公务员行测考试简单教程

第一部分、数字推理

一、基本要求

熟记熟悉常见数列，保持数字的敏感性，同时要注意倒序。

自然数平方数列：4（-2），1（-1），0，1，4，9，16，25，36，49，

64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，

400„„

自然数立方数列：－8，－1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，

729，1000

质数数列： 2，3，5，7，11，13，17„„（注意倒序，如17,13,11,7,5,3,2）

合数数列： 4，6，8，9，10，12，14„„.（注意倒序）

二、解题思路：

1 基本思路：第一反应是两项间相减，相除，平方，立方。所谓万变

不离其综，数字推理考察最基本的形式是等差，等比，平方，立方，

质数列，合数列。

相减，是否二级等差。

8，15，24，35，（48）

相除，如商约有规律，则为隐藏等比。

4，7，15，29，59，（59*2－1）初看相领项的商约为2，再看4*2-1=7,7*2+1

＝15„„

2特殊观察：项很多，分组。三个一组，两个一组

4，3，1，12，9，3，17，5，（12） 三个一组

19，4，18，3，16，1，17，（2）

2，－1，4，0，5，4，7，9，11，（14）两项和为平方数列。

400，200，380，190，350，170，300，（130）两项差为等差数列?

隔项，是否有规律?

0，12，24，14，120，16（7^3－7）

数字从小到大到小，与指数有关

1，32，81，64，25，6，1，1/8??隔项，是否有规律?

? 0，12，24，14，120，16（7^3－7）

每个数都两个数以上，考虑拆分相加（相乘）法。

87，57，36，19，（1*9+1）

256，269，286，302，（302+3+0+2）?

数跳得大，与次方（不是特别大），乘法（跳得很大）有关

1，2，6，42，（42^2+42）

3，7，16，107，（16*107-5）??

?每三项/二项相加，是否有规律。?

?1，2，5，20，39，（125－20－39）

21，15，34，30，51，（10^2-51）?

C=A^2－B及变形（看到前面都是正数，突然一个负数，可以试试）

3，5，4，21，（4^2-21）,446

5，6，19，17，344,(-55)

-1，0，1，2，9，（9^3+1）?

C=A^2+B及变形（数字变化较大）

1，6，7，43，（49+43）

1，2，5，27，（5+27^2）?

??分数，通分，使分子/分母相同，或者分子分母之间有联系。/也有

考虑到等比的可能

2/3，1/3，2/9，1/6，（2/15）

3/1，5/2，7/2，12/5，（18/7）分子分母相减为质数列

1/2，5/4，11/7，19/12，28/19，（38/30）分母差为合数列，分子差为质

数列。

3，2，7/2，12/5，（12/1）??????????? 通分，3,2 变形为3/1，6/3，则

各项分子、分母差为质数数列。

64，48，36，27，81/4，（243/16）等比数列。

出现三个连续自然数，则要考虑合数数列变种的可能。

7，9，11，12，13，（12+3）

8，12，16，18，20，（12*2）

突然出现非正常的数，考虑C项等于 A项和B项之间加减乘除，或

者与常数/数列的变形

2，1，7，23，83，（A*2+B*3）思路是将C化为A与B的变形，再尝

试是否正确。

1，3，4，7，11，（18）

8，5，3，2，1，1，（1－1）??

?首尾项的关系，出现大小乱现的规律就要考虑。

3，6，4，（18），12，24 首尾相乘

10，4，3，5，4，（－2）首尾相加

旁边两项（如a1,a3)与中间项(如a2)的关系

1，4，3，－1，－4，－3，（ －3―（－4） ）

1/2，1/6，1/3，2，6，3，(1/2)?

??B项等于A项乘一个数后加减一个常数

3，5，9，17，（33）

5，6，8，12，20，(20*2－4)

如果出现从大排到小的数，可能是A项等于B项与C项之间加减乘除。

157,65,27,11,5,(11-5*2)

一个数反复出现可能是次方关系，也可能是差值关系

－1，－2，－1，2，（－7） 差值是2级等差

1，0，－1，0，7，（2^6－6^2）

1，0，1，8，9，（4^1）

除3求余题，做题没想法时，试试（亦有除5求余）

4,9,1,3,7,6,( C) A.5 B.6. C.7 D.8 （余数是1,0,1,0,10,1)

3.怪题：

日期型

2100－2－9，2100－2－13，2100－2－18，2100－2－24，（2100-3-3）

结绳计数

1212，2122，3211，131221，（311322） 2122指1212有2个1，2

个2.??

