2024年3月19日发(作者：数学试卷检讨55分)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（导数及其应用）练习
一、单选题
1
．函数
f(x)
alnx
（
2022ꞏ
全国
ꞏ
统考高考真题）当
x1
时，
（
）
b
取得最大值
2
，则
f
(2)
x
A
．
1
1
B
．
2
C
．
2
1
D
．
1
2
．（
2022ꞏ
全国
ꞏ
统考高考真题）函数
f
x
cosx
x1
sinx1
在区间
0,2π
的最小值、
最大值分别为（
）
ππ
A
．
，
22
B
．
3ππ
，
22
ππ
C
．
，
2
22
D
．
3ππ
，
2
22
3
．（
2022ꞏ
全国
ꞏ
统考高考真题）已知
a
A
．
cba
B
．
bac
3111
,
b
cos,
c
4sin
，则（
）
3244
C
．
abc
D
．
acb
4
．（
2022ꞏ
全国
ꞏ
统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为
l
，其各顶点都在同一球面上
.
若该球的体积为
36
，且
3l33
，则该正四棱锥体积的取值范围是（
）
81
A
．
18,
4
2764
C
．
,
D
．
[18,27]
43
1
0.1
5
．（
2022ꞏ
全国
ꞏ
统考高考真题）设
a0.1e,b，cln0.9
，则（
）
9
B
．
cba
C
．
c D ． acb 2781 B ． , 44 A ． abc 1 2 6 ．（ 2021ꞏ 浙江 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f ( x ) x , g ( x )sin x ，则图象为如图的函 4 数可能是（ ） 1 A ． y f ( x ) g ( x ) 4 C ． yf(x)g(x) 1 B ． y f ( x ) g ( x ) 4 g(x) D ． y f ( x ) 2 7 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）设 a0 ，若 xa 为函数 f x a xa xb 的极大 值点，则（ ） A ． ab B ． ab C ． aba 2 D ． aba 2 8 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）若过点 a,b 可以作曲线 y e x 的两条切线，则（ ） A ． e b a C ． 0ae b B ． e a b D ． 0be a 22 1 9 ．（ 2020ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）若直线 l 与曲线 y= x 和 x+y= 都相切，则 l 的方程为 5 （ ） A ． y=2x+1 B ． y=2x+ 2 1 C ． y= 2 x+1 1 D ． y= 2 x+ 2 11 10 ．（ 2020ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）函数 f(x)x 4 2x 3 的图像在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 （ ） A ． y2x1 C ． y2x3 B ． y 2 x 1 D ． y 2 x 1 x 2 2ax 2a,x „ 1, 11 ．（ 2019ꞏ 天津 ꞏ 高考真题）已知 aR ，设函数 f(x) 若关于 x 的 x 1, x alnx, 0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为 不等式 f(x)… A ． 0,1 B ． 0,2 C ． 0,e D ． 1,e （ 2019ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）曲线 y=2sinx+cosx 在点 (π ， –1) 处的切线方程为 12 ． A ． xy 1 0 C ． 2x y 2 1 0 B ． 2x y 2 1 0 D ． x y 1 0 13 ．（ 2019ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知曲线 yae x xlnx 在点 1,ae 处的切线方程为 y 2 x b ，则 A ． a e , b 1 B ． a e , b 1 C ． a e 1 ,b 1 D ． a e 1 , b 1 14 ．（ 2018ꞏ 浙江 ꞏ 高考真题）已知 a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 成等比数列，且 a 1 a 2 a 3 a 4 ln(a 1 a 2 a 3 ) ．若 a 1 1 ，则 A ． a 1 a 3 ,a 2 a 4 B ． a 1 a 3 ,a 2 a 4 C ． a 1 a 3 ,a 2 a 4 D ． a 1 a 3 ,a 2 a 4 32 15 ．（ 2018ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）设函数 f x x a 1 x ax ．若 f x 为奇函数，则曲 0 处的切线方程为 ( ) 线 yf x 在点 0， A ． y2x B ． yx C ． y2x D ． yx 16 ．（ 2018ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）函数 y x 4 x 2 2 的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 二、多选题 17 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f(x)sin(2x )(0 π) 的图像关于点 2π ,0 中心对称，则（ ） 3 5π A ． f(x) 在区间 0, 单调递减 12 π11π B ． f(x) 在区间 , 有两个极值点 1212 C ．直线 x D ．直线 y 7π 是曲线 y f ( x ) 的对称轴 6 3 x 是曲线 yf(x) 的切线 2 18 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f ( x ) x 3 x 1 ，则（ ） A ． f(x) 有两个极值点 C ．点 (0,1) 是曲线 yf(x) 的对称中心 B ． f(x) 有三个零点 D ．