2024年3月7日发(作者：槐荫区小升初数学试卷)

第二章 2.3 双曲线

标准方程（焦点在x轴）

双曲线

x2y221(a0,b0)

2ab标准方程（焦点在y轴）

y2x221(a0,b0)

2ab第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。MMFMF122a2aF1F2

yP

F1

y

xyyx

x

P

F2F2

F1x定义

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当e1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e1）叫做双曲线的离心率。

yy

yP

P

P

F

2x

xF1

F2

xyxP

范围

对称轴

F1xa，yR

ya，xR

x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b

对称中原点O(0,0)

心

焦点坐标

F1(c,0)

F2(c,0)

F1(0,c)

F2(0,c)

焦点在实轴上，ca2b2；焦距：F1F22c

(0,

a,) (0，a) 顶点坐（a,0） (a,0)

标

高中数学

离心率

ec(e1)

a准线方2程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a

ca顶点到顶点A1（A2）到准线l1（l2）的距离为a

c准线的a2AAll顶点（）到准线（）的距离为a

1221距离

ca焦点到焦点F1（F2）到准线l1（l2）的距离为c

c准线的a2FFll焦点（）到准线（）的距离为c

1221距离

c2a2xc

a2yc

2ab渐近线

yx

yx

ab方程

共渐近x2y2y2x2线的双k（k0）

k（k0）

a2b2a2b2曲线系方程

1. 双曲线的定义

① 当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；

当MF2MF12a时，则表示点M在双曲线左支上；

② 注意定义中的“（小于F1F2）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a=2c时，即MF1MF2F1F2,当MF1MF2F1F2，动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当MF2MF1F1F2时，动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线；

若2a＞2c时，动点轨迹不存在.

2. 双曲线的标准方程判别方法是：

如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；

如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.

对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

3. 双曲线的内外部

22x0y0x2y2 (1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部221.

abab22x0y0x2y2 (2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部221.

abab高中数学

x2y21 4. 形如AxBy1(AB0)的方程可化为11AB11当0,0，双曲线的焦点在y轴上；

AB11当0,0，双曲线的焦点在x轴上；

AB

5.求双曲线的标准方程，

应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

6. 离心率与渐近线之间的关系

22c2a2b2b2e212

2aaa2bb1）e1 2）

e21

aa7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababax2y2xyb(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababax2y2x2y2(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在xabab轴上，0，焦点在y轴上）.

x2y2x2y2(4)与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是22(0)

ababx2y2x2y221 (5)与双曲线221共焦点的双曲线系方程是2akbkab(6)当ab时离心率e2两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2y2；

28. 双曲线的切线方程

xxyyx2y2(1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2（2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程abxxyy是02021.

ab高中数学

x2y2（3）双曲线221(a0,b0)与直线abAxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.

9. 直线与双曲线的位置关系

x2y2直线l：ykxm(m0) 双曲线C：221（a＞0，b＞0）

abykxm22222222222(bak)x2amkxamab0

xy221ba2221) 当bak0，即kb时，直线l与双曲线的渐进线_平行_，直线与双a曲线C相交于一点；

2) 当b2-a2k2≠0，即k时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)

①

0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点

②

0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点

③

0时，直线l与双曲线相离，无公共点

3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）

10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法

x2y2直线l：ykxm(m0) 双曲线C：221（a＞0，b＞0）

abba① 联立方程法：

ykxm22222222222(bak)x2amkxamab0

xy221ba设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出y1y2kx1mkx2mk(x1x2)2my1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2

，在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2

a高中数学

或

AB11122yy1(yy)4yy

1k12121222kkab. 中点M(x0,y0),

x0② 点差法：

x1x2yy2，

y01

22设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线方程，得

x1y1x2y211

a2b2a2b22222将两式相减，可得

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)

a2b2y1y2b2(x1x2)

2x1x2a(y1y2)a. 在涉及斜率问题时，kABb2(x1x2)

2a(y1y2)b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1y2b2•2x0b2x022，

x1x2a•2y0ay0 即kABb2x02，

ay012211. 焦点三角形面积公式：SFPFb,(F1PF2)。

tan2

仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;

俯视大地时，什么都比你低，你会自负;

只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，

才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

无须自卑，不要自负，坚持自信。

高中数学

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