2024年4月6日发(作者：数学试卷题目读不懂怎么回事)
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4 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）
一．计算题（每小题 15 分，满分 60 分）
x
e
costdt
x
x
t
2
1． 计算：
lim
0
2
。
x
0
x
tan x
x
x 1
1
2x
x
解:
原式
lim
x
0
2
e costdt
0
t
x
tan x
x
2
0
0
x
0
lim
2e cos x
2
2x
02
2x
tan x
xsec x
x
0
lim
2
2e
x
cosx 2 2x
xxtanxxtan
x0
2e cosx
0
x
0
lim
2
2x
其中
lim
x
0
x
tan x
x tan
x
33
x
x
22
x tan x
x
tan x
x tan x
x
tan x
lim
3
3
lim
3
3
x
x
x
x
x 0
x
0
x
x
0
3
2
lim
1
x 0
2
22
x tan x
lim
sec x
lim
tan x
lim
x tan x
2
x
0
3
2
3
x
0
x 0
3x
x
3x
x
2
4
3
3
原式
0
0
0
lim
2e
x
cos x
2
2x
0
3
0
0
3
e
x
cosx
e
x
sin x 1
lim
2
4
x
0
1
x
lim
e
x
cos x
e
x
sin x
e
x
sin x
e
x
cosx
2
x 0
3x
x
2
x
0
2x
1
lim
2e
sin x
0
4
x
x
1
.
2
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①
lim
x 0
tan xsin x
3
在课堂上作为一个典型的例子 ;
x
②
tan x x
O( x
3
)
2． 计算：
cos x
x
2
dx
。
0
x
2004
解: 原式
cosx
2
2
dx
2004
0
x
2
2
4
sin x
2
dx
2
t
2
4
2004
2
2
2
dx
2004
2
sin x
2
dx
t
2
4
1
2
2
t
2
4
2
2004
2
2
2004
d
t
2004
2
4
t
2004
2
4
1
4
2
1
t
2
2
arctan
2004
4
2004
4
2
1
arctan
2
2
.
2004
原式
4
2
2004
4
dx
其他想法 :
cosx
2
cosx
2
x
2
dx
0
x
x 2004
x 2004
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后者
2
cosx
x 2004
sin t
2
2
xt
0
2
cos(
t)
2
dx
2
x
(t
2
)
2
(t
dt
) 2004
2
2
0
t
2
dt
,
看来做不下去了
!!!
2004
4
3． 求函数
f x, y
x
2
4 y
2
15 y
在
2
4x
x, y
y
2
1
上的最大、小值。
解: ①在圆内 (开集 )
f
x
x, y
2x
,
f
y
x, y
8y
15
,
解得驻点
(0,
15
)
,
但
8
不在圆域内 .
②在圆周上
4x
2
值, 是条件极值问题 .
y
2
1
, 求
f
x, y
x
2
4 y
2
15y
的极
F
x, y
F
x
x, y
F
y
x, y
F
x, y
x
2
4y
2
2x 8
x
15y
0
(4 x
2
y
2
1)
8 y 15 2 y
4x
2
0
0
y
2
1
解得 :
驻点
(0,1),(0,
1)
f (0,1)
19
,
f (0,
1)
故最大值为
f (0,1)
4． 计算：
11
19
,
最小值为
f (0, 1)
，其中
11
.
max xy, x
3
d
D
D
x, y
1
x 1,0
y
1
。
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y
max
xy, x
3
d
y x
2
D
xyd
x
3
d
x
3
d
xyd
D
1
D
2
D
3
D
4
D
D
1
1
3
D
2
6
D
4
o
这题不能用对称、奇偶性等性质来做！
二．（本题满分
x
20 分） 设
f x arc tan
1
，求
f
n
0
.
1
x
解:
f (x)
1
, 则
(1 x
2
) f (x)
1
,
1
x
2
则两边对
x
求
(n
1)
阶导数
,由莱布尼茨公式得
:
(1 x
2
) f
( n)
( x)
2( n
1)xf
( n 1)
( x) n( n
1) f
(n
2)
( x)
0
,
令
x
0
,得:
f
(n )
(0)
n(n
1) f
( n
2)
(0)
,而
f
(0)
1, f (0)
0
,
(n )
0,
当n为偶数 ;
则
f (0)
n
1
.