第二部分、图形推理

一． 基本思路：

看是否相加，相减，求同，留同存异，去同相加，相加再去同，

一笔划问题，笔划数，线条数，旋转，黑白相间，轴对称/中心对称，

旋转，或者答案只有一个图可能通过旋转转成。

视觉推理偏向奇偶项，回到初始位置.

注：5角星不是中心对称

二．特殊思路：

1.有阴影的图形 可能与面积有关，或者阴影在旋转，还有就是

黑白相间。

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第一组，1/2 1/4 1/4 第二组，1，1/2, (1/2 A)

两个阴影，里面逆时针转，外面顺时针转。

2． 交点个数 一般都表现在相交露头的交点上 或者一条线段

穿过多边形

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交点数为，3，3，3 第二组为3，3，（3）

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交点数为，1，1，1 第二组为2，2，（2）

但是，露头的交点还有其它情形。

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*

*

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MERGEFORMATINET

此题算S形，露头数，1,3,5,7,9,11,(13 B ),15,17

3. 如果一组图形的每个元素有很多种，则可从以下思路，元素不同

种类的个数，或者元素的个数。

出现一堆乱七八遭的图形，要考虑此种可能。

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第一组2,4,6种元素，第二组，1,3,（5）

*

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种类，1，2，3，4（5）

元素个数为4，4，4 4，4，（4）

4.包含的块数 / 分割的块数

出现一些乱七八遭的图形，或者出现明显的空间数，要考虑此

种可能。

包含的块数，1,2,3,4,5,(6,B)

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分割的块数为，3，3，3，3，3，（3，A）

5.特点是，大部分有两种不同元素，每个图形两种类个数各不相

同。

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* \"/gwy/Files/2008-6/23/\"

MERGEFORMATINET

圆形相当于两个方框，这样，全都是八个方框，选D

6.角个数 只要出现成角度图形都需要注意

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3，4，5，6,(7)

7.直线/曲线出现时，有可能是，线条数。或者，都含曲线，都含

直线，答案都不含直线，都不含曲线。

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* \"/gwy/Files/2008-4/20/\"

MERGEFORMATINET

线条数是，3，3，3 4，4，4

8. 当出现英文字母时，有可能是笔划数，有可能是是

否直线/曲线问题，又或者是相隔一定数的字母。

如， C S U , D B ? A.P B.O C.L D.R

分析：C,S,U都是一笔， D,B,P都是两笔。

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* \"/gwy/Files/2008-4/20/\"

MERGEFORMATINET

分析：B，Q，P都含直线，曲线。A,V,L都只含直线。

K,M,O D,F,? A.L B.H C,P D.Z

分析：K,M相距2，O和M距2，D和F距2，F和H距2

A,E,I J,N,? A.G B.M C.T D.R

分析：A,E,I是第1,5,9个字母， J,N，R是第10,14，18

9.明显的重心问题

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重心变化，下，中，上 下，中，（上），选C

10.图形和汉字同时出现，可能是笔划数

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MERGEFORMATINET

笔划数为，1，2，3，2，（1）

出现汉字，可是同包含

爱，仅，叉，圣，？A.天 B.神 C.受 D门 同包含“又”

11.图形有对称轴时，有可能是算数量

第一组对称轴数有，3，4，无数 都三条以上 第二组，5，4，

（3条以上）

*

12.九宫格的和差关系，可能是考察行与行之间的关系。

第一行，等于第二行加第三行。

也可能是考察，一行求和后，再考察行与行之间

的关系。

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13. 5,3,0,1,2，（4） 遇到数量是这种类型的，可能是整

体定序后是一个等差数列。慎用。

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析：观察所给出的左边的图形，出方框范围的线条有3，

5，1，2，0，如果再加上4就构成了一个公差为1的等差数列，选项

C有4个出方框范围的线条，故选C。

14.数字九宫格 这类九宫格一般把中间数化为两数相乘。

26＝2*13＝2*（7+8－2）10＝2*5＝2*（3+6－4）所求项

为2*(9+2-3)=16

15.如果有明显的开口时，要考虑开口数。要注意这种题

型越来越多。

例：第一组是D A N 第二组是L S ? 选项：

A.W B.C C.R D.Q

析：因为第一组开口数0,1,2 第二组开口数是1,2,3(A)

