2024年4月11日发(作者：100分数学试卷签字)

甘肃省2018年高考理科数学试题及答案

（Word版）

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1．

12i

12i

43

A．

i

55

2

43

B．

i

55

34

C．

i

55

34

D．

i

55

2．已知集合

A

A．9

x，y

x

y

2

≤3，xZ，yZ

，则

A

中元素的个数为

B．8 C．5 D．4

e

x

e

x

3．函数

f

x

的图像大致为

x

2

4．已知向量

a

，

b

满足

|a|1

，

ab1

，则

a(2ab)

A．4 B．3 C．2 D．0

x

2

y

2

5．双曲线

2

2

1(a0,b0)

的离心率为

3

，则其渐近线方程为

ab

A．

y2x

6．在

△ABC

中，

cos

A．

42

B．

y3x

C．

y

2

3

x

x

D．

y

2

2

C5

，

BC1

，

AC5

，则

AB

25

B．

30

C．

29

D．

25

11111

7．为计算

S1…

，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

23499100

1

A．

ii1

B．

ii2

C．

ii3

D．

ii4

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于

2的偶数可以表示为两个素数的和”，如

30723

．在不超过30的素数中，随机选取两个不

同的数，其和等于30的概率是

A．

1

12

TT

NN

1

i

是

开始

N0,T0

i1

i100

否

SNT

输出S

结束

1

i1

B．

1

14

C．

1

15

D．

1

18

9．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

ABBC1

，

AA

1

3

，则异面直线

AD

1

与

DB

1

所成角的余弦值

为

1

A．

5

B．

5

6

C．

5

5

D．

2

2

10．若

f(x)cosxsinx

在

[a,a]

是减函数，则

a

的最大值是

A．

π

4

B．

π

2

C．

3π

4

D．

π

11．已知

f(x)

是定义域为

(,)

的奇函数，满足

f(1x)f(1x)

．若

f(1)2

，则

f(1)f(2)f(3)…f(50)

A．

50

B．0 C．2 D．50

x

2

y

2

12．已知

F

1

，

F

2

是椭圆

C：

2

2

1(ab0)

的左，右焦点，

A

是

C

的左顶点，点

P

在过

A

且斜

ab

率

为

3

的直线上，

△PF

1

F

2

为等腰三角形，

F

1

F

2

P120

，则

C

的离心率为

6

A．

2

3

B．

1

2

1

C．

3

D．

1

4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线

y2ln(x1)

在点

(0,0)

处的切线方程为__________．

2

x2y50，

14．若

x,y

满足约束条件

x2y30，

则

zxy

的最大值为__________．

x50，

15．已知

sinαcosβ1

，

cosαsinβ0

，则

sin(αβ)

__________．

SB

所成角的余弦值为16．已知圆锥的顶点为

S

，母线

SA

，

7

SA

与圆锥底面所成角为45°，

AB

，若

△S

8

的面积为

515

，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记

S

n

为等差数列

{a

n

}

的前

n

项和，已知

a

1

7

，

S

3

15

．

（1）求

{a

n

}

的通项公式；

（2）求

S

n

，并求

S

n

的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额

y

（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了

y

与时间变量

t

的两个线性回归模型．根

ˆ

30.413.5t

；

2，…，17

）据2000年至2016年的数据（时间变量

t

的值依次为

1，

建立模型①：

y

ˆ

9917.5t

．

2，…，7

）建立模型②：

y

根据2010年至2016年的数据（时间变量

t

的值依次为

1，

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

3

设抛物线

C：y

2

4x

的焦点为

F

，过

F

且斜率为

k(k0)

的直线

l

与

C

交于

A

，

B

两点，

|AB|8

．

（1）求

l

的方程；

（2）求过点

A

，

B

且与

C

的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

如图，在三棱锥

PABC

中，

ABBC22

，

PAPBPCAC4

，

O

为

AC

的中点．

（1）证明：

PO

平面

ABC

；

（2）若点

M

在棱

BC

上，且二面角

MPAC

为

30

，求

PC

与平面

PAM

所成角的正弦值．

P

O

B

M

A

C

21．（12分）

已知函数

f(x)e

x

ax

2

．

（1）若

a1

，证明：当

x0

时，

f(x)1

；

（2）若

f(x)

在

(0,)

只有一个零点，求

a

．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

x2cosθ，

在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为

（

θ

为参数），直线

l

的参数方程为

y4sinθ

x1tcosα，

（

t

为参数）．

y2tsinα

（1）求

C

和

l

的直角坐标方程；

（2）若曲线

C

截直线

l

所得线段的中点坐标为

(1,2)

，求

l

的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数

f(x)5|xa||x2|

．

（1）当

a1

时，求不等式

f(x)0

的解集；

（2）若

f(x)1

，求

a

的取值范围．

4

参考答案

一、选择题

1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D

二、填空题

13.

y2x

三、解答题

17. (12分)

解：（1）设

{a

n

}

的公差为

d

，由题意得

3a

1

3d15

.

由

a

1

7

得

d

=2.

所以

{a

n

}

的通项公式为

a

n

2n9

.

（2）由（1）得

S

n

n

2

8n(n4)

2

16

.

所以当

n

=4时,

S

n

取得最小值,最小值为−16.

18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

14.9 15.

1

2

16.

402π

ˆ

30.413.519226.1

(亿元).

y

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ

9917.59256.5

(亿元).

y

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

y30.413.5t

上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述

环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010

年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额

ˆ

9917.5t

可以的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

y

较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可

5


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模型,已知,方程,环境,小题