(
1)
2
n!,
当 n为奇数 ;
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x
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三．（本题满分 20 分） 设椭圆
x
2
4
y
2
9
1
在
A 1,
3 3
点的切线交
y
2
轴于
B
点，设
l
为从
A
到
B
的直线段，试计算
sin y
l
x
1
3y dx
cos y ln x
1
2
3x
解: 方程
x
2
3 dy
。
y
4
y
2
9
1
两边对
x
求导得
:
B
l
C
x 2 y
2
9
1
y 0
,
A 1,
3 3
2
则
y
x
3
,
2
O
1
直线段
l
的方程为
:
y
3
x
2
,
2 3,0
x
x
令
P( x, y)
sin y
x
1
3y
Q( x, y)
cos y ln
x 1
则
2
3x
cos y
x
1
2
3
,
3
P
y
s i ny
cos y
x
1
3
,
Q
x
l
3y d x c o s y l n x 1
2 x3
3d y
x 1
3
3d
D
BC
CA
3
3 3
d
D
3
2
3
dy
1
0
sin
3
2
3
1
2
3
x
3
3
2
3 dx
9
4
3
ln 2 sin
2
3 3
2
9
2
21
ln 2 sin
4
3 3
.
2
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四．（本题满分
20 分） 设函数
f
连续，
a
b
，且
b
a
f
x
dx 0
，
试证明：
f
b
x
0
，
x
a, b
。
n
证明 :
①
f
x
dx
lim
a
f (
i
) x
i
0
i
1
n
由于
a
b
,
故
x
i
0
,
无论
a, b
怎么分、
i
n
x
i
1
, x
i
怎么取，
lim
0
i
1
f (
i
)
x
i
存在且相等，
即
lim
0
i 1
f (
i
)x
i
0
，
由于
f
连续，故
f
②假设存在
x
0
则
x
0
，
x
a,b
；（理由说的不够充分）
a,b
，使得
f
, x
0
0
x
0
0
，不妨设
f
x
0
0
，
0
，
0, x [ x
0
], 都有 f
x
由于函数
f
连续，故在
[ x
, x
0
]
内存在最大、最小值分别
为
M
0
, m
0
，显然
M
0
0,m
0
而
b
a
0
，
x dx 2
f x dx
x
0
x
0
f
m
0
0
与
b
a
f x dx 0
矛盾，
故假设错误，即
f x
0
，
x
a,b
。
五．（本题满分
15 分） 判别级数
1
n!
2
的敛散性。
n 1
n
解：斯特林公式：
n!
2n
n
e
1
n
e
12n
,0
1
极限形式：
lim
n!e
n
n
1
2
n
1
.
n
1
n 1
2
n
1
n 1
n
2
2
n!
n
2n
n
e
e
12n
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1
n 1
1
n
1
1
n
n!
2
n 1
2n
n
2n
e
6n
n 1
n
e
6n n
2n
2
22
22
n e
n 1
e
收敛 .
故
1
n 1
n
n!
2
判别
n 1
1
的敛散性 :
n
n!
0
证明 :
lim
1
n
n
n!
(1) 证明
n
n!
n
,
即
n
3 3
n
n!
1) 当
n 1
,
显然成立
;
n
2)
假设
n
时也成立 ,即
n
3
n 1
n!
;
n 1
n 1
n
3)
当
n
1
时,
n 1
n
3
n
n 1
n!
n
n
1
3
n
1 n
n 3
n
1
n
n
3
n
3
3
(n1)!
n 1
n
n 1
(n 1)!
n
3(n 1)
1
n
1
n
n
而
n
1
n
是单调递增数列 , 而且有界 ( 证明两个重要极限里第
2 个).
(n
1)!
1
n
n!
n
3
, 而
lim
3
n
n
n
0
,
由夹逼定理得
:
lim
n
1
0
.
n
n!
n 1
n
1
n!
2
9
而
9
收敛 ,
由比较判别法得 :
2
,
2
n
n 1
n
1
n!
2
也收敛 .