第三部分、判断推理

最关键的地方，看清题目，问的是不能还是能，加强还是削弱（是否

有“除了”这个词）

一．最多与最少

概念之间的关系主要可以分为三大类：

一是包含，如“江苏人”与“南京人”；

二是交叉，如“江苏人”与“学生”；

三是全异，如“江苏人”与“北京人”。

全异的人数最多，全包含的人数最少，以下面例子为例。

例1：房间里有一批人，其中有一个是沈阳人，三个是南方人，两个

是广东人，两个是作家，三个是诗人。如果以上介绍涉及到了房间中

所有的人，那么，房间里最少可能是几人，最多可能是几人？

析：广东人是南方人，所以三个南方人和两个广东人，其实只有3个

人。现考虑全异的情况，即沈阳人，南方人，都不是作家和诗人，这

样人数会最多。1+3+2+3=9,最多9人。现考虑全包含的情况，假设南

方人中，3个全是诗人，有两个是广东人，有两个南方人是作家，已

经占3个人了；这样沈阳人也是1人，即最少有4人。（本题最容易

忽略的是，南方人有可能既是作家，又是诗人，最少的就是把少的包

在多的中）

例2：某大学某某寝室中住着若干个学生，其中，1个哈尔滨人，2

个北方人，1个是广东人，2个在法律系，3个是进修生。因此，该

寝室中恰好有8人。以下各项关于该寝室的断定是真的，都能加强上

述论证，除了

A、题干中的介绍涉及了寝室中所有的人。

B、广东学生在法律系。

C、哈尔滨学生在财经系。

D、进修生都是南方人。

析：本题，哈尔滨人是北方人，则寝室最多的人数是：2+1+2+3＝8

人，因为寝室正好8人，所以，北方人，广东人，法律系，进修生，

全部是相异的，一旦有交叉，必然造成寝室人数少于8人。所以选B

二．应该注意的几句话

1.不可能所有的错误都能避免

不可能所有的错误都能避免，怎么理解？

A.可能有的错误不能避免? B.必然有的错误不能避免。

答案是B，不可能所有的错误都能避免，说明了至少存在一个例子错

误是不能避免的，可能有一个例子，可能有很多个例子，即必然有的

错误不能避免。可能有的错误不能避免，只是可能，说明有可能所有

的错误都能避免。

2.

A.妇女能顶半边天，祥林嫂是妇女，所以，祥林嫂能顶半边天。

此句话推理有误。因为妇女能顶半边天的妇女是全集合概念，与祥林

嫂是妇女中的妇女的概念不一至。类似于，孩子都是祖国的花朵，花

朵都需要浇水，所以孩子都需要浇水。又，鲁迅的小说不是一天能读

完的，《呐喊》是鲁迅的小说，所以，《呐喊》不是一天能读完的。错

误，因为前面小说是相对鲁迅所有小说，集合的概念，后项是非集合

概念。

2.

B.对网络聊天者进行了一次调查，得到这些被调查的存不良企图的网

络聊天者中，一定存在精神空虚者。

那么能不能得出“存在不良企图网络聊天者中一定有精神空虚者”

呢？答案是否定的，因为要得出的结论是全集的概念，而题干只是针

对调查者。

2.

