot DE+frac{1}{2}cdot CEcdot

DEright)= $triangle ABCsimtriangle EFB$，所以

$frac{AF}{AC}=frac{EF}{BC}=frac{1}{2}$。因此，$S_{triangle AFE}:S_{text{四边形 }FCDE}=frac{1}{2}:left(frac{1}{2}+frac{3}{2}right)=1:4$。因此，选 B。

26.给定一个复杂的数学式子，计算结果为5/2.

27.给定一个抛物线的式子，求其中一个参数m的值，使得该抛物线的对称轴为y轴且过一点(1,1/2)。

28.给定三角函数的式子，计算结果为3/2.

29.给定一个开口向下的抛物线，已知其过原点，求其中一个参数a的值为-2.

30.给定一个抛物线的式子，将其向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求平移后的抛物线的式子。

31.给定一个抛物线和两个点的坐标，判断这两个点是否在抛物线上，且哪个点的纵坐标更小。

32.给定一个图形，已知其中一些边的长度和比例关系，求另一条边的长度。

33.在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，已知$frac{S_{triangle AOD}}{S_{triangle

COB}}=frac{1}{4}$，求$frac{S_{triangle

AOB}}{S_{triangle COB}}$。

解：由AD//BC，可得XXX，则$frac{OD}{OB}=sqrt{frac{S_{triangle AOD}}{S_{triangle

COB}}}=frac{1}{2}$，又因为$triangle AOBsimtriangle

COD$，所以$frac{S_{triangle AOB}}{S_{triangle

COB}}=left(frac{AB}{CD}right)^2=left(frac{AD+DB}{BC}right)^2=left(frac{AD}{BC}+1right)^2=left(frac{OD}{OB}+1right)^2=frac{9}{4}$，故答案为$frac{9}{4}$。

34.如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是$y=-x^2+2$。 解：设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$，则对称轴为$x=-frac{b}{2a}$，因为图象在对称轴左侧部分是上升的，所以$b<0$，又因为对称轴在图象的中点，所以对称轴左侧的$x$取值范围为$x<-frac{b}{2a}$，在该范围内，$y$单调递增，即$a<0$，故符合条件的二次函数解析式可以为$y=-x^2+2$。

35.如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=203米。

解：由题意可得$tan 30^circ=frac{AB}{BC+60}$，即$frac{1}{sqrt{3}}=frac{AB}{BC+60}$，解得$AB=203$，故答案为203.

36.联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1:2.

解：如图，设三角形的三个顶点为A、B、C，各边中点分别为D、E、F，则连接DEF得到的三角形周长为DE+EF+FD，而原三角形ABC的周长为AB+BC+CA，因为$DE=frac{1}{2}AB$，$EF=frac{1}{2}BC$，$FD=frac{1}{2}CA$，所以DE+EF+FD=$frac{1}{2}(AB+BC+CA)$，即所得到的三角形周长与原三角形周长之比为1:2，故答案为1:2.

37.如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度$i=1:5$，则AC的长度是270cm。

解：由题意得，BH$perp$AC，则BH=18×4=72，斜坡BC的坡度$i=1:5$，即$tanangle BCG=1:5$，所以$tanangle

ACG=tan(angle BCG-angle BCA)=frac{1}{5-tan

30^circ}=frac{5}{11}$，又因为$triangle ACG$中$angle

ACG=90^circ$，所以$AC=frac{CG}{sinangle

ACG}=frac{BCcdottanangle BCG}{sinangle ACG}=360-30times 3=270$，故答案为270.