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六．（本题满分 15 分） 设函数
f
x
在
0,1
上连续，证明：
1
f
x
2
2
1
2
0
1
2
dx
f
2
x
x
2
dx
，
t 0
。
0
t
x
2
1
1
2t
t
证明 :
1
fx
2
f
2
x
0
2
1
arctan
tx
1
1
f
2
dx
0
t
2
x
2
dx
0
t
2
x
2
dx
2
x
x
2
dx
2
f
x
1
2
dx
.
2
t
t
0
t2t
0
t
x
许瓦兹不等式 :
n
2
n
n
①有限项情况 :
i 1
a
i
b
i
a
i
2
i 1
i
1
b
i
2
,
a
i
0,b
i
0,i 1,2, ,n
(乘积和的平方小于等于平方和的乘积
)
2
②可推广到可数情况 :
a
i
b
i
i 1
2
a
i
i
1
2
b
i
;
i 1
2
③均值的形式 :
④积分的形式 :
E ( )
b
a
E( )E( )
;
2
f ( x)g( x)dx
b
a
f ( x)dx
b
a
g( x)dx
2005 年浙江省大学生高等数学 (微积分 )竞赛试题
一、计算题（每小题
12 分满分散
60 分）
1． 计算
|1
2x | dx
1
1
ln(1
x)
2． 设
f ( x)
x
ax
b, x
2
n
, x 0
0
n
可导，求常数
a,b
的值
3． 计算
lim
n
n
3
2
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4． 计算
sin x
dx
3cos x
4sin x
5． 求函数
f ( x)
| x | | x 1|
| x
3|
的值。
二、（本题满分
20 分）设
f (x)
在
x
0
点二阶可导，且
lim
x 0
f ( x)
1
，
求
f (0), f \'(0)
和
f \'\'(0)
的值。
20 分）证明：当
2
1
cosx
三、（本题满分
0
x
时，
tan x
2
sin
2
x
2
x
1
x
3
3
2
四、
（本题满分
20 分）设
A
2
2
(1
sin x)
2
dx, B
2
1
sin
x
2
2
dx,C
x
cos
x
10(1
sin
2
x)
dx
，
2 2
4x
2
试比较 A
，
B
，
C 的大小。
五、（本题满分
15 分）设
a
k
k
1
2
k
k
2
1 k
2
1
1
2
1
k
2
2k
, k
1,2,3, .
（1）
求
lim a
k
；
（2）
证明数列
a
k
单调减少。
六、（本题满分 15
分 ）对 下 列
f ( x),
分 别 说 明 是 否 存 在 一个 区 间
[ a, b],( a
0),
使
{ f ( x) | x [ a,b]}
（1）
f ( x)
{ x | x
[ a,b]}
，并说明理由。
（ 2）
f (x)
1
x
2
2
3
3
1
x
（ 3）
f ( x)
1
1
x
2005 年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答
一． 1.
解
1
1
2x dx
1
1
1
2x 1 d x
2
1
2
1 2x d x
1
x
2
1
x
1
x
x
2
1
2
2
1
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0
1
1
4
2
2
.
1
1
2
2
4
1
x
1
2
5
2
2. 解：
lim
x
0
f
x
lim ln
1
x
x
0
1
，
lim
f
x
x
0
lim ax
x
0
b
b
，
因为
f
x
在
x
0
处连续，所以
b
1
，
f 0
a
，
f
0
lim
x
0
f x
x
f
0
lim
ln
1
x
x
x
0
x
2
lim
x
0
1
1
x
2x
0
1
lim
x
0
1
2 1 x
1
2
，
由
f
于是
a
x
在
x
0
处可导，
f
n
n
f
0
，
1
.
2
n
3. 解：
lim
2
3
2
3
6
.
n
2
4. 解：
sin x
dx
，
3cosx
4sin x
sin x
A 4sin x
3cosx
B
4cosx
3sin x
3A
4A
3B
si nx
3B
0
4B
0
4
，
B
4B
c o
，
xs
4 A
3A
A
，
3
，
25
25
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sin x
dx
3cos x
4sin x
4
3 4cosx
3sin x
dx
25
25 4sin x
3cos x
4
x
25
3
ln 4sin x
3cosx
C
.