C. 对近三年刑事犯调查表明，60%都为己记录在案的350名惯犯所

为。报告同时揭示，严重刑事犯罪案件的作案者半数以上是吸毒者。

那么能不能得出“350名惯犯中一定有吸毒者”呢？不能。因为60%

是指案件，而半数指的是作案者。假如案件有1000个案犯，其中350

名惯犯做了600件案子，其他６５０名案犯才做了400件案子，那么

如果650名全部吸了毒，而350全不吸毒，也符合严重刑事犯罪案件

的作案者半数以上是吸毒者（65%吸了毒）。另外一种说法，严重刑

事犯罪案件的作案案件半数中一定有案件是350名惯犯里的人做的，

这个就正确了。

3.或者，或者 要么，要么

或者A，或者B 这个关联词表示，可能是A成立，可能是B成立，

可能是A/B都成立。

例如，鲁迅或者是文学家，或者是革命家。表示，鲁迅可能是文学家，

可能是革命家，可能是文学革命家。

如果是要么，要么，则只有两个可能性，文学家，和革命家。

4.并非某女年轻漂亮/（并非毛泽东既是军事家，又是文学家）

这句话表示，某女可能年轻不漂亮，可能漂亮不年轻，可能即不漂亮

也不年轻。

毛泽东可能是军事家不是文学家，可能是文学家但不是军事家，可能

既不是军事家也不是文学家。

5.A:我主张小王和小孙至少提拔一人 B:我不同意

B的意思是，小王和小孙都不提拔。因为如果提拔任何一人，都满足

了A的话，即同意了A。

6.如果天下雨，那么地上湿。类似的短语（只要,就；如果，那么；一，

就）

第一，现在天下雨了，那么地上湿不湿呢？湿

第二，现在天没下雨，地上湿不湿呢？不一定

第三，现在地上湿了，天有没有下雨呢？不一定

第四，现在地上没湿，天有没有下雨呢？没有。

7.只有天下雨，地上才会湿。类似的短语（除非，才；没有，就没有；

不，就不）

表示的含义：1.天下雨，地不一定会湿。 2.天不下雨，地一定不会湿。

8.A:所有的同学都是江苏人；B：不同意

B 的意思是，必然有同学不是江苏人，但可以全部都不是江苏人，也

可以是有部分同学不是江苏人。

9.发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响。

这句话意思是，只要是发牢骚的，就能不理睬通货膨胀的影响。

但，不理睬通货膨胀的影响的人，不一定是发牢骚的人。

10.所有的贪污犯都是昌吉人;所有的贪污犯都不是昌吉人。

第一句话，不能理解为，所有昌吉人都是贪污犯人。但只要是贪污犯，

都是昌吉人。

第二句话，可以理解为，所有的昌吉人都不是贪污犯。因为一旦昌吉

人是贪污犯，则不是昌吉人，所以昌吉人不可能是贪污犯。即所有昌

吉人都不是贪污犯。

11.主板坏了，那么内存条也一定出了故障。

这种假设命题，除非能证明，“主板坏了，那么内存条不一定/没出故

障。”否则，不能认为主板就一坏了。也就是即使主板确定是好好的，

这个命题也是真的。

12.推理方式的正确性

题目给的是：所有的读书人都有熬夜的习惯，张目经常熬夜，所以，

张目一定是读书人。

这个命题是不一定准确的。

选项：所有的素数都是自然数，91是自然数，所以91是素数。

这个命题是错误的，因为91是复数，由此，题目推理方式不同。

有时的题目是，题干正确，那么也要选正确的。

13.除非谈判马上开始，否则有争议的双方将有一方会违犯停火协议。

谈谈马上开始了，能保证有争议的双方不会有一方违犯停火协议吗？

答案是不能。题目意思是说，只有谈判马上开始，有争议的双方才能

不会有一方违犯停火协议。只是停火的条件。?

14.正确的三段论和错误的三段论

正确的三段论：

所有的聪明人都近视，

有些学生是聪明人，

有些学生近视。

错误的三段论如：

所有的聪明人都近视，

有些学生不聪明，

有些学生不近视。

三．充分必要条件万能宝典

A＝>B，表示，A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。A

能推出B，B成立却不一定推出A成立。没有B就没有A，不是B就

决不会有A，只要A成立，B一定要成立。

A＝>B，B=>C,则A=>C。

1.只有博士，才能当教授。只有通过考试，才能当博士。

不是博士，不能当教授。博士是当教授的必要条件，教授一定是博士，

博士不一定是教授。

1式：教授＝》是博士

不通过考试，不能当博士。通过考试是当博士的必要条件，博士一定

通过考试，通过考试不一定是博士，可能还要其它条件。

2式：是博士＝》通过了考试

联合得，教授＝》通过了考试

2.只有住在广江市的人才能够不理睬通货膨胀的影响；如果住在广江

市，就得要付税；每一个付税的人都要发牢骚。

根据上述判断，可以推出以下哪项一定是真的？

（1）每一个不理睬通货膨胀影响的人都要付税。

（2）不发牢骚的人中没有一个能够不理睬通货膨胀的影响。

（3）每一个发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响?

析：第一句话，说明，不理睬＝》广江市；第二句，广江＝》付税；

第三句，付税＝》发牢骚。则不理睬＝》在广江市＝》付税＝》发牢

骚

由此，(1),可得之。（2），发牢骚是不理睬的必要条件，不发牢骚，就

不能不理睬。

（3），只有发牢骚，才能不理睬。但发牢骚了，不代表不理睬。 则

选（1）（2）

四．加强、削弱、和前提

1、审题 要分辨题目是加强还是削弱还是前提，看清题意（有没有“除

了”这些字眼），不要看到一个选项就自以为是选上，实际上和题目

要求相反。

另一个重点是，分清问的是什么？论据，论证，论点

论点是统帅,解决“要证明什么”的问题;论据是基础,解决“用什么来

证明”的问题;论证是达到论点和论据同意的桥梁。

答题时要审好题目，题意是要加强/削弱什么？论据，论证，还是观

点。

例：

有一句话，“学雷锋不好！因为雷锋以前就是个贪图小便宜、损人利

己的坏人。如果学了雷锋，那么就没时间学习科学知识，就没时间进

行自我修养。”