44．（2019•黄浦区一模）计算：

解答】解：原式cos301

3

2

2

1

3

2

2

33

2

2

2

2

2

2

2

tan60

cos45 3

1

2

故答案为：2．

解析】

49.（2019·黄浦区一模）

1）由题意可知，需要证明AB // EF，而已知XXX。

根据题意，有：

AB1/BF1 = CD2/CF2

又因为：

XXX AB1/BF1

AB // CD，因此只需要证明 CD/BD = CD2/CF2

因此有：

AB/BD = CD/BD

即：

AB = CD

所以，由全等三角形的性质可知，∠ABE = ∠CDE，因此∠EBC = ∠ECD，即EF // CD，所以AB // EF。

2）设△ABE的面积为m，根据题意，有：

AB1/BF1 = CD2/CF2

即：

XXX

又因为：

AE/EB = AB/EB - AB/AE = AB/EB - 1

CD/2CF = CD/CE - CD/CF = 1 - CD/CF

因此有：

AB/EB - 1 = 1 - CD/CF

即：

AB/EB + CD/CF = 2

根据相似三角形的性质可知：

AB/CD = AE/CE

因此有：

AE/CE + CD/CE = 1

即：

AE + CD = CE

代入AB/EB + CD/CF = 2，可得：

AB/EB + AE/CE = 2

即：

AB/CE = 2EB/CE

因此有：

S△ABE : S△EBC : S△ECD = m : 2m : 4m = 1 : 2 : 4.

50.（2019·黄浦区一模）

1）根据题意，船B位于船A的正西方向，因此船B在灯塔P的方向为XXX°。

2）根据题意，有：

AP = 50海里

PB = 203海里

因此，AC = APsin53° = 40海里，BC = PBcos30° = 176.39海里，所以AB = AC - BC = 40 - 176.39 = -136.39海里，即两船相距136.39海里。

小学奥数之行程问题练习

1、甲、乙两列火车分别从相距168千米的杭州、宁波两站同时相向开出，1.5小时相遇，甲列火车平均每小时行驶58千米，乙列火车平均每小时行驶多少千米？（用两种方法解答）

2、如图，A、B两地之间有一座600米长的桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时行10千米。那么，乙要和甲在桥上相遇，乙的速度最快是多少，最慢是多少？

3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行42千米。两车在距离中点12千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？

4、A、B两地相距240千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行72千米。甲车出发15分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行48千米。两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车又相距120千米时，甲车从出发一共用了多长时间？

5、兄弟两人结伴出去秋游，每分钟走60米，出发20分钟时，哥哥返回家取照相机并停留5分钟，然后骑自行车以每分钟285米的速度追赶弟弟，哥哥追到弟弟时离家多少米？

6、甲、乙两人以60米/分的速度同时、同地、同向步行出发，走15分钟后，甲返回原地取东西，而乙继续前进，甲取东西用5分钟的时间，然后改骑自行车以360米/分的速度去追乙。多少分钟后，甲才能追上乙。

7、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲30分钟追上乙；如果两人相向而行，6分钟相遇。已知乙每分钟走50米，则A、B两地相距多少米？

1

8、猎犬发现在离它10米远的前方有只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？

9、一位划船运动员，顺水划船3千米用了6分钟，逆水划船9千米用了30分钟。如果在静水的情况下，他划船10千米要用多少分钟？

10、甲、乙两港间的水路长200千米，一艘货轮从甲港顺水而下开往乙港，4小时到达。若货轮的静水速度为45千米/时，那么货轮从乙港返回甲港需要多少小时？

11、一列火车通过一座长为1000米的大桥需65秒，如果用同样的速度通过一条长730米的隧道则要50秒，则这列火车的长度为多少米？

12、有两列火车，一列长102米，每秒行20米；另一列长83米，每秒行17米。两车在双轨线上相向而行，从两车相遇到车尾离开一共用了多少秒？

13、快车和慢车分别从甲乙两地相向而行，4小时相遇。相遇后，快车继续行驶了3小时到达乙地，慢车继续行了240千米到达甲地。慢车的速度是多少？

14、客车、货车两车同时从甲、乙两地出发，相向而行，客车每小时行60千米。相遇后，客车继续行驶3小时到达乙地，货车再行300千米到达甲地。货车每小时行多少千米？

2

15、甲车每小时行50千米，乙车每小时行75千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发，相向而行。两车相遇后4.5小时，甲车到达B地。A、B两地相距多少千米？

16、甲、乙两站相距480千米，快车上午5时从甲站开往乙站，慢车同时从乙站开往甲站，两车在上午11时相遇，下午3时快车到达乙站后，慢车还要继续行驶多少小时才能到达甲站？

17、小明骑车从甲地到乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米/分，下坡速度是450米分，则甲、乙两地相距多少米？

