2024年4月6日发(作者：为什么做数学试卷总来不及)

浙江省首届高等数学竞赛试题

（2002.12.7）

一． 计算题 (每小题５分，共30分)

1. 求极限

lim

1cosx

x0

(e

x

1)(1x1)

2. 求积分



D

|xy1|dxdy,

11



D

(x,y)|x2,y2

22



3. 设

yx

2

e

x

是方程

y\'\'ay\'byce

hx

的一个解，求常数

a、b、c、h

4. 设

f(x)

连续，且当

x1

时，

f(x)[

n

x

0

xe

x

，求

f(x)

f(t)dt1]

2(1x)

2

5. 设

S

n

arctan

k1

1

，求

limS

n

2

n

2k

1

1

x

x

6. 求积分

1

(1x)edx

x

2

2

二．

x

2

y

2

1

内的面积。 (15分) 求平面

x2y2z1

含在椭圆柱体

49

(20分) 证明：三．

四．

2

0

sin(x

2

)dx0

(20分) 设二元函数

f(x,y)

有一阶连续的偏导数，且

f(0,1)f(1,0)

.

证明：单位圆围上至少存在两点满足方程

y



f(x,y)xf(x,y)0

xy

a

n

五．(15分)（非数学专业做）设

a

n

，

b

n

为满足

e

a

n

e

b

n

，

n1

的两个实数列，

已知

a

n

0(n1)

，且

a

n

收敛。证明：

n1

n1

b

n

也收敛。

a

n

六．（15分）（数学专业做）设

a

1

1

，

a

2

1

，

a

n2

2a

n1

3a

n

，

n1

，

求

a

n1

n

x

n

的收敛半径，收敛域及和函数。

2003年浙江省大学生数学竞赛试题（经管类专业）

一、计算题

1、已知

xe

y

ysinx0

，求

y

(0)

2、设

G(x)

x

1

tsintdt

，求

G(x)dx

1

3

2

3、求

lim

x0

x

0

sin(xt)

2

dt

x

5

4、求

siny

dxdy

，其中D为以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形区域。



y

D

二、设

a

＞0，试讨论

na

n1

n

的敛散性，当级数收敛时，试求其和。

三、设

f

(

x

)一阶连续可导，

f(x)f

(x)0

，证明：

f

(

x

)至多有一个零点。

四、求满足下列性质的曲线C：设

P

0

(

x

0

,

y

0

)为曲线

y

=2

x

上任一点。则由曲线

x

=

x

0

,y=2

x

,

y

=

x

2

所围成区域的面积A与曲线

y

=

y

0

,

y

=2

x

和C所围成区域面积B相等。

五、证明：

|

222

2004

2003

sint

2

dt|

＜

1

。

2003

六、设

(x)

在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且

(0)0,

(1)1

。证明：存在(0,1)

内的两个数

，

，使

12

3

(

)

(

)

2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题

（经管类）

一．计算题

x

1．已知

lim

x

3

3

x

2

1axb0

，求常数

a

和

b

的值。

2．计算：

cosx

sinx(sinxcosx)

dx

。

3．计算：

1

0

x

2

xkdx

，其中

k

为常数。

(1)

n

n

4．求

的和。

(2n1)!

n1

二．设

f(x)arctan

1x

(n)

，求

f(0)

。

1x

323

三．设函数

yf(x)

由方程

x3xy2y320

确定，且

f(x)

可导，试求

f(x)

的

极值。

四．证明：当

x0

时，

(1x)ln

2

(1x)x

2

。

五．判别级数

1

(n!)

3

的敛散性。

n1

n

六．已知函数

f(x)

在[ 0, 1 ]上三阶可导，且

f(0)1

，

f(1)0

，

f

(0)0

，试证

至少存在一点

(0,1)

，使

x

2

(x1)

f(x)1xf



(

)

，

x(0,1)

。

3!

2

2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题（经管类）

一、计算题（每小题12分满分60分）

2

n

3

n

5

n

1． 计算

lim()

n

3

2． 计算

3． 计算

n

sinx

3cosx4sinx

dx

x

0

min(4,t

4

)dt

。

2

B

4． 设当

x0

时，

1xxln(1)1

与

Ax

为等价无穷小，求常数

A,B

的值。

x

2

5． 求函数

f(x)|x||x1||x3||x5|

的最小值。

二、（本题满分20分）设

f(x)

在

x0

二阶可导，且

lim

f(x)

1

，求

f(0),f

(0)

和

x0

1cosx

f



(0)

的值

三、（本题满分20分）证明：当

0x

2

时，

1

3

x

；

3

1

3

2

5

1

7

xx

。 （2）

tanxxx

31563

（1）

tanxx

四、（本题满分20分）设



(1sinx)

2

sin

2

x10(1sin

2

x)

22

A

dx,B

2

dx,C

dx

，

222



xcos

2

x

1sinx4x

222

2

试比较A

，

B

，

C的大小。

五、（本题满分15分）设

a

n

4

0

tan

n

xdx

，

（1）求

1

(a

n

a

n2

)

的值；

n1

n

a

n

收敛

(

0)

。

n

n1

（2）证明

六、（本题满分15分）对下列

f(x),

分别说明是否存在一个区间

[a,b],(a0),

使

{f(x)|x[a,b]}{x|x[a,b]}

，并说明理由。

（1）

f(x)

1

2

211

x

（2）

f(x)

（3）

f(x)1

33xx

2006年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题

（经管类）

一、计算题（每小题15分满分60分）

1． 求

limn[(1)e]

。

n

x

n

nx

1x

4

x

8

2． 计算

dx

8

x(1x)

3． 已知

lim(xx1ax)b

，求常数

a,b

的值。

x

3

3

4． 求由

y0,y

积。

x

,ylnx

围成的平面图形绕

x

轴旋转一周所得的旋转体体

e

x

3

二、（本题满分15分）设

f(x)e

，问

f(x)0

有几个实根？并说明理由。

6

x

三、（本题满分20分）求级数

(

x

n1

n3

)

中

x

20

的系数。

四、（本题满分20分）已知

f

1

(x)

连续，

f

n

(x)

x

0

f

n1

(t)dt

，求

limf

n

(x)

。

n

五、（本题满分20分）设

a

1

,a

2

,,a

n

为非负实数，试证：

|

a

k1

n

k

sinkx||sinx|

的充要条


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