其中，学雷锋不好是我的论点，雷锋以前是什么样的人是我的论据。

学了雷锋就怎样怎样这一推断过程，算是我的论证。

要反驳削弱，如果你直接咬住“学雷锋不好”这一错误观点，来批驳

我，就是驳论点；如果你列举真实的雷锋事迹，来批驳我关于雷锋是

什么样的人的论据，就是驳论据；如果你找出我的逻辑错误或者论述

过程中的结果错误，来批驳我，就是驳论证。

2.解削弱型

解答此类试题，一般要先弄清楚题干所描述的论点、论据和论证的关

系。如果是削弱结论，则从题干所描述的论点的反向思考问题，一般

就是找论点的矛盾命题，或是与论点唱反调的命题；如果是削弱论证，

则主要从论点和论据之间的逻辑关系方面思考问题；如果是削弱论

据，则从论据的可靠性角度试考问题。

如果题目是不能削弱，则是要找出，和论据/论证/论点 不相干的一

项或者加强的一项。

五．一些题型?

1.这种判断甲乙丙是谁的题，从出现过两次的那个人入手。

例：世界田径锦标赛3000米决赛中，跑在最前面的甲、乙、丙三人

中，一个是美国选手，一个是德国选手，一个是肯尼亚选手，比赛结

束后得知：

（1）甲的成绩比德国选手的成绩好。

（2）肯尼亚选手的成绩比乙的成绩差。

（3）丙称赞肯尼亚选手发挥出色。

则，甲，乙，丙分别是？

析：（2），（3）中，肯尼亚出现两次，从此切入，肯尼亚不是乙，肯

尼亚不是丙，则肯尼亚是甲。又由1，肯尼亚比德国成绩好，肯尼亚

又比乙差，则德国不是乙，是丙。美国是乙。

2．定义判断的注意事项

定义判断一定要注意，题目问的是不属于，还是属于。

定义判断一般是判断是否属于“属”，再看是否符合“种差”。

注：逻辑推理可以通过MBA逻辑书籍进行超级强化。

第四部分、数学运算上

（注意运算不要算错，看错！！！越简单的题，越要小心陷阱）

一．排列组合问题

1. 能不用排列组合尽量不用。用分步分类，避免错误

2. 分类处理方法，排除法。

例：要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有

（C1/2 *C1/3 +1）种不同的排法?

析：当只有一名女职员参加时，C1/2* C1/3；

当有两名女职员参加时，有1种

3．特殊位置先排

例：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不

重复。若甲乙两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有（3

* P4/4）?

析：先安排星期五，后其它。

4. 相同元素的分配（如名额等，每个组至少一个），隔板法。

例：把12个小球放到编号不同的8个盒子里，每个盒子里至少有一

个小球，共有（C7/11）种方法。

析：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，共有12－1个空，用8－1个隔板插入，

一种插板方法对应一种分配方案，共有C7/11种，即所求。

注意：如果小球也有编号，则不能用隔板法。

5. 相离问题（互不相邻）用插空法

例：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻，有多少种排法？?

析：| 0 | 0 | 0 | 0 |,分两步。第一步，排其它四个人的位置，四个0

代表其它四个人的位置，有P4/4种。第二步，甲乙丙只能分别出现在

不同的 | 上，有P3/5种，则P4/4 * P3/5即所求。

例：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有的相对顺序不变，再

增加三个节目，求共有多少种安排方法？?

析：思路一，用二次插空法。先放置8个节目，有9个空位，先插一

个节目有9种方法，现在有10个空位，再插一个节目有10种方法，

现有11种空位，再插一种为11种方法。则共有方法9*10*11。?

思路二，可以这么考虑，在11个节目中把三个节目排定后，剩下的

8个位置就不用排了，因为8个位置是固定的。因此共有方法P3/11?

6. 相邻问题用捆绑法?

例：7人排成一排，甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？?

析：把甲、乙、丙看作整体X。第一步，其它四个元素和X元素组成

的数列，排列有P5/5种；第二步，再排X元素，有P3/3种。则排法

是P5/5 * P3/3种。?

7. 定序问题用除法

例：有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且

百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？?

