2024年4月11日发(作者：山东期中数学试卷一)

2022年甘肃省第一次高考诊断考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2

．回答选择题时，选出每小题答案后，用

2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选

择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3

．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．





A

xlog

1

x

1



，

B

xx4

，则

AB

（

3



1.已知集合

A.

xx

）

D.

1

3

B.

x

0

x

1

3

C.

x

1

x

4

3

xx4

2.

复数

zi

1i

(

i

为虚数单位

)

的共轭复数

z

（

A.

1i

B.

1i

）

C.

1i

D.

1i

3.2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元

物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．右图为该品牌服饰某分店

1—8

月的销量

（单位：件）情况．以下描述不正确的是（

．．．

）

A.

这

8

个月销量的极差为

4132

B.

这

8

个月销量的中位数

2499

C.这8个月中2月份的销量最低

D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份

第

1

页/共

26

页

4.

如图，

AB

是

O

的直径，点

C

，

D

是半圆弧

AB

上的两个三等分点，

ABa

，

ACb

，

则

BD

（





）

1



ab

A.

2

1

ab

2

A

充分不必要条件

1

B.

ab

2

1

rr

C.

ab

2

D.

5.“

cosx1

”

是

“

sinx0

”

的（）

B.

必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

.

C.充要条件



fx

A

sin

x

A

0,

0,

6.函数





的部分图象如图所示，则下列结论正

2



确的是（）

A.

f

x

的最小正周期是

B.

直线

x



C.

点

2

是

f

x

图象

的

一条对称轴

6

,0

是

f

x

图象的一个对称中心

12

D.

f

x

的单调递减区间是

2

k

2

,2

k

k



63

7.定义在R上的奇函数

f

x

，满足

f

8x

f

4x

，且当

x

0,2

时，

f

x



3

x

1

，则

f

2022

（）

第

2

页/共

26

页

A.-8B.-2C.2D.8

x

2

y

2

8.

直线

ykx

kR

与椭圆



1

相交于

A

，

B

两点，若将

x

轴下方半平面沿着

x

62

轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则

AB

的

取值范围是（

A.

2,6

）

B.

2,26

C.

2,26

D.

2,6

9.

在直角

△ABC

中，

BCa

，

ACb

，

ABc

，且

abc

，分别以

BC

，

AC

，

AB

所

在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为

S

1

，

S

2

，

S

3

和

V

1

，

V

2

，

V

3

，则它们的关系为（

A.

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

C

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

）

B.

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

D.

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

.

B

点

10.已知以圆

C

：

(x1)

2

y

2

4

的圆心为焦点的抛物线

C

1

与圆在第一象限交于

A

点，

是抛物线

C

2

：

x

2

8y

上任意一点，

BM

与直线

y2

垂直，垂足为

M

，则

|BM||AB|

的最大值为（

A.

1

）

B.

2

C.

1

D.

8

若

AC

2

ABBC

，则点

C

是线段

AB

的

“

黄金分割点

”

，以

AC

，

11.

线段

AB

上任取一点

C

，

BC

为邻边组成的矩形称为

“

黄金矩形

”

．现在线段

AB

上任取一点

C

，若以

AC

，

BC

为邻边

组成矩形，则该矩形的面积小于

“

黄金矩形

”

的面积的概率为（

A.

35

B.

）

D.

52

C.

31

37

x

1

cos,

x

1,

1

12.设函数

f

x

{

函数

g

x

x



a

x

0

,

若存在唯一

的

x

0

，使得

2

x

x

2

,0

x

1,

h

x

min

f

x

,g

x

的最小值为

h

x

0

，则实数

a

的取值范围为

A.

a2

B.

a2

C.

a1

D.

a1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

x

2

10

13.若双曲线

2

y

2

1

a

0

的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．

a

3

14.

已知等差数列

a

n

满足

a

2

4

，

a

6

8

，则

a

4

______

．

15.曲线

yx

3

3x

的一条切线的方程为

yax16

，则实数

a

______．

16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

3acosCcsinA0

．若角C

第

3

页/共

26

页

的平分线交AB于D点，且

CD1

，则

ab

的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求

作答．

（一）必考题：共60分．

2

a

n

1

a

n

．

b

2

2

，

b

n

b

n

2

2

b

n

1

，数列

b

n

满足

b

1

1

，

17.

