2024年4月14日发(作者：2005全国数学试卷三)
广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高二上学期学科能
力竞赛数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
uruururuuururuururuuururuurur
1
．设向量
e,e,e
不共面，已知
AB=-3e-e+2e,BC=e+
l
e-6e
，
123123123
uuururuuurur
CD=4e
1
+2e
2
+8e
3
，若
A,C,D
三点共线，则
l
=
（
）
A
．
0B
．
1C
．
2D
．
3
2
．已知二面角
a
-l-
b
的棱上两点
A
，
C
，线段
AB
与
CD
分别在这个二面角内的两个
半平面内，并且都垂直于棱
l
.
若
AB=6
，
CD=8
，
AC=2
，
BD=12
.
则这两个平面的
夹角的余弦值为（
）
A
．
5
12
B
．
4
5
C
．
3
5
D
．
3
4
3
．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．
单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体
FE-ABCD
的形状（如图②），若四边形
ABCD
是矩形，
AB//EF
，且
AB=2EF=2BC=8
，
EA=ED=FB=FC=3
，则三棱锥
F-ADE
的体积为（
）
A
．
8
3
B
．
3C
．
4
3
D
．
16
3
4
．“
m=1
”是“直线
x-y+m=0
被圆
(
x-1
)
2
+y
2
=5
所截得的弦长等于
23
”的
试卷第11页，共33页
（
）
A
．充分不必要条件
C
．充要条件
B
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
5
．已知圆
C
的方程为
x
2
+y
2
=16
，直线
l:x+y-8=0
，点
P
是直线
l
上的一动点，过
P
作圆
C
的两条切线，切点分别为
A
，
B
，当四边形
PAOB
的面积最小时，直线
AB
的
方程为（
）
A
．
x+y=4
C
．
2x+3y=4
B
．
3x+4y=4
D
．
x+y=1
6
．已知
O
22
F
F
xy
为坐标原点，椭圆
E:
+
的左、右焦点分别是
1
，
2
，离
=
1a
>
b
>
0
()
a
2
b
2
PP
M
E
N
MF
ON+NF
1
=2
心率为
3
.
，是椭圆上的点，
1
的中点为，，过作圆
2
2
Q:x
2
+
(
y-4
)
=1
的一条切线，切点为
B
，则
PB
的最大值为（
）
A
．
22
B
．
26
C
．
25
D
．
5
7
．已知
x,y
Î
R
+
，满足
2x+y=2
，则
5
4
8
5
x+x
2
+y
2
的最小值为（
）
A
．
B
．
C
．
1D
．
1
+
2
3
8
．
.
如图是数学家
Germinal Dandelin
用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆
的模型（称为“
Dandelin
双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别
与圆锥的侧面、截面相切，设图中球
O
1
，球
O
2
的半径分别为
4
和
1
，球心距
OO=6
，
12
截面分别与球
O
1
，球
O
2
切于点
E
，
F
，（
E
，
F
是截口椭圆的焦点），则此椭圆的
离心率等于（
）
试卷第21页，共33页
A
．
33
9
B
．
6
3
C
．
2
2
D
．
1
6
二、填空题
9
．点
P(-3,0)
在动直线
(a+2b)x-(a+b)y-3a-4b=0
上的投影点为
Q
，则点
Q
的轨迹
方程是
.
22
x
2
y
2
10
．已知双曲线
2
-
2
=
1(a
>
0,b
>
0)
的渐近线与圆
x+y-6x+8=0
相切，则双曲线的
ab
离心率为
.
11
．已知圆
C
的圆心在直线
x-y+1=0
上，且与直线
3x+4y-16=0
和
y
轴都相切，则
圆
C
的方程为
.
22
F
12
．设椭圆
x
+
y
=
1(a
>
b
>
0)
的两焦点为
F
1
，
2
.
若椭圆上存在点
P
，使
a
2
b
2
ÐF
1
PF
2
=120°
，则椭圆的离心率
e
的取值范围为
.
uuuruuuruuuruuur
13
．已知
OABC
是棱长为
1
的正四面体
.
若点
P
满足
OP=xOA+yOB+zOC
，其中
x+y+z=1
uuur
OP
，则的最小值为
.
