2024年4月17日发(作者：数学试卷等级划分图片高清)

数学概论之微积分的发展

汪捷

数学与应用数学 2012501004

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经

产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线

下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极

限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天

下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到

“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是

朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求

即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最

小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一

个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量

的研究工作，如法国的费尔玛、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；

意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

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十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分

别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他

们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心

问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，

因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 微积分学

的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往

往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

牛顿的“流数术”

牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》

和《流数术和无穷极数》。这些概念是力不概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，

依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他

还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。

牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。

（1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。

（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛

顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。

（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求

曲线长度及计算曲边形面积等。

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牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学

和积分学之间的联系。

牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微

积分的标志。

莱布尼茨使微积分更加简洁和准确

德国数学家莱布尼茨是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有

数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的，

不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是

经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则

的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的

表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强

有力地促进了高等数学的发展。

莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促

进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。

牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。

莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是

数学成功的关键之一。

后来19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，

建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为

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了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史

上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的

拉格朗日、……

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的

变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中

的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

站在今天的世界，回顾前人走过的路程，我们不得不感叹在科学的道路上，没有侥幸，

没有意外，只有脚踏实地，一步一个脚印的坚持下去，站在前人的肩膀上继续努力，才有

可能摘取科学的明珠。

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