初中数学证明题练习5套(含答案)

2024年3月9日发(作者：和县小升初数学试卷)

初中数学证明题练习5套（含答案）

（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．（初二）

证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE

∵EG⊥CO，EF⊥AB

∴∠EGO=90°，∠EFO=90°

∴∠EGO+∠EFO=180°

∴E、G、O、F四点共圆

∴∠GEO=∠HFG

∵∠EGO=∠FHG=90°

∴△EGO∽△FHG

∴

EOGO

FG

=

HG

∵GH⊥AB，CD⊥AB

∴GH∥CD

∴

GO

HG



CO

CD

∴

EOCO

FG



CD

∵EO=CO

∴CD=GF

2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝

PDA＝15°。

求证：△PBC是正三角形．（初二）

证明：作正三角形ADM，连接MP

∵∠MAD=60°，∠PAD=15°

∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°

∵∠BAD=90°，∠PAD=15°

∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°

∴∠BAP=∠MAP

∵MA=BA，AP=AP

∴△MAP≌△BAP

∴∠BPA=∠MPA，MP=BP

同理∠CPD=∠MPD，MP=CP

∵∠PAD＝∠PDA＝15°

∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP

∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD

∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°-75°×4=60°

∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形

∠

3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线

交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG

∵CN=DN，CG=DG

∴GN∥AD，GN=

1

2

AD

∴∠DEN=∠GNM

∵AM=BM，AG=CG

∴GM∥BC，GM=

1

2

BC

∴∠F=∠GMN

∵AD=BC

∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM

∴∠DEN=∠F

（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝60

0

，求证：AH＝AO．（初二）

证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD

G

∵OG⊥AF

∴AG=FG

∵

⌒

AB =AB

⌒

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠BHD+∠DBH=90°

∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD

∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC

∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD

又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD

∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD ∴AH=2OM

（2）连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC，OM⊥BC

∴∠BOM=

1

2

∠BOC=60°∴∠OBM=30°

第 2 页 共 10 页

于

∴BO=2OM

由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、

E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.

求证：AP＝AQ．

证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF

∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°

又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF

即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

∵EF⊥AG，PQ⊥AG

∴EF∥PQ

∴∠PAF=∠AFE

∵AF=AE

∴∠AFE=∠AEF

∴∠AEF=∠PAF

在△AEP和△AFQ中

∵∠PAF+∠QAF=180°

∠AFQ=∠AEP

∴∠FCQ=∠QAF

AF=AE

∴F、C、A、Q四点共圆

∠QAF=∠PAE

∴∠AFQ=∠ACQ

∴△AEP≌△AFQ

又∠AEP=∠ACQ

∴AP=AQ

∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG

∵C、D、B、E四点共圆

∴∠B=∠D，∠E=∠C

∴△ABE∽△ADC

ABBE2BGBG

∴



ADDC2FDDF

∴△ABG∽△ADF

∴∠AGB=∠AFD

∴∠AGE=∠AFC

∵AM=AN，

∴OA⊥MN

又OG⊥BE，

∴∠OAQ+∠OGQ=180°

∴O、A、Q、E四点共圆

∴∠AOQ=∠AGE

同理∠AOP=∠AFC

∴∠AOQ=∠AOP

第 3 页 共 10 页

又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA

∴△OAQ≌△OAP

∴AP=AQ

4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O

是DF的中点，OP⊥BC

求证：BC=2OP（初二）

证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N

∵OF=OD，DN∥OP∥FL

∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线

∴DN+FL=2OP

∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90°

又∠BFL+∠FBL=90°

∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB

∴△BFL≌△ABM

∴FL=BM

同理△AMC≌△CND

∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN

∴BC=FL+DN=2OP

（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

111

∴EG=OD=BD=AC=AE

222

∴∠EAG=30°

∵AC=AE

∴∠ACE=∠AEC=75°

又∠AFD=90°-15°=75°

第 4 页 共 10 页

∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC

∴CE=CF

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC，又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

1

∴ODEG是平行四边形

∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°

又∠COD=90°

2

在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF

∴ODEG是矩形

=180°-∠FAC-∠GCE

111

∴EG = OD =BD=AC=CE

=180°-135°-30°=15°

222

∴∠F=∠CEA

∴∠GCE=30°

∴AE=AF

∵AC=EC

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二）

证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H

∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形

∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG

∴HCGF是正方形

∴CG=GF

设AB=x，BP=y，CG=z

∵AP⊥FP

z：y=

（

x-y+z

）

：x

∴∠APB+∠FPG=90°

化简得（x-y）·y=（x-y）·z

∵∠APB+∠BAP=90°

∵x-y≠0

∴∠FPG=∠BAP

∴y=z

又∠FGP=∠PBA

即BP=FG

∴△FGP∽△PBA

∴△ABP≌△PGF

∴FG：PB=PG：AB

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．

求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，

连接OH、MH、EC

∵EH=FH

∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°

∴EM=KM

又PC⊥OC，∴∠POC=90°

∵EK∥BD

∴P、C、H、O四点共圆

OBAOOD



∴

∴∠HCO=∠HPO

EMAMKM

又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK

∴OB=OD

又AO=CO

第 5 页 共 10 页

∴四边形ABCD的对角

线互相平分

∴ABCD是平行四边形

∴∠HCM=∠HEM

∴H、C、E、M四点共圆

∴∠ECM=∠EHM

又∠ECM=∠EFA

∴∠EHM=∠EFA

∴HM∥AC

∵EH=FH

(四)

