安徽省安庆一中、安师大附中2024届高三3月模拟检测试题数学试题

2024年4月15日发(作者：全国卷l数学试卷2021)

安徽省安庆一中、安师大附中2024届高三3月模拟检测试题数学试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x

2

y

2

1．已知

F

1

，

F

2

是椭圆

C：

2



2

1(ab0)

的左、右焦点，过

F

2

的直线交椭圆于

P,Q

两点

.

若

ab

|QF

2

|,|PF

2

|,|PF

1

|,|QF

1

|

依次构成等差数列，且

|PQ|PF

1

，则椭圆

C

的离心率为

A

．

2

3

B

．

3

4

C

．

15

5

D

．

105

15

2．已知复数

za

2

i2ai

是正实数，则实数

a

的值为

( )

A

．

0

B

．

1

C

．

1

D

．

1

3．执行下面的程序框图，如果输入

m1995

，

n228

，则计算机输出的数是（

）

A

．

58

B

．

57

C

．

56

D

．

55

4．函数

f(x)2sin(



x



)

(



0,0







)

的部分图像如图所示，若

AB5

，点

A

的坐标为

(1,2)

，若将函数

f(x)

向右平移

m(m0)

个单位后函数图像关于

y

轴对称，则

m

的最小值为（

）

A

．

1

2

B

．

1

C

．



3

D

．



2

5．已知三棱锥

ABCD

的所有顶点都在球

O

的球面上，

AD

平面

ABC,

面积为

20



，则三棱锥

ABCD

的体积的最大值为（

）

A

．

BAC120



，

AD2

，若球

O

的表

3

3

B

．

23

3

x

1

2

C

．

3

D

．

23

6．已知函数

f



x



lnx1

，

g



x



2e

A

．

ln2

1

2

，若

f



m



g



n



成立，则

mn

的最小值是（

）

C

．

ln2

B

．

e2

1

2

D

．

e

1

2

7．若向量

a(1,5),b(2,1)

，则

a(a2b)

（

）

A

．

30 B

．

31 C

．

32 D

．

33

8．阿基米德（公元前

287

年

—

公元前

212

年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称

为世界三大数学家

.

据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是

“

圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并

且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二

”.

他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一

个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为

54



的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为

（

）

A

．

4



2

B

．

16



C

．

36



D

．

64



3

9．己知抛物线

C:y2px(p0)

的焦点为

F

，准线为

l

，点

M,N

分别在抛物线

C

上，且

MF3NF0

，直线

MN

交

l

于点

P

，

NN



l

，垂足为

N



，若

MN



P

的面积为

243

，则

F

到

l

的距离为（

）

A

．

12

B

．

10

C

．

8 D

．

6

10．如图，平面四边形

ACBD

中，

ABBC

，

ABDA

，

ABAD1

，

BC2

，现将

△ABD

沿

AB

翻折，

使点

D

移动至点

P

，且

PAAC

，则三棱锥

PABC

的外接球的表面积为（

）

A

．

8



B

．

6



C

．

4



D

．

82



3

11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为



0,



的是（

）

A

．

ylg



x1



12．双曲线

A

．

C

．

3

B

．

yx

2

1

C

．

y2

x

D

．

ylnx

的渐近线与圆

(

x

－

3)

2

＋

y

2

＝

r

2

(

r

＞

0)

相切，则

r

等于

(

)

B

．

2

D

．

6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量

a



m,2



，

b



1,3



，且

bab

，则向量

a

与

b

的夹角的大小为

________

．

14．如图，在平行四边形

ABCD

中，

AB2

，

AD1

,

则

ACBD

的值为

_____.



15．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为

9



和

15



，则该圆锥的体积为

________

16．已知关于

x

的方程

a|sinx|

1

sinx

在区间

[0,2



]

上恰有两个解，则实数

a

的取值范围是

________

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图所示，在四棱锥

PABCD

中，底面

ABCD

是边长为

2

的正方形，侧面

PAD

为正三角形，且面

PAD

面

ABCD

，

E,F

分别为棱

AB,PC

的中点

.

（

1

）求证：

EF//

平面

PAD

；

（

2

）（文科）求三棱锥

BEFC

的体积；

（理科）求二面角

PECD

的正切值

.



xn

x1m





18．（12分）在直角坐标系

xOy

中，直线

l

1

的参数方程为



为参数

)

，直线

l

2

的参数方程



n

(

为参

yk(m1)

y2





k



数

)

，若直线

l

1

,l

2

的交点为

P

，当

k

变化时，点

P

的轨迹是曲线

C

（

1

）求曲线

C

的普通方程；

（

2

）以坐标原点为极点，

x

轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线

l

3

的极坐标方程为

4













(



0)

，

tan







0







，点

Q

为射线

l

3

与曲线

C

的交点，求点

Q

的极径

.