试卷第31页，共33页
22
14
．设
F
1
，
F
2
分别为椭圆
C:
x
+
y
=
1(a
>
b
>
0)
的左、右焦点，过
F
1
的直线交椭圆于
a
2
b
2
A
、
B
两点，且
AF
1
^AF
2
，
AF=2FB
，则椭圆
C
的离心率为
．
11
22
F
F
F
xy
15
．已知双曲线
C
：
-
的左、右焦点分别为
1
，
2
，过点
1
作倾
=
1a
>
0,b
>
0
()
a
2
b
2
uuuruuur
斜角为
30
o
的直线
l
与
C
的左、右两支分别交于点
P
，
Q
，若
æ
ç
ç
è
uuuuruuuur
ö
ruuuur
F
2
PF
2
Q
÷
uuuu
uuuur
+
uuuur
×
F
2
P
-
F
2
Q
=
0
，则
C
的离心率为
．
F
2
PF
2
Q
÷
ø
()
16
．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数
学三巨匠，他研究发现：如果一个动点
P
到两个定点的距离之比为常数
l
（
l
>0
，且
l
¹1
），那么点
P
的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆
.
已知圆
C
：
x
2
+y
2
=24
，
点
M
(
2,2
)
，平面内一定点
N
（异于点
M
），对于圆上任意动点
A
，都有比值
AN:AM
为定值，则定点
N
的坐标为
.
三、解答题
17
．已知点
P
(
1,3
)
，圆
C:x
2
+y
2
=1
．
(1)
求圆
C
过点
P
的切线方程；
(2)
Q
为圆
C
与
x
轴正半轴的交点，过点
P
作直线
l
与圆
C
交于两点
M
、
N
，设
QM
、
QN
的斜率分别为
k
1
、
k
2
，求证：
k
1
+k
2
为定值．
试卷第41页，共33页
18
．已知双曲线
E
3
ö
在双曲线
E
上．的左、右焦点分别为
F
1
(
-2,0
)
，
F
2
(
2,0
)
，点
æ
2,
ç
ç
3
÷
÷
èø
(1)
求
E
的方程；
(2)
过
F
2
作两条相互垂直的直线
l
和
l
，与
E
的右支分别交
A
，
C
两点和
B
，
D
两点，
1
2
求四边形
ABCD
面积的最小值．
A
B
19
．已知点
，点和点
C
22
A
为椭圆
C:
x
+
y
=
1(a
>
b
>
0)
上不同的三个点
.
当点，点
a
2
b
2
B
和点
C
为椭圆的顶点时，△
ABC
恰好是边长为
2
的等边三角形
.
(1)
求椭圆
C
标准方程；
uuuruuuruuur
(2)
若
O
为原点，且满足
OA+OB+OC=0
，求
VABC
的面积
.
试卷第51页，共33页
参考答案：
1
．
A
uuuruuur
【分析】把
A
、
C
、
D
三点共线转化为满足
CD=yAC
，列方程组，求出
l
即可
.
uuururuururuuururuururuuururuuurur
【详解】因为
AB=-3e-e+2e,BC=e+
l
e-6e
，
CD=4e+2e+8e
，
123123123
uuuruuuruuururuurur
所以
AC=AB+BC=-2e+
(
l
-1
)
e-4e
，
123
uuuruuur
因为
A,C,D
三点共线，所以存在唯一的
y
，使得
CD=yAC
,
uruuurururuurur
即
4e
1
+2e
2
+8e
3
=y-2e
1
+
(
l
-1
)
e
2
-4e
3
，
()
ì
l
=
0
ì
4
=-
2y
í
.
即
ï
í
2
=
y
(
l
-
1
)
，解得：
î
y
=-
2
ï
8
=-
4y
î
故选：
A.
2
．
A
uuuruuuruuuruuur
【分析】结合图象可得
BD=BA+AC+CD
，再利用空间向量数量积的运算律可得两平面夹
角的余弦值
.
【详解】由题可知，
A
、
C
在直线
l
上，
ABÌ
a
，
CDÌ
b
，且
AB^l
，
CD^l
，如下图，
uuuruuur
uuuruuur
uuur
uuur
uuur
uuur
AC×CD=0
AC×AB=0
AB=6
CD=8
AC=2
BD=12
，故，，，，，
uuuruuuruuuruuur
因为
BD=BA+AC+CD
，
答案第11页，共22页
uuur
2
uuuruuuruuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
BD=BA+AC+CD
=BA+AC+CD+2×BA×AC+2×BA×CD+2×AC×CD
故
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuuruuur
=BA+AC+CD+2×BA×CD×cosBA,CD
，
uuuruuur
uuuruuur
5
144=36+4+64+96cosBA,CD
故，解得
cosBA,CD=
，
12
所以平面
a
和平面
b
的夹角的余弦值是
5
.
12
故选：
A
3
．
A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点
F
到平面
ADE
的距离，进而结合三棱
锥的体积公式求解即可
.