18、甲、乙两地间的公路除了上坡路就是下坡路，没有平路。客车上坡的速度是20千米/时，下坡的速度是30千米/时。客车往返一次共用4小时，甲、乙两地相距多少千米？

19、一架飞机从A地飞到B地，再返回A地，去时每小时飞1500千米，返回时是每小时飞1200千米，来回共用6小时，那么A、B两地相距多少千米？

20、（1）“辽宁号”航空母舰以每小时200海里的速度由西向东航行，歼20战机从航空母舰上起飞以每小时800海里的速度向西执行任务。歼20战机最多可飞行3小时。它飞行多少小时后必须返航？

21、“辽宁号”航空母舰以每小时200海里的速度由西向东航行，歼20战机从航空母舰上起飞以每小时800海里的速度向东执行任务。歼20战机最多可飞行3小时。它飞行多少小时后必须返航？

3

第一二单元月考试卷-小学六年级上册数学人教版（含详解）学校:___________姓名：___________

班级：___________考号：___________一、选择题（每题2分，共14分）1．渔民从码头出发，驾驶渔船向北偏东35°方向15海里处行驶进行捕鱼，则返回时的路线是（

）方向15海里。A．东偏北35°B．北偏西55°C．南偏西55°2．如图，学校在小红家（

）方向上。A．北偏东30°B．北偏东60°C．东偏北60°3．与东南方向相反的是（　　）A．东北B．西北 C．西南

4．

①号图形占了正方形的（　　）A．B．C．5．某小学有男生270人，女生是男生的119倍，男生比女生少（

A．19B．110C．9106．一辆汽车平均每分行1720千米，半小时行多少千米？列式是（A．17×1B．171120220×12C．1720÷27．甲数是，乙数是甲数的倒数的，那么乙数是（　　）A．B．C．

二、填空题（每空1分，共19分）8．已知☆+□=4，那么 ×☆+ ×□=

D．南偏西35°D．北偏西60°D．东南D．。D．111）。D．1720×30D．） 229．把一根木头长2米，锯下m，还剩下　

　m；如果锯下，还剩下　

　m。557310．

千米的是

87千米．

3的是12吨．411．一瓶果汁恰好倒满9杯，小玲喝了这瓶果汁的　

　小明喝了这瓶果汁的　

　．12．把3米长的绳子平均剪成5段，每段是3米长的　

　，是1米长的　

　，每段是　

　米．13．一个两位小数，它小数部分的值是整数部分值的，这个小数是　

　或　

　或　

　．14．如图是2路公交车行车路线图的一部分，看图填一填。从小丽家向　

　行驶　

　站到汽车站，再向　

　偏　

　°行驶4站到书店。15．把长方形的长和宽都缩小到原来的，所得到的图形周长是原来周长的　

　，面积是原来面积的　

　．三、判断题（每题1分，共7分）16．两个真分数的积不可能是整数．(

17．如图标示地图上的方向是对的。　

　(

))18．四分之一年是3个月。(

2)219．食堂运进2t大米，用去5后，又运来5t，现在仍是2t大米。( )7120．1千克的和7千克的一样重。(

88))21．北京在上海的西北方，则上海在北京的东北方．

(

122．

的倒数大于1（b≠0）．

(

b)四、计算题（共20分）23．直接写得数．（每题1分，共8分）×8＝

×0=

×=

×3=

×=

×=

×= ×0.8=

24．计算下面各题，能简算的要简算。（每题2分，共12分）16325355

+914

×20+13821217952728218427-20+×××

18145152492716五、解答题（每题5分，共40分）25．妈妈买来一瓶饮料，第一次喝了100ml，还剩下这瓶饮料的没有喝，这瓶饮料一共有多少毫升？426．某汽车厂去年计划生产汽车12600辆。结果上半年完成全年计划的，下半年完成9全年计划的。去年全年实际生产汽车多少辆？27．武胜县共有公交车约200辆，其中6是纯电动车，纯电动公交车有多少辆？252328．同一种毛巾，在甲超市的标价是5元3条，在乙超市的标价为7元4条，在丙超市的标价为8元5条．这种毛巾在哪一个超市里最便宜？在哪一个超市最贵？（写出主要判断过程）29．六年级举行“小发明”比赛，六（1）班同学上交32件作品，六（2）班比六（1）班1多交。两个班共交了多少件作品？4（1）把线段图补充完整。（2）解题过程。30．一个等边三角形的边长是