25
x
3
x 1
5. 解：
f
当
x
当
0
当
1
当
x
x
x
x
1
x
0
时，
f x
x 3
3x 4
；
x 1
时，
f x x
x 3
时，
f x
x
1 x x 3 x 2
；
x 1 3 x x 2
；
3
时，
f x x x 1
0
x
3 3x 4
.
f
x
1 cosx
f
x
二．解：
f
lim f
x
x
0
lim
x
0
0
1
cosx
0
；
f
0
lim
x
0
f
x
f 0
x
lim
x
1
cosx
x
0
；
1
cosx
1
lim
f
x
x 0
1
2
lim
x
0
x
f
x
1
cos x
1 cos x
1
2
，
x
2
f x
2
f 0 x
2
f 0
f 0 x
1
o x
2
2
1
f
2
0 x
2
o x
2
，
所以
f
0
1
.
f
x
三．证明：令
tan x
x
1
x
3
3
，
f
0
0
；
因为
f x
1
cos
2
x
2
x
，
f 0
1
0
；
f
x
2sin x
0
；
2x
，
f
0
cos
3
x
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f
2
1 2sin x
1
x 2
cos
4
x
1 2sin x
1
sin x
2
4
cos x
sin
2
x
4
sin
2
x
2
0
，
x
4
cos x
0
，进而
f
x
x
2
2
2
2
22
2
0,
，
2
所以
f x
即得
tan x
0
，
f
x
x
.
0
，
1
3
x
3
，
0
2
2
四．解：
A
2
sin x
1
1
sin x
2
dx
2
sin x
1
2sin x
1
sin x
dx
2
2
dx
；
0
B
2
2
x
2
sin x
2
2
dx 2
2
2
sin x
2
2
dx
，
cos
x
1
，得
B
0
x
cos
x
由于
sin
2
x
x
2
cos
x
2
2
A
，
2
sin x
10 1
2
2
10 1
2
2
0
sin
2
x
C
4x
2
dx
4x
2
2
dx
，
利用
2
sin x
1
，
x
x
2
0,
2
，
10 1
sin
x
10 1
4x
2
2
10
得
4x
于是
C
A
，
故
B
A
C
.
2 n
2
2
4x
2
2
1
，
2
五、设
x
n
1
，
n
1,2,
.
k
2
n
0
k
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（1）求
lim
n
x
n
； （ 2）证明数列
x
n
单调减少 .
解：（ 1）显然
2n
1
2
n
2n
n
n
x
n
2n
1
2
n
故有
lim x
0
.
（2）
x
n 1
2 n 1
k 0
1
n
2
k
2 n
1
1
n 1
2
2
1
，
k 0
n 1
2
k
2n 1 n 1
2
2n 2
x
n
x
2n
n 1
2n
1
1
2
1
2
k 0
n
2
k n 1k
n
4n 2 n
4n 3
2n
n
2
1
2n
1
4n 1
1
1
2n n
2
2n n
1
n
2
2n n
2
0
，
4n 1
n
2
2n
n
2
4n
1
于是数列
x
n
单调减少 .
六．解：（ 1）
f x
1
x
2
2
，在
0,
3
3
f
a a
，
f
，
上严格单调递增，
欲使
f
a, b
x
a,b
，必有
1
x
2
2
x
3 3
b b
.
考虑
f
2
x 3x 2 0
，
x
3
2
2
1
2
，
2
x
1
1
，
x
2
2
，
所以存在区间
1,2
，使
f 1,2 1,2
.
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（3）
f
x
在
0,
上严格单调减少，
欲使
f a, b
a,b
，必有
f a
a
，
b
，
f b
a
.
1
a
b
，
1
b
1
所以存在区间
a,
，
0 a 1
1
，使得
f a,
a,
.
1
a
a
（ 4）
f x
在
0,
a
上严格递增，
欲使
f a, b
a,b
，
必须
f
a
a
，
f
b
b
.
f
x
1
1
x
，
x
1
，
2
x
2
x
1
x
3
4
，此方程无实数解，
2
故不存在区间
a,b
，
a
0
，使得
f a,b a,b
.