【详解】如图，在线段
CD
上取点
H,N
，使得
DH=CN=2
，
HN=4
，
在线段
AB
上取点
G,M
，使得
AG=MB=2
，
GM=4
，
连接
EG,EH,GH,FM,FN,MN
，设
P,Q
分别为
GH,MN
的中点，连接
EP,FQ
，
由题意可得，
EG=EH=FM=FN=5
，
GH=MN=4
，
EP=FQ
，
EP
^
平面
ABCD
，
则
EP=FQ=1
，连接
PQ
，则
PQ//AB//DC
，
以
Q
为原点，以
QM
，
QP
，
QF
所在直线为
x,y,z
轴建立空间直角坐标系，
则
F
(
0,0,1
)
，
A
(
2,6,0
)
，
D
(
-2,6,0
)
，
E
(
0,4,1
)
，
uuur
uuur
uuur
所以
AD=
(
-4,0,0
)
，
AE=
(
-2,-2,1
)
，
EF=
(
0,-4,0
)
，
r
设平面
ADE
的一个法向量为
n=
(
x,y,z
)
，
答案第21页，共22页
r
uuur
r
æ
1
ö
ì
-
4x
=
0
ì
ï
n
×
AD
=
0
n
=
ç
0,,1
÷
r
则
í
r
uuu
，即
í
，则可取
è
2
ø
，
î
-
2x
-
2y
+
1
=
0
ï
î
n
×
AE
=
0
uuurr
EF
×
n
245
=
的距离为
h
=
r
=
，
5
5
n
4
F
则点到平面
ADE
1
又
S
V
ADE
=´4´3
2
-2
2
=25
，
2
所以三棱锥
F-ADE
1458
.
的体积为
1
´S´25´=
V
ADE
´h=
3353
故选：
A.
4
．
A
【分析】根据直线被圆截得的弦长可求出
m=1
或
m=-3
，根据
m
的取值即可判断出结果
.
【详解】因为圆
(
x-1
)
2
+y
2
=5
的圆心
C
(
1,0
)
，半径
r=5
.
又直线
x-y+m=0
被圆截得的弦长为
23
.
æ
23
ö
所以圆心
C
到直线的距离
d
=
r
2
-
ç
，
ç
2
÷
÷
=
2
èø
2
1-0+m
因此
1
2
+
(
-
1
)
2
=
2
m=1m=-3
，解得或，
答案第31页，共22页
易知“
m=1
”是“
m=1
或
m=-3
”的充分不必要条件；
故选：
A.
5
．
A
【分析】先判断出四边形
PAOB
的面积最小时
P
点的位置，根据圆与圆的交线的求法求得
正确答案
.
【详解】依题意可知
OA^AP,OB^BP
，
1
222
ö
所以
S
PAOB
=2
´
æ
´
OA
´
AP=OA
´
AP=OA
´
OP
-
OA=4
´
OP
-
16
，
ç÷
è
2
ø
所以
OP
最小时，
S
PAOB
最小，此时
OP^l
，
l
的斜率为
-1
，所以此时直线
OP
的斜率为
1
，也即此时直线
OP
的方程为
y=x
，
x=y=4
y=x
由
ì
解得，则
OP=42,AP=
í
î
x
+
y
-
8=0
(
42
)
2
-4
2
=4
，
以
P
(
4,4
)
为圆心，半径为
4
的圆的方程为
(
x-4
)
2
+
(
y-4
)
2
=4
2
，
即
x
2
+y
2
-8x-8y+16=0
，与
x
2
+y
2
-16=0
两式相减并化简得：
x+y=4
.
故选：
A
6
．
B
【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为
函数最值问题求解即可
.
答案第41页，共22页
【详解】
连接
MF
2
N
1
QMF
1
，中点为，
MF
2
=ON
2
ON+NF
1
=
111
NF
1
+NF
2
=´2a=a=2
，
Qe=
3
222
2
2
c=3
，即椭圆方程为
x
+y
2
=1
4
设
P(x，y)
，则
x
2
=4-4y
2
，
-1£y£1
，连接
QB
,
QP
由题意知
Q(0，4)
，
QB^QP
，且
QB=1
BP=PQ-1=-3y
2
-8y+19
，由二次函数性质得，当
2
y=
-
1
时
BP
取得最大值，此时
BP=26
故选：
B
7
．
B
【分析】先求出点
O
关于线段
2x+y=2
的对称点
C
22
的坐标，且有
x+y=PO=PC
，
根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解
.
【详解】如图，过点
O
作点
O
关于线段
2x+y=2
的对称点
C
，则
PO=PC
.
答案第51页，共22页
C
(
x
0
,y
0
)
设
8
ì
y
0
æ
84
ö
ì
´-
2
=-
1
C
x
=
()
ç
,
÷
0
ï
ï
ï
55
ø
5
ï
x
0
.