31．一块长方形的铁板长分米，这个等边三角形的周长是多少分米？米，宽是长的，这块长方形的周长是多少米？32．（1）公园在学校（

）方向，距离（

）米处。（2）游乐场在学校西偏南30°方向，距离300米处，请在图上表示出来。参考答案：1．D【分析】描述物体的位置时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度描述方向，最后根据两地之间的距离确定物体的具体位置，据此解答。【详解】

90°－35°＝55°由图可知，以码头为观测点，驾驶渔船向北偏东35°方向行驶15海里可以到达目的地；以目的地为观测点，返回时向南偏西35°或西偏南55°方向行驶15海里可以到达码头。故答案为：D【点睛】掌握根据方向、角度、距离描述物体位置的方法是解答题目的关键。2．B【分析】在地图上的方位是上北，下南，左西，右东；西南和东北相对，西北和东南相对，据此解答。【详解】由分析可得：学校在小红家北偏东60°方向上。故答案为：B【点睛】本题主要考查方向的辨别，注意掌握基本方位的辨别法。3．B【详解】方向是相对的，相对的方向完全相反，所以，与东南方向相反的方向是西北方；故选B．4．D【详解】试题分析：把这个正方形看作单位“1”，可以认为是平均分成了8份，①号图形占了其中的1份，根据分数的意义，用分数表示；据此选择．解：把这个正方形平均分成8份，①号图形占了其中的1份，用分数表示；故选D．点评：此题考查分数的意义，明确把单位“1”平均分成的份数是解决此题的关键．5．B【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法，求出女生的人数，先求一个数比另一个数多（少）多少，然后除以另一个数（即单位“1”的量）即可得解。这是解决这类问题最常见的方法。把女生的人数看作单位“1”，用男生比女生少的数量，除以单位“1”的量，即可得解。【详解】270×1＝270×10919＝300（人）（300－270）÷300＝30÷300＝1101。10即男生比女生少故答案为：B【点睛】解决这类问题的关键是先确定单位“1”，掌握求一个数比另一个数多（或少）几分之几的计算方法。6．D【分析】先把半小时换算成30分钟，已知一辆汽车平均每分行千米，根据“路程＝速度×时间”即可求解。【详解】半小时＝30分钟半小时行：1751×30＝（千米）20217千米，求30分钟行多少20故答案为：D【点睛】本题考查分数乘法的应用以及行程问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。7．C【详解】试题分析：根据倒数的定义求出甲数的倒数，再根据分数乘法的定义列出算式即可求得乙数．解：甲数的倒数是，×=．答：乙数是．点评：考查了倒数的认识和分数乘法，倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．8．【详解】已知☆+□=4，那么

故答案为.9．

31

565×☆+×□=×（☆+□）=×4=.【分析】将木头长度看作单位“1”，木头长度－锯下的长度＝剩下的长度；木头长度×剩下的对应分率＝剩下的长度。23【详解】2－＝1（米）5522×（1－）5＝2×356＝（米）5【点睛】关键是区分分数的含义，理解分数乘法的意义，分数既可以表示具体数量，也可以表示数量关系。10．

