2024年4月17日发(作者：怎么组数学试卷题)
第二十八章 锐角三角函数
测试1 锐角三角函数定义
学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的
三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM
于C′点，则△B\'AC′∽______，从而
B
C
AB
()
，又可得
BC()AC
①
B
C
______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______
AB
的比是一个______值；
②
AC
______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______
AB
的比也是一个______；
③
B
C
______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______
AC
的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
第2题图
①
sinA
②
cosA
③
tanA
(
斜边
(
斜边
)
)
＝______，
＝______，
sinB
cosB
(
斜边
(
)
)
＝______；
()
＝______，
A的邻边
＝______；
斜边
B的对边
tanB
＝______．
()
3．因为对于锐角
的每一个确定的值，sin
、cos
、tan
分别都有____________与它
______，所以sin
、cos
、tan
都是____________．又称为
的____________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
1
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．
9．已知Rt△ABC中，
C90,tanA
3
4
,BC12,
求AC、AB和cosB．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
sinAOC
3
4
求：AB及OC的长．
2
12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
sinAOC
3
5
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．
13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
sinA
1
3
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．
14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：
3
(1)
sinA
a
,
c
∴
acsinA,c
______；
(2)
cosA
b
,
c
∴b＝______，c＝______；
(3)
tanA
a
,
b
∴a＝______，b＝______；
3
,
∴
cosB
______，
tanB
______；
2
3
(5)
cosB,
∴
sinB
______，
tanA
______；
5
(6)∵
tanB
3，∴
sinB
______，
sinA
______．
16．已知：如图，在直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，A点的坐
标为(1，0)，以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，
作CA⊥x轴交OM于C点．设∠XOM＝
．
求：P点和C点的坐标．(用
的三角函数表示)
(4)
sinB
17．已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，P为AB边上一点，PD⊥BC于D．
(1)当BP∶PA＝2∶1时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1；
(2)当BP∶PA＝1∶2时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1．
测试2 锐角三角函数
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求
4
一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．填表．
锐角
30° 45° 60°
sin
cos
tan
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)
2sin302cos45
o
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)
cos
2
45
1
1
cos
2
sin30tan30
30sin
2
45
3．求适合下列条件的锐角
．
(1)
cos
1
2
(2)
tan
3
3
(3)
sin2
2
2
(4)
6cos(
16
)33
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．
5．用计算器求锐角
(精确到1″)．
5
(1)若cos
＝0.6536，则
＝______；
(2)若tan(2
＋10°31′7″)＝1.7515，则
＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
sinA
求此菱形的周长．
12
13
7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ACB的值．
8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
ACBC3
，作∠DAC＝30°，AD交
CB于D点，求：
6
(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
10．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，
tanB
cos∠CAD、tan∠CAD．
1
，求：sin∠CAD、
3
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是
证：
上的两点，∠AOD＞∠AOC，求
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
7
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：
(1)sin
2
A＋cos
2
A＝1；
(2)
tanA
14．化简：
12sin
cos
(其中0°＜
＜90°)
15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°；
③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°；
⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°．
猜想：若0°＜
≤45°，则sin2
______2sin
cos
．
(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2
．请根据图中的提示，利用面
积方法验证你的结论．
sinA
cosA
8
16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在
底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S
△
ABC
·S
△
HBC
的值是否随着变化?请说明你的理由．
测试3 解直角三角形(一)
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
sinAcosB
______；
cosAsinB
_______；
tanA
1
_____；
1
tanB
tanA
tanB
______．
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
9
CD
2
＝_________；AC
2
＝_________；
BC
2
＝_________；AC·BC＝_________．
⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．
若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．
⑥直角三角形的面积公式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
S
△
ABC
＝_________．(答案不唯一)
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道
_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直
角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知
一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)
3．填写下表：
已知条件
一条边和 斜边c和锐角∠A
两条直角边a和b
直角边a和斜边c
解法
∠B＝______，a＝______，b＝______
c＝______，由______求∠A，∠B＝______
b＝______，由______求∠A，∠B＝______
一个锐角 直角边a和锐角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______
两条边
二、解答题
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，
c352
，求∠A、∠B，b；
(2)已知：
a23
，
b2
，求∠A、∠B，c；
(3)已知：
sinA
(4)已知：
tanB
2
，
c6
，求a、b；
3
3
,b9,
求a、c；
2
10
(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积
S123,
求a、b、c及∠B．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2
，OC⊥AB于C点．
(1)求弦AB的长及弦心距；
(2)求⊙O的内接正n边形的边长a
n
及边心距r
n
．
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼
梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝
BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到
0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，
为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡
的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．
11
拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天
太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那
么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能
落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?
9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m
到C地，此时王英同学离A地多少距离?
10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少
米?(保留整数)
测试4 解直角三角形(二)
学习要求
能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
课堂学习检测
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
12
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD
的长．
3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的
长．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点
D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳
AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
13
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