高考数学中数列问题归类解析

2024年4月7日发(作者：湖北高考数学试卷推荐书)

高考数学中数列问题归类解析

数列是高中数学的主要内容之一，它在每年的高考数学试题中占

有相当大的比例。一般安排2～3道题目（1～2道选择或填空小题，

1道解答型大题），分值20分左右，约占总分的13%。选择或填空

题的难度控制在中等，学生答题时一般较容易；而在试题的后半部

分安排的1道解答型大题，多为中等偏上乃至较难的题目，它们是

高考数学中的热点与难点。为了复习时突破这一难点，结合新课标

教材及近几年高考试题的命题趋向，针对数列在高考数学中的几个

热点问题作如下归类与解析。

1.求通项公式问题

1.1 已知数列的前n项和表达式，求数列的通项公式。

（例2009年安徽卷）已知数列{an}的前n项和sn=2n2+2n，

求这个数列的通项公式。

方法解析：由sn=2n2+2n得，

当n≥2时，有sn-1=2(n-1)2+2(n-1)

∴an=sn-sn-1=(2n2+2n)-［2(n-1)2+2(n-1)］

=4n,n∈n*。

说明：解答这类问题的关键，是充分利用前n项和表达式这一条

件，再根据an=sn-sn-1这一相等关系即可解决。

1.2 给出已知数列的递推公式，求数列的通项公式。

如果一个数列的任一项an与它的前一项an-1（或前

几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就称这个数

列的递推公式。利用数列的递推公式求数列的通项，是历年高考数

学的一个热点。解决这类问题的主要方法有累加法、累乘法、分离

常数化归为等差数列和分项整理化归为等比数列等。

例1:已知数列{an}满足a1=2，aa+1=an+2n，

求这个数列的通项公式。

方法解析：由an+1=an+2n得，

an+1-an=2n，据此可写出如下等式：

a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23„„a

n-an-1=2n-1

将上述等式两边分别相加得，

an-a1=2+22+23+„„2n-1=2（1-2n-1

）1-2=2n-2

∴an=a1+2n-2=2n。

说明：此题的解法就是利用了累加法，通过累加，使等式中的一

些项抵消，巧妙地得出通项公式。

例2:已知数列{an}是首项为1的正项数列，且an+1

=nn+1an，求这个数列的通项公式。

方法解析：由an+1=nn+1an得，

an+1an=nn+1，据此可写出如下等式：

a2a1=12，a3a2，a4a3=34„„anan-1

=n-1n

将上述等式两边分别相乘得，