直线 y2x 是曲线 yf(x) 的切线 19 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f(x) 及其导函数 f ( x ) 的定义域均为 R ，记 3 g ( x ) f ( x ) ，若 f 2 x ， g(2x) 均为偶函数，则（ ） 2 1 A ． f(0) 0 B ． g 0 C ． f(1)f(4) 2 D ． g(1)g(2) 三、填空题 20 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知 x x 1 和 xx 2 分别是函数 f ( x )2 a x e x 2 （ a 0 且 a1 ）的极小值点和极大值点．若 x 1 x 2 ，则 a 的取值范围是 ____________ ． 21 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）若曲线 y ( x a )e x 有两条过坐标原点的切线，则 a 的 取值范围是 ________________ ． x 22 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f(x)e1,x 1 0,x 2 0 ，函数 f(x) 的图象 在点 A x 1 ,f x 1 和点 Bx 2 ,f x 2 的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴于 M ， N 两点， 则 | AM | 取值范围是 _______ ． | BN | 23 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）写出一个同时具有下列性质 ①②③ 的函数 f x : _______ ． ① f x 1 x 2 f x 1 f x 2 ； ② 当 x(0,) 时， f (x) 0 ； ③ f (x) 是奇函数． 24 ．（ 2021ꞏ 北京 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f(x)lgxkx2 ，给出下列四个结论： ① 若 k0 ， f(x) 恰 有 2 个零点； 1 个零点； 3 个零点； 3 个零点． ② 存在负数 k ，使得 f(x) 恰有 ③ 存在负数 k ，使得 f(x) 恰有 ④ 存在正数 k ，使得 f(x) 恰有 其中所有正确结论的序号是 _______ ． 25 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）曲线 y 2x 1 在点 1,3 处的切线方程为 __________ ． x 2 26 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）函数 f x 2x12lnx 的最小值为 ______. 27 ．（ 2020ꞏ 江苏 ꞏ 统考高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P( 3 ，0) ， A ， B 是圆 C ： 2 1 x 2 (y) 2 36 上的两个动点，满足 PAPB ，则 △ PAB 面积的最大值是 __________ ． 2 28 ．（ 2020ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）设函数 f ( x ) e e x ．若 f (1) ，则 a =_________ ． x a 4 29 ．（ 2020ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）曲线 y lnx x 1 的一条切线的斜率为 2 ，则该切线的 方程为 ______________. 30 ．（ 2019ꞏ 天津 ꞏ 高考真题） 曲线 ycosx x 在点 0,1 处的切线方程为 __________. 2 31 ． （ 2019ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）曲线 y 3( x 2 x )e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 ___________ ． 32 ．（ 2019ꞏ 江苏 ꞏ 高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y =ln x 上，且该曲线 ，则点 A 的坐标是 ____. 在点 A 处的切线经过点（ -e ， -1)(e 为自然对数的底数） 4 33 ．（ 2019ꞏ 江苏 ꞏ 高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 y x (x 0) 上的一 x 个动点，则点 P 到直线 x + y =0 的距离的最小值是 _____. 1 处的切线的斜率为 2 ，则 34 ．（ 2018ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）曲线 y ax 1 e 在点 0， x a ________ ． 35 ．（ 2018ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）曲线 y 2lnx 在点 1,0 处的切线方程为 __________ ． 32 36 ．（ 2018ꞏ 江苏 ꞏ 高考真题）若函数 f x 2 xax 1 aR 在 0, 内有且只有一个 零点，则 f x 在 1,1 上的最大值与最小值的和为 __________ ． 37 ．（ 2018ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）已知函数 f x 2sin x sin2 x ，则 f x 的最小值是 _____________ ． 38 ．（ 2018ꞏ 全国 ꞏ 高考真题）曲线 y 2ln(x 1) 在点 (0,0) 处的切线方程为 __________ ． 39 ．（ 2018ꞏ 天津 ꞏ 高考真题）已知函数 f ( x )= exlnx ， f\' x 为 f ( x ) 的导函数，则 f \' 1 的值 为 __________ ． 四、解答题 x 40 ．（ 2022ꞏ 天津 ꞏ 统考高考真题）已知 a ， b R ，函数 f x easinx,g x bx (1) 求函数 yf x 在 0,f 0 处的切线方程； (2) 若 yf x 和 yg x 有公共点， （ i ）当 a0 时，求 b 的取值范围； （ ii ）求证： a 2 b 2 e ． 