2006 浙江省高等数学
( 微积分 ) 竞赛试题
一、
计算题（每小题
12 分，满分 60 分）
n
n
1、计算
lim n 1
x
n
e
x
.
解:
lim n 1
n
x
n
x
n
x
e
x
lim ne
n
x
1
x
n
e
n
x
x
1
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n
x
1
1
x
x
e
1
n
x
x
lim ne
x
n
n
e
1
lim ne
x
n
n
e
e
x
n
1
x
x
e
2 x 1
x e
lim
n
n
x
x
2 x 1
e
lim
t 0
1 t
t
e
t
1
n
1
t
0
0
x e lim
t 0
2 x
2x 1
t
1 t
t
1
ln(1 t)
t
2
1
x e
lim
t 0
t (1
t) ln(1 t)
2
(1
t)t
x
e
lim
2 x
t
(1
t) ln(1
t)
t
2
t
0
1
x
2
e
x
lim
t 0
0
0
1
ln(1
2t
t )
x
2
e
x
2
。
2、求
1 x
4
x
8
dx
.
x(1
x
8
)
1 x
4
x
8
解:
1 1 x
4
x
8
2
2
1 1 x
x
4
x(1 x
8
)
dx
1 1 x
2
2
2
x
2
(1
dx
2
x
8
)
dx
2
dx
x(1
x
4
)
dx
4
x
4
1 1 x x
2
2
4
x
(1
x
)
4
x(1 x
)
1
A
B
C
4 x 1 x x 1
1
4
dx
3
1
1
2
1
2
dx
4 x 1 x x 1
3
2
ln( x
1) ln x
1
ln( x
1)
C
3
8
ln( x 1)
1
4
ln x
1
8
2
ln( x
1)
C
.
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3、求
1
0
1
y
dy
e
x
2
x
1
e
y
2
dx
2
.
1
解 :
dy
0 y
e
x
2
x
e
y
dx
1
0
1
dy
e
x
2
x
x
2
dx
1
dy
1
y
e
dx
y
2
y
0
1
dx
x
e
x
2
x
dy
1
0
1
dy
0
2
2
y
dx
e
1
y
1
0
0
0
1 x
2
e
dx
0
(1
y) e
y
dy
xe
dx
e 1
2
.
4、求过
(1,2,3)
且与曲面
z x ( y
解 : 令
F ( x, y, z) x ( y z)
3
z)
3
的所有切平面皆垂直的平面方程
.
z
则
F
x
( x, y, z) 1
,
F
y
( x, y, z) 3( y z)
2
,
F
z
( x, y, z)
令所求平面方程为 :
A( x 1)
在曲面
z
则
A C
在曲面
z
3( y z)
2
1
B( y 2) C ( z 3) 0
,
x
( y
z)
3
上取一点
(1,1,1)
,
则切平面的法向量为
{1,0,
1}
,
0
x
( y
z)
3
上取一点
(0, 2,1)
,
则切平面的法向量为
{1,3,
4}
,
则
A 3B 4C 0
.
解
得:
ABC
即所求平面方程为 :
x
y z
6
.
二、 (15 分) 设
f ( x)
e
x
x
3
, 问
f ( x)
0
有几个实根
?并说明理由
.
6
解: 当
x 0
,
e
x
0
x
3
6
当
x 0
,
e
0
0
且
e
x
的增长速度要比
x
3
来得快 ! 所以
f ( x)
0
无实根
.
6
3
3
三、(满分 20
分 ) 求
x
n
n 1
中
x
20
的系数
.
3
3
解 : 当
x
1
时
,
n 1
x
n
x
1
x
1
1
x
x
3
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1
1
x
x
3
2
n 0
x
n
x
3
2
3
x
3
n(n 1)x
n
2
2
n
2
故
x
n
中
x
20
的系数为
171
.
n 1
四、 (20
分)
计算
C
xyds
,
其中
C
是球面
x
2
y
2
z
2
R
与平面
x y
2
z
0
的交线
.
解：
C
(x
y z)
2
ds
( x
2
C
y
2
z
2
)ds
2
( xy
yz
zx)ds
C
而
( x
y
z)
2
ds
0
,
C
( x
2
C
y
2
z
2
)ds
R
2
ds 2 R
3
,
C
xyds
C
yzds
C
zxds
,
C
故
xyds
C
R
3
.