已知数列

a

n

满足

a

1

1

，

n

*

．

（1）求数列

a

n

及

b

n

的通项公式；

（2）求数列

a

n

b

n

的前n项和

T

n

．

18.2021

年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业

在疫情后的恢复生产情况，随机调查了

150

个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期

产值增长率的频数分布表如下：

增长率分组

企业数

0.4,0.2

15

0.2,0

30

0,0.2

50

0.2,0.4

38

0.4,0.6

17

（1）根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表

示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代

表）；

（

2

）某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企

业同期增长率

y

0.4,0.2

，则调研价值为1；被调查的企业同期增长率

y

0.2,0

，

则调研价值为2；被调查的企业同期增长率

y

0,0.6

，则调研价值为3．以表中对应各组

的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期望．

三角形

ABC

是边长为

3

的等边三角形，且

AEAF2

，

19.

如图，

E

，

F

分别在边

AB

，

AC

上，

M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使

DM

15

．

2

第

4

页/共

26

页

（1）证明：

DO

平面EFCB；

（

2

）若平面

EFCB

内的直线

EN∥

平面

DOC

，且与边

BC

交于点

N

，问在线段

DM

上是否

存在点

P

，使二面角

P—EN—B

的大小为

60°

？若存在，则求出点

P

；若不存在，请说明理

由．

20.

已知动点

P

到点

F

1

1,0

的距离与它到直线

l:x4

的距离之比为

2

．

1

（

1

）求动点

P

的轨迹所形成曲线

C

的方程；

（

2

）

F

2

1,0

，分别过

F

1

，

F

2

作斜率为

k

k0

的直线与曲线

C

交于

x

轴上方

A

，

B

两

点，若四边形

F

1

F

2

BA

的面积为

21.已知函数

f

x

x

122

，求k的值．

7

2

a

2

a

2

ln

x

a

R

，

g

x

b

1

x



x

e

x

．

x

x

（1）判断函数

f

x

的单调性；

（2）当

a1

时，关于x的不等式

f

x

g

x

1

恒成立，求实数b的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔

在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多

涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．

选修4—4：坐标系与参数方程

22.如图，曲线

C

1

是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为

1sin

0,2

．曲线

C

2

是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂

直于极轴的直线上，直径为1．

第

5

页/共

26

页

（

1

）求曲线

C

2

的极坐标方程，并求曲线

C

1

和曲线

C

2

交点的极坐标；

（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，

x

t

cos,

3

建立平面直角坐标系，曲线

C

3

的参数方程为

（t为参数）．若曲线

C

3

与曲线

C

1

y

t

sin

,

3

相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．

选修4—5：不等式选讲

23.已知函数

f

x

2x1x1

．

（

1

）求不等式

f

x

5

的解集；

（

2

）若

a0

，

b0

，且

abf

1

，求证：

a1b122

．

2022年甘肃省第一次高考诊断考试

理科数学

注意事项：

1

．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选

择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3

．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．





A

xlog

1

x

1



3



，

B

xx4

，则

AB

（

1.已知集合

第

6

页/共

26

页

）

A.

xx

1

3

B.

x

0

x

1

3

C.

x

1

x

4

3

D.

xx4

【答案】

B

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性解不等式求集合

A

，再由集合的交运算求

AB

.





【详解】由题设，

A

x

log

1

x

1

x

log

1

x

log

1



333



所以

AB

x

0

x

.

1

1

(0,)

，而

B

xx4

，

3

3

1

3

故选：

B

2.复数

zi

1i

(

i

为虚数单位)的共轭复数

z

（

A.

1i

【答案】

B

【解析】

【分析】根据复数乘法及共轭复数的概念求解.

【详解】

zi

1i

=1i

，

B.

1i

）

C.

1i

D.

1i

z1i

，

故选：B

3.2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元

物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．右图为该品牌服饰某分店

1—8

月的销量

（单位：件）情况．以下描述不正确的是（

．．．

）

A.

这

8

个月销量的极差为

4132

B.

这

8

个月销量的中位数

2499

第

7

页/共

26

页

C.

这

8

个月中

2

月份

的

销量最低

D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份

【答案】B

【解析】

【分析】根据销量折线图，结合极差、中位数的概念，逐项分析即可得解.