41 ．（ 2022ꞏ 北京 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f ( x ) e x ln(1 x ) ． (1) 求曲线 yf ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； (2) 设 g ( x ) f ( x ) ，讨论函数 g(x) 在 [0, ) 上的单调性； (3) 证明：对任意的 s,t(0,) ，有 f(st)f(s)f(t) ． 42 ．（ 2022ꞏ 浙江 ꞏ 统考高考真题）设函数 f(x) (1) 求 f(x) 的单调区间； (2) 已知 a , b R ，曲线 yf ( x ) 上不同的三点 x 1 ,f x 1 , x 2 ,f x 2 , x 3 ,f x 3 处的切线 都经过点 (a,b) ．证明： e lnx(x 0) ． 2x 1 a （ ⅰ ）若 a e ，则 0 b f ( a ) 1 ； 2 e 2e a112e a 2 ． 0ae,xxx （ ⅱ ）若 123 ，则 e6e 2 x 1 x 3 a6e （注： e2.71828 是自然对数的底数） 43 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f ( x ) x e ax e x ． (1) 当 a1 时，讨论 f(x) 的单调性； (2) 当 x 0 时， f(x) 1 ，求 a 的取值范围； (3) 设 n N ，证明： 1 1 2 1 1 2 2 2 1 n 2 n ln(n 1) ． 1 ( a 1)ln x ． x 44 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f ( x ) ax (1) 当 a0 时，求 f(x) 的最大值； (2) 若 f(x) 恰有一个零点，求 a 的取值范围． 45 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f(x)x 3 x,g(x)x 2 a ，曲线 yf(x) 在点 x,f x 处的切线也是曲线 yg(x) 的切线． 11 (1) 若 x 1 1 ，求 a ； (2) 求 a 的取值范围． e x 46 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f x lnx x a ． x (1) 若 f x 0 ，求 a 的取值范围； (2) 证明：若 f x 有两个零点 x 1 ,x 2 ，则 x 1 x 2 1 ． x 47 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f x ln 1 x axe (1) 当 a1 时，求曲线 yf x 在点 0,f 0 处的切线方程； (2) 若 f x 在区间 1,0 , 0, 各恰有一个零点，求 a 的取值范围． 48 ．（ 2022ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f ( x ) e x ax 和 g(x)axlnx 有相同的最小 值． (1) 求 a ； (2) 证明：存在直线 y b ，其与两条曲线 yf(x) 和 yg(x) 共有三个不同的交点，并且 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 49 ．（ 2021ꞏ 天津 ꞏ 统考高考真题）已知 a 0 ，函数 f(x)axxe x ． （ I ）求曲线 yf(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程： （ II ）证明 f(x) 存在唯一的极值点 （ III ）若存在 a ，使得 f(x)ab 对任意 x R 成立，求实数 b 的取值范围． 50 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一 个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代 …… ， 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁 殖下一代的个数， P ( Xi ) p i ( i 0,1,2,3) ． （ 1 ）已知 p 0 0.4,p 1 0.3,p 2 0.2,p 3 0.1 ，求 E(X) ； （ 2 ）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率， p 是关于 x 的方程： p 0 p 1 xp 2 x 2 p 3 x 3 x 的一个最小正实根，求证：当 E(X)1 时， p1 ，当 E(X)1 时， p1 ； （ 3 ）根据你的理解说明（ 2 ）问结论的实际含义． 51 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f(x)(x1)e x ax 2 b ． （ 1 ）讨论 f(x) 的单调性； （ 2 ）从下面两个条件中选一个，证明： f(x) 只有一个零点 1e 2 ① a,b2a ； 22 1 ② 0a,b2a ． 2 52 ．（ 2021ꞏ 北京 ꞏ 统考高考真题）已知函数 f x 3 2x ． x 2 a （ 1 ）若 a0 ，求曲线 yf x 在点 1,f 1 处的切线方程； （ 2 ）若 f x 在 x= 1 处取得极值，求 f x 的单调区间，以及其最大值与最小值． x2 b 为实数， 53 ．（ 2021ꞏ 浙江 ꞏ 统考高考真题）设 a ，且 a1 ，函数 f x abxe(xR) （ 1 ）求函数 f x 的单调区间； （ 2 ）若对任意 b2e 2 ，函数 f x 有两个不同的零点，求 a 的取值范围； （ 3 ）当 a e 时，证明：对任意 be 4 ，函数 f x 有两个不同的零点 x 1 ,x 2 , x 2 x 1 ，满 blnbe 2 足 x 2 x 1 . 2e 2 b ( 注： e2.71828 是自然对数的底数 ) 2 54 ．（ 2021ꞏ 全国 ꞏ 统考高考真题）已知抛物线 C:x2py p0 的焦点为 F ，且 F 与圆 M:x 2 (y4) 2 1 上点的距离的最小值为 4 ． （ 1 ）求 p ； （ 2 ）若点 P 在 M 上， PA,PB 是 C 的两条切线， A , B 是切点，求
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