3



2



19．（12分）已知

a,b

都是大于零的实数．

a

2

b

2

（

1

）证明



ba

ab

；

a1

4

．

b

3

a(ab)

（

2

）若

ab

，证明

a

2

20．（12分）已知等差数列



a

n



满足

a

1

1

，公差

d0

，等比数列



b

n



满足

b

1

a

1

，

b

2

a

2

，

b

3

a

5

．



1



求数列



a

n



，



b

n



的通项公式；



2



若数列



c

n



满足

b

1



b

2



b

3



b

n

123n

cc

cc

a

n1

，求



c

n



的前

n

项和

S

n

．

21．（12分）

已知函数

f



x



axlnxb(a,b

为实数

)

的图像在点

1,f



1



处的切线方程为

yx1

.



（

1

）求实数

a,b

的值及函数

f



x



的单调区间；

（

2

）设函数

g



x





f



x



1

x

，证明

g



x

1



g



x

2



(x

1

x

2

)

时，

x

1

x

2

2

.

2

a

.

22．（10分）

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

ABC

的面积为

4sinA

（

1

）求

sinBsinC

；

（

2

）若

10cosBcosC1

，

a2

，求

ABC

的周长

.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

D

【解题分析】

如图所示，设

|QF

2

|,|PF

2

|,|PF

1

|,|QF

1

|

依次构成等差数列

{a

n

}

，其公差为

d

.

根据椭圆定义得

a

1

a

2

a

3

a

4

4a

，又

a

1

a

2

a

3

，则





a

1

(a

1

d)(a

1

2d)(a

1

3d)4a

2

，解得

da

，

5



a

1

(a

1

d)a

1

2d

24688646

a

1

a,a

2

a,a

3

a,a

4

a

.

所以

|QF

1

|a

，

|PF

1

|a

，

|PF

2

|a

，

|PQ|a

.

55555555

46668

(a)

2

(a)

2

(2c)

2

(a)

2

(a)

2

(a)

2

5555



5

在

△PF

1

F

2

和

PFQ

中，由余弦定理得

cosF

1

PF

2



，整理解得

1

4666

2aa2aa

5555

e

c105

.

故选

D

．



a15

2．

C

【解题分析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案

.

【题目详解】

22

因为

zai2ai2a(a1)i

为正实数，

所以

2a0

且

a

2

10

，解得

a1

.

故选：

C

【题目点拨】

本题考查复数的基本定义，属基础题

.

3．

B

【解题分析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可

.

【题目详解】

本程序框图的功能是计算

m

，

n

中的最大公约数，所以

19952288171

，

228171157

，

1713570

，故当输入

m1995

，

n228

，则计算机输出的数

是

57.

故选：

B.

【题目点拨】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题

.

4．

B

【解题分析】

根据图象以及题中所给的条件，求出

A,



和



，即可求得

f



x



的解析式，再通过平移变换函数图象关于

y

轴对称，

求得

m

的最小值

.

【题目详解】

由于

AB5

，函数最高点与最低点的高度差为

4

，

所以函数

f



x



的半个周期

T

2



3

，所以

T6





，

2



3

又

A



1,2



，

0







，则有

2sin



1







5











2

，可得





，

3

6



所以

f



x



2sin



5







x

6



3











2sinx2cos



x1



，



32



3



3

将函数

f



x



向右平移

m

个单位后函数图像关于

y

轴对称，即平移后为偶函数，

所以

m

的最小值为

1

，

故选：

B.

【题目点拨】

该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的

变换关系，属于简单题目

.

5．

B

【解题分析】

由题意画出图形，设球

0

得半径为

R

，

AB

=

x

,

AC

=

y

,

由球

0

的表面积为

20π

，可得

R

2

=5

，再求出三角形

A BC

外接圆的

半径

,

利用余弦定理及基本不等式求

xy

的最大值，代入棱锥体积公式得答案

.