【详解】由折线图可知极差为

48447124132

，故A正确；

销量由小到大排列为

712,1433,1533,1952,2822,3046,4532,4844

，所以中位数为

1952

2822

2387

，故

B

错误；

2

由折线图可知

2

月份销量最低，故

C

正确；

由折线图可知，

7

月份销量比

6

月份销量增长

453228221710

件，最大，故

D

正确

.

故选：B



O

4.如图，AB是的直径，点C，D是半圆弧

AB

上的两个三等分点，

ABa

，

ACb

，



则

BD

（）

1



ab

A.

2

1

ab

2

【答案】C

【解析】

1

B.

ab

2

1

rr

C.

ab

2

D.

【分析】根据圆的几何性质、菱形以及向量运算确定正确选项

.

【详解】画出图象如下图所示，

由于

C,D

是半圆弧

AB

上的两个三等分点，

所以

AOC,COD,DOB

是等边三角形，

所以

OAOBOCODACCDBD

，

所以四边形

OACD

是菱形，四边形

OBDC

是菱形，



1



1



所以

BDOCACAOACABab

.

22

故选：C

第

8

页/共

26

页

5.“

cosx1

”

是

“

sinx0

”

的（

A.

充分不必要条件

C.充要条件

【答案】A

【解析】

）

B.

必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

【分析】分别求解“

cosx1

”与“

sinx0

”的充要条件再判断即可.

【详解】易得当

cosx1

时,

x2k

,

kZ

.当

sinx0

时,

xk

,

kZ

.

故“

cosx1

”是“

sinx0

”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题主要考查了三角函数值求定义域的方法以及充分与必要条件的判定

,

属于基础

题

.

6.函数

f

x

A

sin

x

A

0,

0,

确的是（）

的部分图象如图所示，则下列结论正

2

A.

f

x

的最小正周期是

B.直线

x



2

是

f

x

图象的一条对称轴

6

第

9

页/共

26

页

C.

点

,0

是

f

x

图象的一个对称中心

12



D.

f

x

的单调递减区间是

2

k

【答案】C

【解析】

2

,2

k

k



63

【分析】根据函数图象求出周期

T,ω,φ

，判断A，再由正弦型函数的对称轴、对称中心、

单调区间判断BCD即可.

【详解】由图象可知

由

T

T

5





，即

T

，故A错误；

41264

5

,0)

，

12

2

可得

2

，又因为函数图象过点

(

所以

sin(2

5

π

5

π

φ

)

0

，由五点法作图可知，

φ

2

kππ

,

kZ

,

126

即

2

k



π

,

k

Z

，又

，故

，

626

)

，

6

所以

f

(

x

)

A

sin(2

x

当

x



ππππ

1

时，

f

(

)

A

sin[2

(

)

]

A

sin(

)

AA

,故B错误；

6

66662

πππππ

)

A

sin[2

(

)

]

A

sin(



)

0

，所以点

,0

是

f

x

图象

1212666

12

因为

f

(

的一个对称中心，故C正确；

令

2

k



3



2

2

x



2

k

,

k

Z

，解得

k



x

k

,

k

Z

，

26263

即函数

的

单调递减区间为

[

k

故选：C

2

,

k

],

k

Z

，故D错误.

63

7.定义在R上的奇函数

f

x

，满足

f

8x

f

4x

，且当

x

0,2

时，

f

x



3

x

1

，则

f

2022

（

A.-8

【答案】D

【解析】

B.-2

）

C.2D.8

【分析】根据（fx）是R上的奇函数，并且

f

8x

f

4x

，便可推出

f(x8)f(x)

，

第

10

页/共

26

页

即

f

（

x

）的周期为

8

，由周期性及函数为奇函数即可得解.

【详解】∵

f

x

是定义在

R

上的奇函数，且

f

8x

f

4x

，

∴

f(x4)f(x)

，

∴

f(x8)f(x4)f(x)

，

∴

f

x

的周期为

8

，

∵

x

0,2

时，

f

x



3

1

；

x

f(2022)f(82532)f(2)f(2)(3

2

1)8

.

故选：D

x

2

y

2

8.直线

ykx

kR

与椭圆



1

相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x

62

轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则

AB

的取值范围是（

A.

2,6

【答案】C

【解析】

【分析】判断直线与椭圆的交点的位置

,

然后求解

|AB|

的取值范围即可．

）

B.

2,26

C.

2,26

D.