3

816吨73千米的是多少，用乘法计算；87【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求

33已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用除12可求出多少吨的

是1244吨．【详解】解：

733×=

（千米）878312÷=16（吨）4答：

7333千米的

是千米． 16的是12吨．87843，16吨．8故答案为

11．，【详解】试题分析：“一瓶果汁恰好倒满9杯”，根据分数的意义，可知每杯占这瓶果汁的，小玲喝了3杯，喝了这瓶果汁的=；小明喝了4杯，就喝了这瓶果汁的．解：一瓶果汁恰好倒满9杯，小玲喝了这瓶果汁的；小明喝了这瓶果汁的．故答案为，．点评：解决此题关键是把这瓶果汁看成“1”，再根据分数的意义得解．12．，，【详解】试题分析：把3米长的绳子平均剪成5段，根据分数的意义，即将这根3米长的绳子当做单位“1”平均分成5份，则每段是3米长的1÷5=，每段的长是3×=米，米是1米的÷1=．解：每段是3米长的：1÷5=，米是1米的：÷1=，每段的长是：3×=米．故答案为，，．点评：求一个数是另一个数的几分之几，用除法．13．1.25；2.50；3.75．【详解】试题分析：解答此题，先确定整数部分，只能是1、2、3，不能是4或比4大的数，因为整数为4，它的就是1，不是小数了．然后根据“小数部分的值是整数部分值的”，算出小数部分即可．解：当整数部分为1，小数部分就是1×=0.25，这个两位小数是1.25；当整数部分为2，小数部分就是2×=0.50，这个两位小数是2.50；当整数部分为3，小数部分就是3×=0.75，这个两位小数是3.75．点评：此题考查小数的构成，以及分析推理能力．14．

东 3

东

北 30【分析】根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”和行驶的角度、行驶的站数即可解答。【详解】从小丽家向东行驶3站到汽车站，再向东偏北30°行驶4站到书店。【点睛】此题是考查路线图。描述路线图有三要素：出发地、方向、距离。15．，【详解】试题分析：（1）根据长方形的周长公式C=（a+b）×2，知道把长方形的长和宽都缩小到原来的，所得到的图形周长是原来周长的；（2）根据长方形的面积公式S=ab，知道长方形的长和宽都缩小到原来的，所得到的图形面积是原来面积的×=．解：（1）设原来的长方形的长是a，宽是b，则周长为（a+b）×2=2（a+b），后来的长方形的周长为：（a+b）×2=×2（a+b），所以×2（a+b）÷[2（a+b）]=，（2）原来长方形的面积为ab，后来长方形的面积是a×b=所以ab÷（ab）=．，ab，故答案为，点评：本题主要是灵活利用长方形的周长公式与面积公式解决问题．16．√【详解】略17．×【详解】略18．√1【分析】一年有12个月，再乘求出四分之一年是多少个月，再判断即可。41【详解】12×＝3（个）；4故答案为：√。【点睛】求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。19．×32【分析】将这2t大米看作单位“1”，则用去5后，剩下5，运用分数乘法得出剩下大米数，2t，即可得出答案。再加上5【详解】现在的大米数为：22（1）2553225562558（t）。5题干中为2t，故本题错误。【点睛】本题主要考查的是分数的意义及分数混合运算，解题的关键是要区分清全部的几分之几和几分之几的区别，进而判断本题答案。20．√777117【分析】根据分数乘法的意义，1千克的是1＝（千克），7千克的是7＝（千888888克），二者一样重。77【详解】1＝（千克）88177＝（千克）88711千克的和7千克的一样重。88原题说法正确。故答案为：√。71【点睛】1千克的和7千克的一样重，是常考题，常以填空、选择、判断题的形式出现，88要记住。21．×【解析】略22．×1【详解】解：当b为1时，=1，b又因1的倒数还是1，1所以的倒数大于1，是错误的；b故答案为错误．【点评】此题主要考查倒数的意义，利用特殊值法，比较容易解答．23．3211215；0；；；