【题目详解】

设球

O

的半径为

R

，

ABx

，

ACy

，

由

4



R

2

20



，得

R

2

5

．

如图：

设三角形

ABC

的外心为

G

，连接

OG

，

GA

，

OA

，

可得

OG

1

AD1

，则

AGR

2

12

．

2

BC

2AG4

，

sin120

在

ABC

中，由正弦定理可得：

即

BC23

，

1

22222

由余弦定理可得，

BC12xy2xy()xyxy3xy

，

2

xy4

．

1123

则三棱锥

ABCD

的体积的最大值为

4sin1202

．

323

故选：

B

．

【题目点拨】

本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运

算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．

6．

A

【解题分析】

分析：设

f(m)g(n)t

，则

t0

，把

m,n

用

t

表示，然后令

h(t)mn

，由导数求得

h(t)

的最小值．

t11

lntln2

，

222

11

t1t1

∴

mnelntln2

，令

h(t)elntln2

，

22

11

t1t1

则

h\'(t)e

，

h\"(t)e

2

0

，∴

h\'(t)

是

(0,)

上的增函数，

tt

详解：设

f(m)g(n)t

，则

t0

，

me

t1

，

nln

又

h\'(1)0

，∴当

t(0,1)

时，

h\'(t)0

，当

t(1,)

时，

h\'(t)0

，

即

h(t)

在

(0,1)

上单调递减，在

(1,)

上单调递增，

h(1)

是极小值也是最小值，

h(1)

1

1

ln2

，∴

mn

的最小值是

ln2

．

2

2

故选

A

．

点睛：本题易错选

B

，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求

ba

的最小值问题，通过构造新函数，

转化为求函数

h(t)

的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．

7．

C

【解题分析】

先求出

a2b

,

再与

a

相乘即可求出答案

.

【题目详解】

因为

a2b(1,5)(4,2)(3,7)

,

所以

a(a2b)35732

.

故选

:C.

【题目点拨】

本题考查了平面向量的坐标运算

,

考查了学生的计算能力

,

属于基础题

.

8．

C

【解题分析】

设球的半径为

R

，根据组合体的关系，圆柱的表面积为

S

2

R

2

2

R

2

R

54



，解得球的半径

R3

，再

代入球的体积公式求解

.

【题目详解】

设球的半径为

R

，

根据题意圆柱的表面积为

S

2

R

2

2

R

2

R

54



，

解得

R3

，

所以该球的体积为

V



故选：

C

【题目点拨】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题

.

9．

D

【解题分析】

作

MM



l

，垂足为

M



，过点

N

作

NGMM



，垂足为

G

，设

NFm(m0)

，则

MF3m

，结合图形可

得

MG2m

，

|MN|4m

，从而可求出

NMG60

，进而可求得

MP6m

，

N



P3m

，由

MN



P

的面

积

S

△MN



P



44

R

3





3

3

36



.

33

1

MM



N



P

243

即可求出

m

，再结合

F

为线段

MP

的中点，即可求出

F

到

l

的距离．

2

【题目详解】

如图所示，

作

MM



l

，垂足为

M



，设

NFm(m0)

，由

MF3NF0

，得

MF3m

，则

MM



3m

，

NN



m

.

Gm

，

MG2m

，

过点

N

作

NGMM



，垂足为

G

，则

M



所以在

RtMNG

中，

MG2m

，

|MN|4m

，所以

cosGMN

所以

NMG60

，在

RtPMM



中，

|MM



|3m

，所以

MP

所以

NP2m

，

N



P3m

，

所以

S

△MN



P



|MG|1



，

|MN|2

MM



6m

，

cos60

11

MM



N



P3m3m243

．解得

m4

，

22

因为

|FP||FN||NP|3m|FM|

，所以

F

为线段

MP

的中点，

所以

F

到

l

的距离为

p

故选：

D

【题目点拨】

本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．

10．

C

【解题分析】

由题意可得

PA

面

ABC

，可知

PABC

，因为

ABBC

，则

BC⊥

面

PAB

，于是

BCPB

.

由此推出三棱锥

|MM



|3m

6

．

22

PABC

外接球球心是

PC

的中点，进而算出

CP2

，外接球半径为

1

，得出结果

.

【题目详解】

解：由

DAAB

，翻折后得到

PAAB

，又

PAAC

，

则

PA

面

ABC

，可知

PABC

．

又因为

ABBC

，则

BC⊥

面

PAB

，于是

BCPB

，

因此三棱锥

PABC

外接球球心是

PC

的中点．

计算可知

CP2

，则外接球半径为

1

，从而外接球表面积为

4



．

故选：

C.

【题目点拨】

本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，

属于中档题．

11．

B

【解题分析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果

.

【题目详解】

对于

A

，

ylg



x1



图象如下图所示：

则函数

ylg



x1



在定义域上不单调，

A

错误；

对于

B

，

yx

1

2

x

的图象如下图所示：

则

yx

在定义域上单调递增，且值域为



0,



，

B

正确；

x

对于

C

，

y2

的图象如下图所示：