析：思路一：1－9，组成5位数有P5/9。假设后三位元素是（A和B

和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。

假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的P3/3-1个顺

序，都有X种排法。则X*(P3/3-1+1)=P5/9,即X=P5/9 / P3/3?

思路二：分步。第一步，选前两位，有P2/9种可能性。第二步，选后

三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C3/7

种。即后三位有C3/7种可能性。则答案为P2/9 * C3/7

8. 平均分组

例：有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本。有多少种不

同的分法？

析：分三步，先从6本书中取2本给一个人，再从剩下的4本中取2

本给另一个人，剩下的2本给最后一人，共C2/6* C2/4 * C2/2

例：有6本不同的书，分成三份，每份两本。有多少种不同的分法？

析：分成三份，不区分顺序，是无序的，即方案(AB,CD,EF)和方案

（AB,EF,CD）等是一样的。前面的在（C2/6* C2/4 * C2/2）个方案中，

每一种分法，其重复的次数有P3/3种。则分法有，（C2/6* C2/4 * C2/2）

/?? P3/3 种分法。

二．日期问题

1.闰年，2月是29天。平年，28天。

2.口诀：

平年加1，闰年加2；(由平年365天/7=52余1得出)。

例：2002年 9月1号是星期日? 2008年9月1号是星期几？

因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星

期，则：

4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。

例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？?

4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到）

三．集合问题

1.两交集通解公式（有两项）

公式为：满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数

＝总个数-两者都不满足的个数

其中满足条件一的个数是指 只满足条件一不满足条件二的个数 加

上 两条件都满足的个数? 公式可以画图得出

例：有62名学生，会击剑的有11人，会游泳的有56人，两种都不

会用的有4人，问两种都会的学生有多少人？?

思路一：两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4?

设都会的为T，11－T+56-T+T＝58，求得T=9?

思路二：套公式，11+56－T＝62－4，求得T＝9?

例：对某小区432户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车

的共27户，有摩托车的共108户，两种都没有的共305户，那么既

有汽车又有摩托车的有多少户？?

析：套用公式27+108－T=432-305 得T=8

2.三交集公式（有三项）

例：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，

有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球

赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢

看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人，则只

喜欢看电影的人有多少人？

INCLUDEPICTURE

\"/zzallenzz/654236673275/\"

MERGEFORMATINET ?????

如图， U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的?

X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏

剧的人?

T是三者都喜欢的人。即阴影部分。

a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧

b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛

c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项。不喜欢电影。?

A=X+Y+Z,B=a+b+c,A是只喜欢一项的人，B是只喜欢两项的人，T是喜

欢三项的人。?

则U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的 = (x＋a＋c＋T) + (y＋

a＋b＋T) + (z＋b＋c＋T)

整理，即

A+2B+3T＝至少喜欢一项的人数人

又：A+B+T＝人数

再B+3T＝ 至少喜欢2项的人数和?

则

原题解如下：?

A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52?

*

A+(6+4+c)+12=100?

求得c=14?

则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛

的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14－4－

12＝22人?

四．时钟问题

1.时针与分针

分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，

每分钟时针比分针少走11/12（1-1/12=11/12）格。

INCLUDEPICTURE

\"/zzallenzz/4/\"

MERGEFORMATINET

例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？

析：2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，

则需经过10 /11/12 分钟的时间。

例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与

分针重合多少次？

析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针

追赶时针一次，耗时60 / 11/12 ＝720/11分钟，而12小时能追随及

*

12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全

重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。

如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最

后一次重合的次数。

2.分针与秒针

秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，

每秒钟秒针比分针多走59/60格?

例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重

合多少次？

析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针

追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/ 59/60格/秒= 3600/59

秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒 / 3600/59

秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，

分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了

59次。

3.时针与秒针

时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每

秒钟秒针比时针多走719/720格。?

例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与

秒针重合了多少次??

析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720

格，则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12个小时有12*3600

秒时间，则可以追12*3600/43200/719＝710次。此时重合在12点位

置上，即重合了719次。

4.成角度问题

例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？

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\"/zzallenzz/729196673273/\"

MERGEFORMATINET

析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45

＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6

度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。?

5.相遇问题?

例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”

的两边？?

析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1

格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程

15格，则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13分。?

例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的

位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多

少时间？?

析：

*

INCLUDEPICTURE

\"/zzallenzz/576906673273/\"

MERGEFORMATINET ?

只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，

即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1

格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。?

*

五．方阵问题

1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8

2、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4

3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方

4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的

层数）×空心方阵的层数×4

5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1

例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个

学校共有学生？

析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625

例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方

阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个

空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方

阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多

少人?