5377424．24；82；513131；1；364【分析】小数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序（相同），没有小括号的，要先算（乘除），再算（加减），有小括号的要先算（括号）里的；第二题、第三题，用乘法分配率简便计算。【详解】16＝80313841353138＝2329147932＝149914792＝549149＝54＋28＝8255202121＝＝52112152121＝512201524516＝20120120＝112012056＝184279271624427＝272716＝2827271634＝15272818145＝1528285＝325．150毫升【分析】解答本题的关键是找准单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算即可．【详解】100÷（1﹣）=100=100×=150（毫升）答：这瓶饮料一共有150毫升．26．14000辆【分析】把去年计划生产汽车的数量看作单位“1”，实际生产汽车的数量占计划生产汽车数42量的（＋），已知一个数，求这个数的几分之几是多少用分数乘法计算，据此解答。9342【详解】12600×（＋）93＝12600×109＝14000（辆）答：去年全年实际生产汽车14000辆。【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，掌握分数乘法的意义是解答题目的关键。27．48辆【分析】公交车约200辆6＝纯电动车数量，据此解答即可。25【详解】200648（辆）25答：纯电动公交车有48辆。【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是找到题中的数量关系式。28．丙超市，乙超市【详解】试题分析：本题先求出每个超市每条毛巾的价钱，用分数表示出来，然后进行通分转化成同分母的分数进行比较，判断出在那个超市最便宜，最便宜．解：甲超市每条毛巾价格是：5÷3=（元），乙超市每条毛巾的价格是：7÷4=（元），丙超市每条毛巾的价格是：8÷5=（元），因为这三个分数的分母分别是3、4、5两两互质，所以它们的最小公分母是：3×4×5=60，因为元=元=元=元，元，元，所以元＜元＜元，即：丙＜甲＜乙，因此丙超市的毛巾最便宜，乙超市的最贵．答：这种毛巾在丙超市卖的最便宜，乙超市最贵．点评：本题考查了分数的大小比较及分数的通分．29．（1）见详解（2）72件【分析】（1）把六（1）班同学上交的作品数量看作单位“1”，平均分成4份，六（2）班比1六（1）班多交即多1份，据此补充线段图即可；4（2）根据求比一个数多几分之几的数是多少，用乘法求出六（2）班上交的作品，然后再加上六（1）班的作品数量即可。【详解】（1）如图所示：1（2）32＋32×（1＋）4＝32＋32×＝32＋4054＝72（件）答：两个班共交了72件作品。【点睛】本题考查求比一个数多几分之几的数是多少，明确单位“1”是解题的关键。30．分米【分析】等边三角形的三边相等，已知等边三角形的边长，要求它的周长，用边长×3=等边三角形的周长，据此列式解答.【详解】×3=

（分米）

分米．答：这个等边三角形的周长是

31．米【详解】略32．（1）北偏东45°；200；（2）见详解“上北下南，【分析】（1）根据左西右东”结合图上角度确定方向，图上单位长度表示100米，公园与学校之间的距离是100×2＝200米；（2）以学校为观测点，在学校正西方向偏南30°上截取300÷100＝3个单位长度，标出角度，终点处标注游乐场，据此解答。【详解】（1）分析可知，公园在学校北偏东45°方向，距离200米处。（2）分析可知：【点睛】掌握根据方向、角度、距离确定物体位置的方法是解答题目的关键。

第一章 勾股定理

知识点一：勾股定理定义

画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角△ABC，量AB的长

发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c）

1．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系： ；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；（给出证明）

⑷三边之间的关系： 。

知识点二：验证勾股定理

知识点三：勾股定理证明（等面积法）

例1。已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

D求证：a＋b=c。

证明：

例2。已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a＋b=c。

证明：

知识点四：勾股定理简单应用

在Rt△ABC中，∠C=90°

(1) 已知：a=6, b=8，求c

(2) 已知：b=5，c=13，求a

abbccabaccb222222222222222ADCB

CbAcaBbaaabcacbab 知识点五：勾股定理逆定理

如果三角形的三边长为a,b,c，满足abc，那么，这个三角形是直角三角形．

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

①先找出最大边（如c）

②计算c与ab，并验证是否相等。

若c=ab，则△ABC是直角三角形。

若c≠ab，则△ABC不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ）

A.a=7,b=24,c=25

C.a=6,b=8,c=10

22222222222222B.a=7,b=24,c=24

D.a=3,b=4,c=5

2.三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

3.已知x6y8(z10)20 ,则由此x,y,z为三边的三角形是 三角形.

知识点六：勾股数

（1）满足abc的三个正整数，称为勾股数．

（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．

（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；

⑤11、60、61；⑥9、40、41．

1.设a、b、c是直角三角形的三边,则a、b、c不可能的是（ ）.

A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15

1. 若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可以是（ ）

A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶7

D

AD\'A\' B\'

BC\'

C222知识点七：确定最短路线

1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,

有一只甲虫从A出发，沿表面爬到C，最近距离是多少？

知识点八：逆定理判断垂直

1．在△ABC中，已知AB－BC＝CA，则△ABC的形状是( )

A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．无法确定．

2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是( )

222A

B

2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是 .

BCA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对

A 知识点九：勾股定理应用题

1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.