3
n
n
五、 (20
分 ) 设
a
1
, a
2
,
,a
n
为非负实数
,试证:
a
k
sin kx
sin x
的充分必要条件为
k 1
ka
k
k 1
1
.
n
证明：必要性
n
由于
k 1
a
k
sin kx
n
sin x
,
则
n
a
k
sin kx
x
k 1
sin x
,
x
0
x
.
lim
a
k
sin kx
ka
k
lim
k 1
sin x
1
n
x 0 k 1
x
n
x 0
x
k
a
k
sin kx
1
充分性 ;
要证明
a
k
sin kx
k 1
sin x
,
只需证明
:
1
,
这里
sin x 0
,
sin x
若
sin x
0
,
不等式显然成立
;
n
即只需证明 :
k 1
a
sin kx
1
,
k
sin x
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而
n
sin kx
n
sin kx
n
k 1
a
k
sin x
k 1
a
k
sin x
,
k 1
ka
k
1
sin kx
sin x
k
,
即
sin kx
故只要说明 :
当
k
k sin x
,
1
时, 显然成立 ;
假设当
k
当
k
n
时
,
也成立
,
即
sin nx
sin(n
1)x
n sin x
;
n
1
时
,
sin(nx
x)
1
0
sin nx cosx
sin nx
f ( x) d x
sin x cosnx
sin nx
sin x (n 1) sin x
.
n sin x
有
六、(15
1
分 )
求 最 小 的 实 数
c
,
使 得 满 足
1
的 连 续 函 数
f ( x)
都
f ( x )dx
0
c
.
1
1
0
1
1
解 :
f ( x )dx
f ( x ) dx 2 t f (t ) dx 2
0
0
f (t ) dx 2
,
0
1
1
取
y
2x
,
显然
f ( x) dx
0
1
,
而
1
f (
x )dx
2
xdx 2
2
取
y
1
( n 1)x
n
,
显然
f ( x) dx 1
,
0
1
0
0
4
,
3
3
n
而
f ( x )dx
1
0
(n 1) x dx 2
0
故最小的实数
c
n 1
n 2
2, n
,
2
.
2007 浙江省高等数学 ( 微积分 ) 竞赛试题 ( 解答 )
一. 计算题（每小题 12
分，满分
60 分）
1、求
x
9
x
5
dx
.
1
5
du
1
5
解:
x
9
dx
x
5
x
5
1
5
dx
1
t
t 1
du
dt
x
5
1
u t
1
1
udu
5
1
5
1
u
1
u
1
5
2
3
u
2
1
1
u
2
15
u
2
5
3
C
2
( x
5
1)
2
2
( x
5
15
5
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1)
2
C
。
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1 1
2 x
2、求
lim
x
(1
x)
x
(1
2x)
0
.
sin x
解:
lim
(1 x)
x
1
(1
2 x)
2 x
1
lim
(1 x)
x
1
(1
2x)
2 x
1
x 0
0
0
x
sin x
x 0
x
1
x
1
lim
(1
x)
0
1
ln(1x)
x(x 1)
1
x
2
(1
2 x)
2 x
1
ln(12x)
2x
x(2 x
1)
2
0
0
x
lim
(1
x)
0
x
x
(x
1)ln(1
x)
1
2
(1
2x)
2x
2 x (2 x 1)ln(1
2x)
2
x
(x
1)
2
2x (2 x 1)
2
lim(1
x
1
x)
x
x
( x
1)ln(1
x)
lim(1
x
1
2x)
2x
2x
(2 x
1)ln(1 2x)
0
elim
x
x (x
1)
x ( x 1)ln(1 x)
0
2x (2 x
1)
0
x
2
elim
x
0
2x
(2x
1)ln(1
2 x)
2x
2
0
0
elim
x
ln(1
x)
0
elim
x
2ln(1
2x)
0
2x
4x
e
e
2
3、求
p
的值 , 使
e
.