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求∠APB的度数．（初二）

解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ

则△BPQ是正三角形

∴∠BQP=60°，PQ=PB=3

在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5

∴△PQC是直角三角形

∴∠PQC=90°

∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°

∴∠APB=∠BQC=150°

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

A

证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，

两平行线相交于点E，连接BE

∵PE∥AD，AE∥PD

P

E

∴ADPE是平行四边形

∴PE=AD，

又ABCD是平行四边形

B

C

∴AD=BC

∴PE=BC

又PE∥AD，AD∥BC

又∠ADP=∠ABP

∴PE∥BC

∴∠AEP=∠ABP

∴BCPE是平行四边形

∴A、E、B、P四点共圆

∴∠BEP=∠PCB

∴∠BEP=∠PAB

∵ADPE是平行四边形

∴∠PAB=∠PCB

∴∠ADP=∠AEP

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD

A

⌒

∴∠CAD=∠CBD ∵

⌒

CD =CD

∴△BEC∽△ADC

BEBC



∴

ADAC

∴AD·BC=BE·AC……………………①

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D

D

E

B

C

∵∠BCE=∠ACD

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE

即∠BCA=∠ECD

⌒

,∴∠BAC=∠BDC ∵

⌒

BC =BC

△BAC∽△EDC

ABAC

∴



DECD

∴AB·CD=DE·AC……………………②

①+②得AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC

=（DE+BE）·AC

=BD·AC

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE

A

11

∴S

△ADE

= AE·DG，S

△FDC

= FC·DH

22

1

又S

△ADE

= S

△FDC

= S

□

ABCD

2

∴AE·DG=FC·DH

又AE=CF

∴DG=DH

∴点D在∠APC的角平分线上

∴∠DPA＝∠DPC

（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：

3

≤L＜2．

证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE，

∵BP=BE，∠PBE=60°

∴△PBE是正三角形。

∴PE=PB 又EF=PC

∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF

D

当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）

在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=

3

∴L=PA+PB+PC≤

3

（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G

则△ADG是正三角形

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D

F

G

P

H

B

E

C

A

P

G

C

B

E

F

∴∠ADP=∠AGP，AG=DG

∵∠APD＞∠AGP

∴∠APD＞∠ADP

∴AD＞PA…………………………①

又BD+PD＞PB……………………②

CG+PG＞PC……………………③

①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC

∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L

∵AB=AC=1∴L＜2

由（1）（2）可知：

3

≤L＜2．

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

A

解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE，

则△BPE是正三角形

∴PE=PB

∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF

∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）

此时AF= PA+PE+EF

过点F作FG⊥AB的延长线于G

则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°

1

3

∴GF= ，BG=

2

2

G

F

B

E

C

P

D

3





1





22



∴AF=

GFAG

=







=

23

1





22





∴PA＋PB＋PC的最小值是

23

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ

则△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ=

2

PB=

2

×2a=2

2

a

又QC=AP=a

B

Q

C

A

P

D

2

2

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∴QP

2

+QC

2

=(2

2

a)

2

+a

2

=9a

2

=PC

2

∴△PQC是直角三角形

∴∠BQC=135°

∵BC

2

=BQ

2

+CQ

2

-2BQ·CQ·cos∠BQC

=PB

2

+PA

2

-2PB·PAcos135°

2

)

2

=4a

2

+a

2

-2×2a×a×(-

解得BC=

522a

∴正方形的边长为

522a

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA

＝20°，求∠BED的度数．

A

解：在AB上取一点F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DG

∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60°

∴△BCG是正三角形 ∴BG=BC

∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA

又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF ∴AE=AF

1

∴∠AFE=∠AEF= （180°-∠A）=80°

2

又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°

∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°

∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°

∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50°

∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG

1

∠BGD=∠BDG= （180°-∠ABE）=80°

2

∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°

又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°

∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD

11

∴∠BED=∠FED= ∠FEG= ×60°=30°

22

5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙

O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，

BC=8，求线段PD的长。

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F

D

E

G

BC

⌒

∴AD=BD 解：∵∠ACD=∠BCD ∴

⌒

AD =BD

∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°

∴△ABD是等腰直角三角形

∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ∴AB=10

∴AD=AB·cos∠DAB=10×

又AE⊥CD，∠ACD=45°

∴△ACE是等腰直角三角形 ∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×

2

=3

2

2

2

=5

2

2

22

（52）-（32）32

∴DE=

42

在△ADE中，DE

2

=AD

2

-AE

2

∴DE

2

=

∴CD=CE+DE=3

2

+

42

=

72

∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P ∴△PDA∽△PCD ∴

∴PC=

PDPAAD525



PCPDCD

72

7

7575

35

PD，PA=PD ∵PC=PA+AC∴PD=PD+6 解得PD=

5757

4

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