3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？

4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？

5米

3米

综合练习一

一、选择题

1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m+ n, m – n, 2mn(m,n均为正整数,mn);④a,a1,a2.其中能组成直角三角形的三边长的是( )

2 222222 A.①②; B.①③; C.②③; D.③④

2已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A.25

22B.14 C.7 D.7或25

3.三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

4.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c，则( )

A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角

C.c边的对角是直角 D.是斜三角形

5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）

①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形

7.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

8.如图，∠C=∠B=90°，AB=5，BC=8，CD=11，则AD的长为 （ ）

A、10 B、11 C、12 D、13

9.如图、山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共 ( )

A、19棵 B、20棵 C、21棵 D、22棵

△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，若c=2，则a+b+c的值是 （ ）

A、6 B、8 C、10 D、4

11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）

Ａ、9，12，15 B、222253，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，9

4412.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里

二、填空题

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________

2.现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为

cm．

3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．

4.如图中字母所代表的正方形的面积：A=

B= ．

4AB 5.在△ABC中，∠C＝90°，若

a＝5，b＝12，则

c＝ ．

6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC

= 。

7.在Rt△ABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是 。

8.在△ABC中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，这是一个_________三角形（按角分）。

9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。

三、简答题

1.判断正误，并指出为什么？

（1）△ABC的两边为3和4，求第三边

解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。

（2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为5

2.在△ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(m＞n)。

求证：△ABC是直角三角形。

3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．(画图求解)

4.已知一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？(画图求解)

5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

12米 9米 6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD =90，∠DBC =90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD；

家庭作业：

一、基础达标:

1. 下列说法正确的是（ ）

222DACB222222A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a＋b＝c； B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a＋b＝c；

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，则a＋b＝c；

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，C90，则a＋b＝c．

2222. △ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（ ）

A．abc B.

abc C.

abc D.

a2b2c2

3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）

A．121 B．120 C．90 D．不能确定

4．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是 ．

5．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a、b、c满足a2c2b2，那么这个三角形是 三角形，其中b边是 边，b边所对的角是 ．

B

6．一个三角形三边之比是10:8:6，则按角分类它是 三角形．

7．如图，已知ABC中，C90，BA15，AC12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．

8． 一长方形的一边长为3cm，面积为12cm，那么它的一条对角线长是 ．

二、综合发展:

1．如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．

2C

A

2.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？

3．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

3m

4m

20m

4．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

勾股定理综合二

1．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于

2．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm

A

C

2

E

D

1题

A

BB

E

D

C

A

D

E

第2题

F

F

B

C

3．已知：将正长方形纸片ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在F处.若长方形长为4，宽为3，求DE.

4．已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．

分类讨论思想

1． 在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为

2．在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为

3．等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。

4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）

A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10

确定三角形形状

1．已知a、b、c是△ABC的三边，且ac－bc＝a－b，试判断三角形的形状．

2. 在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB=1997+1998，则△ABC是否为直角三角形？为什么？

3.若△ABC的三边a、b、c满足a+b+c+338=10a+24b+26c，则△ABC为 三角形（填锐角、直角或钝角）

4.已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？

2222222244 最短距离问题

1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

2.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

A

C D

L

B

3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是

4.如图，在直角△ABC中，AB=4BM+MN的最小值是（ ）

5.如图，在正方形ABCD的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第n个正方形的面积为 ．

，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则边AB、BC的中点，点P在AC上

综合练习三

一、选择题

1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定

2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长

（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm

3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25

4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）64

5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

72525207242025(D)15715(A)7(B)1515(C)

6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.

D7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )

AC（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5

8. 三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是( )

22B（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.

9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）.

（A）50a元 （B）600a元 （C）1200a元 （D）1500a元

10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.

（A）12 （B）7 （C）5 （D）13

A

E

C

5米

3米

（第10题） （第11题） （第14题）

B

二、填空题

11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要______米.

22212. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则ABACBC=______.

D

13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 . 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是___________.

B

C

A

E

D

（第15题） （第16题） （第17题）

15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.

18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm.

三、解答题

19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度2C

B

D

第18A

7cm

题图单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形

各边的长.

21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

第21题图

A

C D

L

B

CDB

A

23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

B1BCAA1