2024年3月19日发(作者：万荣县五年级数学试卷分析)

数学建模 试卷及参考答案

一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）

1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）

答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、

模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)

答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。

3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)

答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能

力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路

来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）

1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达

山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.

证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分)

证明:

记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s.

设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是

一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。

作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的，

则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F（a）<0, F(b)>0,

由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由

他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商

人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，

商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)

解:模型构成

记第k次渡河前此岸的商人数为

x

k

，随从数为

y

k

，1，2,........，

x

k

，

y

k

=0，1，2，3。将二维向量

s

k

=（

x

k

，

y

k

）定义为状态。安全

渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S。



x,y

|x0,y0,1,2,3;x3,y0,1,2,3;xy1,2

（3分）

记第k次渡船上的商人数为

u

k

随从数为

v

k

将二维向量

d

k

=（

u

k

，

v

k

）定义为决策。允许决策集合记作D，由小船的容量可知



u,v

|1uvv,u,v0,1,2

（3分）

状态

s

k

随

d

k

的变化规律是：

s

k1

=

s

k

+

1

k

d

k

（3分）

模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）

三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）

13



1



1、

A

114

试用和法求出

1/31/41



A的最大特征值，并做一致性检验

（3时， 0.58）。

13



1

3/74/93/8



答：

A

114

中各列归一化

3/74/94/8

1/31/41



1/71/91/8



1.248



各行求和

1.373

=

w

2

0.569



4.328



分 而

Aw

4.897

，（1

1.328



分） 所

以最大特征根为

1

3

(Aw)

i

14.3284.8971.328

()3.123

3

i1

w

i

31.2481.3730.569

2分

其一致性指标为：

2分

CI0.061

0.1060.1

所以

RI0.58

3

31

3.1233

0.061

2

A不通过一致性检验。 2分

2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙

用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收300

元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的

实现，试用值方法分配各人的所得。(9分)

答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)

3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C

1

,每天每件产

品贮存费用为C

2,

缺货损失费为C

3

，试作一合理假设，建立允许缺

贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分）

解:模型假设:

1. 产品每天需求量为常数r

2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2

3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C

3

，当

1

时产品已用完

4. 生产周期为T，产量为Q

(2分)

模型建立

一周期总费用如下:

(2分)

一周期平均费用为

(2分)

模型求解: 用微分法解得周期

(1分)

产

(1分)

4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。

设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，

患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健

康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，

患病出发变成死亡的平均转移次数。

量

Q

2rC

1

C

3

C

2

(C

2

C

3

)

T

2C

1

(C

2

C

3

)

rC

2

C

3

C

3

r(TT

1

)

2

C

2

T

1

Q

CC

1



22

C

1

C

2

Q

2

C

3

(rTQ)

2

f(T,Q)

T2rT2rT


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