2
b
a
(x
2
p)
2007
e
(x p )
dx
0
.
t x p
2
解 :
b
a
( x
p)
2007
e
( x
p )
dx
b
2007 t
dt
a p
p
te
a
2
被积函数是奇函数 ,
要积分为零 ,
当且仅当积分区间对称
, 即 :
b
2
.
a
p
b
b
0
p
,
解得 :
p
4、计算
a
dx
e
max{ b
2
x
2
,a
2
y
2
}
dy,
(a
0, b
0)
.
0
解 :
a
dx
0
b
e
max{ b
2
x
2
, a
2
y
2
}
dy
e
max{ b
2
x
2
,a
2
y
2
}
d
,
其中
D
如右图
D
22
0
D
1
max{ b x ,a y }
2222
max{ b
x ,a y }
22
e
a y
22
d
D
2
e
d
b
y
D
1
b
x
D
1
e
b
d
e
D
2
2
bx
22
a
d
a
0
a
b
x
2
2
dy
b
2
2
a
ye
a
y
dy
b
0
b
e
y
0
a
y
a
2
dx
dx
a
e
b x
dy
D
2
0
2
2
xe
b x
dx
a
b
0
a
0
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1
b
a
2
y
2
e
2 2
d ( a y
)
1
a
2ab
0
b x
e
22
d(bx)
2 2
2ab
0
1
(e
a
2
b
2
1)
.
ab
5、计算
z
( x
S
2
2
, 其中
S
为圆柱面
x
y)dS
y
2
4,
(0 z
1)
.
解:
S
( x
2
y)dS
1
( x
2
y
2
)dS
2
S
ydS
S
1
4dS
ydS
S
2
S
2
2
8
y
1
D
yz
x
y
x
dydz
z
o
y
8
D
y
1
yz
y
2
2
0
2
dydz
4
y
8
被积函数关于
y
是奇函数
,
积分区域关于
z
对称
,
1
1
2
x
二、 (20
分) 设
u
n
v
n
n
1
1
n
1
2
1
2
1
3
4
,求:(1)
1
2
5
6
v
u
10
1
3n
2
lim u
n
.
n
1
2
,
3n
1
3n
;(2)
3n
10
解: (1)
u
n
n
k 1
1
3k
2
1
3k
1
2
3k
1
1
2
2 n
k
1
2
1
3
4
3n
1
5
n
2
6
1
1
3n
2
3n
1
2
,
3n
v
n
1
n
1
k
1
k
k
k 1
k
1
1
1
1
1
1
1
1
n
2
1
1
1
1
1
2
1
23456
v
n
n
3n 2 3n 1 3n
3n
n
u
n
1
1
1
k
n
1
k
k 1
3k 2 3k 1 3k
k 1 k 1
n
k 1
2
3k
1
n
k
1
1
3k
k
0
u
n
v
v
1
;
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(2)
lim u
n
n
lim v
n
n
lim
n
1
n 1
1
n 2
1
3n
1
lim
1
n
1
1
n
1
1
2
1
1
k
1
1
2n
( 图来说明积分上下 )
n
1
n
k
n
n
lim
n
1
2 n
n
k
1
1
n
dx
ln 3
.
0
1 x
2
1
三、( 满分 20 分) 有一张边长为
4
的正方形纸 ( 如图 ),
C
、
D
分别为
AA
、
BB
的中点，
E
为
DB
的中点， 现将纸卷成圆柱形， 使
A
与
A
重合，
B
与
B
重合，并将圆柱垂直放在
xOy
平面上，且
B
与原点
O
重合，
D
若在
y
轴正向上，求：
（ 1） 通过
C
，
E
两点的直线绕
z
轴旋转所得的旋转曲面方程；
（ 2） 此旋转曲面、
xOy
平面和过
A
点垂直于
z
轴的平面所围成的立体体积 .
解:
C
(0, 4,4 )
2
z
A
L
CE
:
x 2
2
y
Q
2
M
N
z
4
x
y
2
4
旋转曲面上任意取
D
一点
M ( x, y, z)
A
C
A
E (2,2,0)
z
x
0
B
则
N (x
0
, y
0
, z
0
)
的坐标为：
y
0
2
2
B
D
E
B
z
2
，
Q (0,0, z)
2
z
0
z
2
MQx
2
y
2
NQ
z
2
2
z
2
2
2
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