2023中国女子数学奥林匹克竞赛试题解析

2023年12月30日发(作者：阳新中考数学试卷)

2023中国女子数学奥林匹克竞赛试题解析

2023年的中国女子数学奥林匹克竞赛试题备受瞩目，让我们一起来仔细解析其中的题目，看看这些问题究竟有哪些特点和解法。

题目一：三角形的内切圆

已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(a, b)，B(c, d)，C(e, f)，求证三角形的内切圆存在且唯一。

解析：

为了证明三角形ABC的内切圆存在且唯一，我们需要从几何和代数两个角度来进行证明。

首先，在几何上，我们可以根据三角形ABC的三个顶点坐标绘制出三个边长，分别为AB、BC、AC。然后，通过作垂线等方法找到三角形的内切圆的圆心O。根据内切圆的定义，三角形的三条边分别与内切圆相切，即OA、OB、OC都是相切线段。同时，由于切线与半径垂直，所以OA⊥AB，OB⊥BC，OC⊥AC。因此，根据几何性质，三条垂线OA、OB、OC三点共线，即圆心O位于三角形ABC的内切圆心构成的直角三角形HOI的垂心上。

其次，在代数上，我们可以利用三角形的面积和三角形内切圆的半径之间的关系进行证明。设三角形ABC的面积为S，半周长为p，三角形ABC的内切圆半径为r。根据三角形面积公式可知，S = √[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)]。同时，根据三角形面积和半周长之间的关系可知，

S = p * r。将这两个等式相等，得到r = √[(p-AB)(p-BC)(p-AC)/p]，即三角形的内切圆半径可以用三角形的边长表示。

综上所述，我们以几何和代数两个角度完成了对三角形内切圆存在且唯一的证明。

题目二：函数的极限

已知函数f(x) = (3x + 2) / (2x - 1)，求lim(x→∞)(f(x))。

解析：

要求函数f(x)在极限x→∞时的值，我们可以通过分子和分母的次数来判断极限的值。

首先，观察函数f(x)的分子和分母，分别为3x + 2和2x - 1。其中，分子的次数为x，分母的次数也为x，因此可以得出结论：当x→∞时，分子和分母的增长速度相当。

接下来，我们可以利用洛必达法则来求解该极限。根据洛必达法则，对于形如f(x)/g(x)的函数，若lim(x→∞)f(x)/g(x)等于∞/∞、0/0、±∞/±∞、∞*(-∞)等形式，可以对f(x)和g(x)同时求导，并再次求极限，直到极限存在或无穷。

所以，对于这道题目，我们对函数f(x) = (3x + 2) / (2x - 1)进行求导。f\'(x) = (2(3x + 2) - (3x + 2) * 2) / ((2x - 1)^2)。化简得f\'(x) = -4 / ((2x -

1)^2)。

接下来，我们再次求解极限lim(x→∞)(f\'(x))。由于此时分子和分母次数相同，所以可以直接求极限。lim(x→∞)(f\'(x)) = lim(x→∞)(-4 / ((2x

- 1)^2)) = 0。

因此，根据洛必达法则，我们得知lim(x → ∞)(f(x)) = lim(x →

∞)(f\'(x)) = 0。

综上所述，函数f(x)在极限x→∞时的值为0。

通过以上两道题目的解析，我们可以看到，在数学竞赛中的题目往往需要我们综合运用多种方法和角度来进行解答。只有深入理解题目要求，灵活运用数学方法，我们才能在竞赛中取得优异的成绩。希望这些解析能够给大家在数学竞赛中的学习和应试提供一定的帮助。