高中数学必修一二三四五知识点

2024年4月8日发(作者：超级简单的数学试卷)

高中数学必修 1 知识点

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；

2.元素的互异性；

3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排

列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ ⋯ } 如{ 我校的篮球队员}，{ 太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋}

1．用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示, 如：a 是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相

反，a 不属于集合A 记作 a A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对

象是否属于这个集合的方法：①语言描述法：例：{ 不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：

例：不等式 x-3>2的解集是 {x R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合2．无

限集 含有无限个元素的集合

2

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：A

B 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合 B不包含集合 A,记作A B或B A

2

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元

素，

我们就说集合A等于集合 B，即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。A A

②真子集: 如果A B,且A B 那就说集合A是集合B的真子集，记作A

③如果A B,B C,那么A C

④ 如果A B 同时 B A那么A=B

B(或B A)

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1、交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合, 叫做A,B的交集．记作 A∩B(读作＂A交B＂)，即

A∩B=

{x|x ∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，

即A∪B={x|x∈A，或 x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即

A

元素组成的

S

），由S中所有不属于

A的

S

即 C

S

A ={x

x

集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作： C

S

A

S且 x A}

C

s

A

A

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

通常用U来表示。

（3）性质：⑴C

U

(C

U

A)=A ⑵(C

U

A)∩A=Φ ⑶(C

U

A)∪A=U

四、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A中的任意一个数x，

在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函

数．记作： y=f(x) ，x∈A．其中， x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的

值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．

注意：如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数

的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充: 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义

的 x 的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.( 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域

和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：

①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。