析：设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4.

8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)

求出Y=14,则共有人数：14*14+8*8＝260

例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子

15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心

方阵共用了多少个棋子?

析：最外层有(15-1)*4=56个。则里二层为56-8*2=40

应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144

六．几何问题

1.公式

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MERGEFORMATINET

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\"/zzallenzz/459076673272/\"

MERGEFORMATINET

*

*

补：扇形面积＝1/2*r*l ???其中r为半径，l为弧长。

2.两三角形，有一角成互补角，或者有一角重合的面积关系。

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\"/zzallenzz/995666673271/\"

MERGEFORMATINET

?

图1中，Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD

图2中，Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通过作高，相似得到)

例： 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△

BDE的面积是多少？

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\"/zzallenzz/742506673270/\"

MERGEFORMATINET

Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4?

例： 例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、

C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边

形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是

多少？

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*

*

\"/zzallenzz/543496673270/\"

MERGEFORMATINET ?

Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd

同理Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd

则Sabcd=30/(2+2+1)=6

3.圆分割平面公式

公式为：N^2-N+2,其中N为圆的个数。

*

一个圆能把平面分成两个区域，两个圆能把平面分成四个区域，问四

个圆能最多把平面分成多少个区域？(4^2-4+2 )

4.最大和最小

（1）等面积的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其周长越小。

（2）等周长的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其面积越大。

以上两条定理是等价的。

（3）等体积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其表面积

越小。

（4）等表面积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其体积

越大。

以上两条定理是等价的。?

例：相同表面积的四面体,六面体,正十二面体及正二十面体,其中体积

最大的是:

A 四面体? B 六面体? C 正十二面体? D 正二十面体?

析：显然，正二十面体最接近球体，则体积最大。?

5.一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，

现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不

得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（??? ）?

A．长25厘米、宽17厘米??????????? B．长26厘米、宽14厘米

C．长24厘米、宽21厘米?????????? ?D．长24厘米、宽14厘米?

析：这种题型首先的思路应该是，先算盒子的总面积

=2*(20*8+20*2+8*2)=432，除了C其它都小于432。

七．比例问题、十字相乘法与浓度问题

1.十字相乘法?

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余

部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的

比例。假设A有X，B有（1-X）。则C为1。?

得式子，A*X+B*(1-X)＝C*1?

整理得X=C-B / A-B?? 1-X=A-C / A-B?

则有X : (1-X)=C-B / A-C?

计算过程写为

X??????? A???????? ?C-B???????

：? ＝? ???????C?

1-X??????B????????? A-C???????? (一般大的写上面A, 小的B。)?

例：某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在

教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是?

析：一个集合（教练员和运动员的男性），只有2个不同的取值，部

分个体取值（90%）,剩余部分取值为82%，平均值为82%。?

教练员?? 90%???????? 2%??????????

??????????????82%???????????????? = 1:4?

运动员?? 80%???????? 8%???????????

例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，

而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：?

析：男生平均分X，女生1.2X?

1.2X???????? 75-X???? ?? 1?

?????? 75????????????=?

X?????????? 1.2X-75???? 1.8?

得X=70 女生为84

?

2.浓度问题

溶液的重量＝溶质的重量+溶剂的重量

浓度＝溶质的质量 / 溶液质量

浓度又称为溶质的质量分数。

关于稀释，加浓，配制。其中混合后的浓度为P

稀释，一溶液加水，相当于a克P1%的溶液，和b克0%的溶液配制。

P1?????????? P??????? a?

?????? P

0??????????? P1-P????? b

加浓，相当于a克p1%的溶液，和b克100%的溶液配制。

P1????????? P-100??? a?

?????? P

100???????? P1-P???? b

配制则是a克P1%的溶液，和b克P2%的溶液配制。

可列以下十字相乘：

P1??????? P-P2????? a?

???? P

P2??????? P1-P????? b?

注：有些题不用十字相乘法更简单。

?

例：有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%,需加盐多少千克？

析：

15??????????? 80?????? 20?

???????20

100?????????? 5??????? b

80/5=20/b 得b=1.25g?

例：从装满100g浓度为80％的盐水杯中倒出40g盐水后再倒入清水

将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（）

A.17.28%??? B.28.8%????? C.11.52%??? D.48%?

析：开始时，溶质为80克。第一次倒出40g，再加清水倒满，倒出

了盐80*40%，此时还剩盐80*60%。同理，第二次，剩80*60%*60%。

第三次，乘80*60%^3=17.28g，即浓度为17.28%?