，则有
í
，解得
í
，所以
è
4
ï
y
=
ï
2
´
x
0
+
y
0
=
2
0
ï
5
ï
î
î
22
22
22
设
P
(
x,y
)
，则
PO=x+y
，所以
x+y=PO=PC
，
又
x,y
ÎR
+
，所以点
P
到
y
轴的距离为
x
，
y
22
2x+y=2
84
ö
Px,y
()
x+x+y
所以可视为线段上的点到轴的距离与到
C
æ
ç
,
÷
的距离之
è
55
ø
和
.
过
P
作
PD^x
轴，过点
C
作
CH^x
轴，
显然有
PD+PC³CD³CH
，则
CH
为所求最小值，此时
CH
与线段
AB
的交点
P
，即
1
为最小值时
P
的位置
.
22
8
8
，所以
x+x+y
的最小值为
.
5
5
易得
CH=
故选：
B
．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点
P
(
x,y
)
到
y
轴的距离与到
答案第61页，共22页
æ
84
ö
C
ç
,
÷
的距离之和，从而结合图形即可得解
.
è
55
ø
8
．
A
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和
焦距作答
.
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的
平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球
O
1
，球
O
2
的截面大圆，如图，
点
A,B
分别为圆
O
1
,O
2
与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段
MN
是椭圆长轴，
椭圆长轴长
2a=MN=MF+FN=MF+ME=MB+MA=AB
，
过
O
2
作
O
2
D^O
1
A
于
D
，连
O
2
B
，显然四边形
ABO
2
D
为矩形，
又
|O
2
B|=1,|O
1
A|=4,|O
1
O
2
|=6
，
2222
则
2a=|AB|=|O
2
D|=|O
1
O
2
|-|O
1
D|=6-3=33
，
过
O
2
作
O
2
C^O
1
E
交
O
1
E
延长线于
C
，显然四边形
CEFO
2
为矩形，
2222
椭圆焦距
2c=|EF|=|O
2
C|=|O
1
O
2
|-|O
1
C|=6-5=11
，
所以椭圆的离心率
e
=
2c
=
11
=
33
．
2a
33
9
答案第71页，共22页
故选：
A.
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是
解决问题的关键
.
22
9
．
(
x+1
)
+
(
y+1
)
=5
uuuruuuur
【分析】求出动直线过定点
M
(
1,-2
)
，再由
QP×QM=0
得出点
Q
在以
P,M
为直径的圆上
运动，进而得出点
Q
的轨迹方程
.
【详解】将动直线
(
a+2b
)
x-
(
a+b
)
y-3a-4b=0
整理为
a
(
x-y-3
)
+b
(
2x-y-4
)
=0
，
x
-
y
-
3
=
0
ì
x
=
1
，所以动直线过定点
M
(
1,-2
)
.
联立
ì
，可得
í
í
î
y
=-
2
î
2x
-
y
-
4
=
0
uuuruuuur
又
QP×QM=0
，所以点
Q
在以
P,M
为直径的圆上运动，
uuuruuuur
设
Q
(
x,y
)
，则
QP=
(
-3-x,-y
)
,QM=
(
1-x,-2-y
)
，
uuuruuuur
QP×QM=
(
-3-x
)(
1-x
)
+y
(
2+y
)
=x
2
+y
2
+2x+2y-3=0
，
即
(
x+1
)
2
+
(
y+1
)
2
=5
.
故答案为：
(
x+1
)
2
+
(
y+1
)
2
=5
答案第81页，共22页
10
．
32
4
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，
利用圆心到直线的距离等于半径即可得到
c=3b
，即可求出离心率
.
【详解】圆
x
2
+y
2
-6x+8=0
即
(
x-3
)
2
+y
2
=1
，圆心为
(
3,0
)
，半径
r=1
，
b
x
2
y
2
双曲线
2
-
2
=
1(a
>
0,b
>
0)
的渐近线方程为
y
=±
x
，
ab
a
依题意
d
=
3b
a
2
+
b
2
=
1
，即
c=3b
，又
c
2
=a
2
+b
2
，所以
a=22b
，
所以离心率
e
=
c
=
3b
=
32
.
a
22b
4
故答案为：
32
4
11
．
x-1
2
+y-2
2
=1
或
x-6
2
+y-7
2
=36
()()
()()
【分析】由已知可设圆心为
C
(
a,a+1
)
，半径
r=a
，再根据直线与圆相切，可得解
.
【详解】由已知圆
C
的圆心在直线
x-y+1=0
上，
则设
C
(
a,a+1
)
，
又圆与
y
轴相切，
所以半径
r=a
，
圆的方程为
x-a
2
+y-a-1
2
=a
2
()()
因为圆
C
与直线
3x+4y-16=0
相切，
答案第91页，共22页
更多推荐
椭圆,直线,截面,分析,圆锥,方程,结合,利用
发布评论