2024年3月15日发(作者：50分钟写完数学试卷)
第1讲：数形结合法与数学建模思想
★1 数形结合法：
是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数
量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要，它为高中、大
学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。
★2 数学建模：
是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相
似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用
数学的能力。
★★3 数形结合法在初中范围内的运用
★1、代数问题通过构造几何图形给予解决
【例1】当代数式
x1x2
取最小值时，相应的
x
的取值范围是 ；
【例2】已知
x0
，
y0
，
xy1
,且
x
＋
0
y
a
恒成立，则
a
的最小值等于
0
【例3】请计算：（1）、tan
15
= (2)、sin
18
=
【例4】如图,
C
为线段
BD
上一动点,分别过点
B
、
D
作
ABBD
，
EDBD
，连接
AC
、
EC
，已知
AB5
,
DE1
,
BD8
,设
CDx
。
(1)用含
x
的代数式表示
ACCE
的长；
(2)请问点
C
满足什么条件时,
ACCE
的值最小?
A
22
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式
x4(12x)9
的最小值.
◎ 变式议练一：
D
B
C
E
1、若
a0
，
b0
，且
ab0
，则有理数
a
，
b
，
a
，
b
的大小关系是 ；
2、在平面直角坐标系中，已知A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),当m= 时，CA+CB有最小值。
3、
若a0,b0,要使xaxbab成立的x的取值范围是_______
4、函数
yx
2
2x2x
2
4x13
的最小值是
★★2、几何问题的代数解法
【例5】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．
【例6】⊙
O
是
ABC
的内切圆，与边
AB
、
BC
、
CA
的切点分别为
D
、
E
、
F
，
AB5
,
BC6
，
CA7
,
则
AD
，
BE
，
CF
。
◎ 变式议练二：
1、
RtABC
的斜边为13，面积为30，则两直角边的和等于 。
2、已知AB是半径为1的⊙
O
的弦，AB的长是方程：
xx10
的一个根，则∠AOB的度数是 。
2
★★★3 在平面直角坐标系中的广泛运用
【例7】（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点
C(3，0)
，点
A，B
分别在
x
轴，
y
轴的正半轴上，且满足
OB
2
3OA10
．
（1）求点
A
、点
B
的坐标．
（2）若点
P
从
C
点出发，以每秒1个单位的速度沿射线
CB
运动，连结
AP
．设
△ABP
的面积为
S
，点
P
的运
动时间为
t
秒，求
S
与
t
的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点
P
，使以点
A，B，P
为顶点的三角形与
△AOB
相似？若存在，请直接写出
点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
y
B
x
CO
A
【例8】已知点A,C都在双曲线：
y
33
(x0)
上，点B,D都在x轴上，⊿AOB,
x
⊿BCD都是等边三角形，则点D 的坐标是
◎ 变式议练三：
关于x的方程：
x5xa
有且只有两个不同实根，则a的取值范围是
2
★★★★4 初中数学常见数学模型及其运用
★ 基本模型1：
等腰三角形
ABC
中，
P
为底边
BC
上任意一点，
PDAB
，
PEAC
，
CMAB
。
结论：
PDPECM
证明思路：（1）面积恒等法 （2）截长补短法
【例9】在
ABC
中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺
的直角顶点为F，一条直角边与AC在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。
（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，让后证明你的猜想；
G
F
A
C
B
M
E
A
D
B
P
C
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