特例：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐

水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这

样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？?

析：设甲浓度P1,乙浓度P2。混合后的相等浓度为P.拿出的等量的水

为a?

则对于甲?

P1?????? P-P2????? 120-a?

?????? P?

P2?????? P1-P????? a?

对于乙?

P2???????? P-P1????? 80-a?

????? P??????????

P1???????? P2-P????? a

则120-a?????? a?

??? ?:?????? =????? :?

?? a???????????? 80-a?

得a=120*80 / 120+80?

一般地，对于质量为m1,m2的溶液，也有

a=m1*m2? /? (m1+m2)??

第四部分、数学运算中

八．数、整除、余数与剩余定理

1.数的整除特性

被4整除：末两位是4的倍数，如16,216,936„

被8整除：末三位是8的倍数，如144，2144，3152

被9整除：每位数字相加是9的倍数，如，81，936，549

被1?????? 1整除：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间

的差是11的倍数。??如，121，231，9295

如果数A被C整除，数B被C整除，则，A+B 能被C整除 ; A*B也

能被C整除

如果A能被C整除，A能被B整除，BC互质，则A能被B*C整除。

?例：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以

B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这

四个自然数的和是：?

析：A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍数，5是5的倍数，则A

是5的倍数，同理A是6的倍数，A是7的倍数，则A为最小公倍数，

210，此题得解。?

2.剩余定理

原理用个例子解释，一个数除以3余2，那么，这个数加3再除以3，

余数还是2.?

一个数除以5余3，除以4余3，那么这个数加上5和4的公倍数 所

得到的数，除3还是能得到这个结论。?

例：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位

数共有（）?

析：7是最小的满足条件的数。9，5，4的最小公倍数为180，则187

是第二个这样的数，367，547，727，907共5个三位数。?

例：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每

5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？?

析：题目转化为，一个数除以9余5,除以7余1，除以5除2。第一

步，从最大的数开刀，先找出除以9余5的最小数，14。???? 第二

步，找出满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数。14

除以7不余1；再试14+9这个数，23除以7照样不余1；数取14+9*4

时，50除以7余1，即满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的

最小的数是，50；??? 第三步，找符合三个条件的。50除以5不余2，

再来50+63（9，7的最小公倍数）＝123，除5仍不余2；再来，50+126，

不余2；„„当50+63*4时，余2，满足3个条件，即至少有302个

人。?

例：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数

为8，P除以8的余数为7.如果100

析：此题可用剩余定理。但有更简单的，

P+1是10的倍数

P+1是9的倍数

P+1是8的倍数

1-1000内，10，9，8的公倍数为，360,720，则P为359,719。

3.84*86＝？

出现如AB*AC=?，其中B+C=10，计算结果为：百位数为A(A+1)，十

位/个位数为：B*C。注：如果B*C小于10，用0补足。如：29*21,

百位数为2*3=6，个倍数为1*9＝9，则结果为609.

4.根号3,3次根号下5，哪个小？

这类题，关键是用一个大次的根号包住两个数。一个是2次根号，一

个是3次根号，则应该用6次根号包住它们。根号3，可以化成6次

根号下27；3次根号下5，可化为6次根号下25,则根号3大于3次

根号下5.

九．等差数列?

性质：

（1）等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数或者正中间

那两个数的平均值（偶数个数）

（2）任意角标差值相等的两个数之差都相等，即

A(n+i)-An=A(m+i)-Am

例：｛an｝是一个等差数列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列

前13项之和是：

A3-a10=A4-A11=-4

这道题应用这两个性质可以简单求解。

因此A7=8+4=12，而这13个数的平均值又恰好为正中间的数字a7，

因此这13个数的和为? 12×13=156

十．抽屉问题

解这类题的关键是，找出所有的可能性，然后用最不利的情况分析。

例：一个布袋中由35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色

球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取

出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？

析：最不利的情况是，取出3个蓝色球，又取了2个绿色球，白、黄、

红各取3个，这个时候再取一个就有4个是同一颜色的球了。即取：

3+2+3*3+1＝15个球。

例：从1、2、3、4„„、12这12个自然数中，至少任选几个，就可

以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？?? ?重点??

析:考虑到这12个自然数中，满足差为7的组合有，(12，5)，（11，4），

（10，3），（9，2），（8，1），共五种，还有6,7两个数没有出现过，

则最不幸的情况就是，（12，5）等都取了一个，即五个抽屉取了五个，

还有6,7各取一个，再取一个就有两个数差为7了，则取了5+2+1=8