2,6

x

2

y

2

【详解】由



1

可知，椭圆的短轴长

2b22

，长轴长

2a26

，

62

x

2

y

2

又直线

ykx

kR

与椭圆



1

相交于A，B两点，

62

所以

|AB|

的最大值为

26

，

将

x

轴下方半平面沿着

x

轴翻折，使之与上半平面成直二面角，此时

|AB|

的最大值仍然是

长轴长

26

，而短轴两个端点间的距离为

b

2

b

2

2

，由于

A,B

不能在短轴端点处，

所以

2AB26

，

故选：

C

9.

在直角

△ABC

中，

BCa

，

ACb

，

ABc

，且

abc

，分别以

BC

，

AC

，

AB

所

在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为

S

1

，

S

2

，

S

3

和

V

1

，

V

2

，

V

3

，则它们的关系为（

A.

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

C.

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

【答案】B

第

11

页/共

26

页

）

B.

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

D.

S

1

S

2

S

3

，

V

1

V

2

V

3

【解析】

【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥

,

直角三角形绕其斜边旋转可以得

到两个共用同一底面的圆锥的组合体,采用特例法，不妨令c=3、b=4、a=5，绕三边旋转一

周分别形成三个几何体，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案.

【详解】不妨设直角三角形的三边长分别为

a5,b4,c3

，

当直角三角形绕

BC

边旋转时，其表面是两个圆锥的表面，所以其表面积为

1128411248

S

1



2



(3

4)

，体积

V

1



()

2

5

；

255355

当直角三角形绕

AC

边旋转时

,

S

2

3

2

3524

,

体积

V

2

1

3

2

4

12

；

3

2

当直角三角绕

AB

边旋转时，

S

3

4

4536

,

体积

V

3

1

4

2

3

16

.

3

S

1

S

2

S

3

；

V

1

V

2

V

3

.

故选：

B

B

点

10.已知以圆

C

：

(x1)

2

y

2

4

的圆心为焦点的抛物线

C

1

与圆在第一象限交于

A

点，

是抛物线

C

2

：

x

2

8y

上任意一点，

BM

与直线

y2

垂直，垂足为

M

，则

|BM||AB|

的最大值为（

A.

1

【答案】

A

【解析】

【分析】

由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线

C

1

方程，利用运用抛物线的定义可得

）

B.

2

C.

1

D.

8

BMABBFABAF1

，从而可得结果

.

【详解】因为

C:

x1

y

2

4

的圆心

1,0

2

所以以

1,0

为焦点的抛物线方程为

y

2

4x

，

2

y

4

x

由

，解得

A

1,2

，

2

2

x

1

y

4

抛物线

C

2

:x8y

的焦点为

F

0,2

，准线方程为

y2

，如图，

2

第

12

页/共

26

页

即有

BMABBFABAF1

，

当且仅当

A,B,F(A

在

B,F

之间）三点共线，可得最大值

1

，

故选：A

【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类

问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（

1

）将抛线上的点到准线距离转化

为该点到焦点的距离；

(2)

将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到

解决.

若

AC

2

ABBC

，则点

C

是线段

AB

的

“

黄金分割点

”

，以

AC

，

11.

线段

AB

上任取一点

C

，

BC

为邻边组成的矩形称为

“

黄金矩形

”

．现在线段

AB

上任取一点

C

，若以

AC

，

BC

为邻边

组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（

A.

35

B.

）

D.

52

C.

31

37

【答案】A

【解析】

【分析】设

AB1

，求出“黄金矩形”的面积，再求出在线段

AB

上任取一点

C

，以

AC

，

由题意建立不等式求解，再根据几何概型,由线段长度求概率即

BC

为邻边组成矩形的面积，

可.

【详解】设

AB1

，则由

AC

2

ABBCBC

解得

AC

此时

“

黄金矩形

”

的面积为

AC

BC

5

13

5

.

,

BC

22

5

13

5



5

2

.

22

在线段

AB

上任取一点

C

，并设

ACx,0x1

,

则以

AC

，

BC

为邻边组成矩形的面积为

ACBCx(1x)

，由该矩形的面积小于

“

黄金矩形

”

的面积可得

x(1x)52

，解得

5

1

3

5

(

或

x

1

，故所求概率为

0

x

P

2

2

故选：A

3

55

1

0)

(1

)

.

22

3

5

1

第

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