大学-高等数学(Ⅱ)试题(E)+答案

2024年3月10日发(作者：考生数学试卷上画熊猫)

1

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大学-高等数学(Ⅱ)试题（E）

一、填空题(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

222





2xyz16

1．母线平行于x轴且通过曲线



的柱面方程是 。

222





xyz0

A. x

2

+2y = 16 B.3y

2

- z

2

= 16

C. 3x

2

+ 2z

2

= 16 D.-y

2

+ 3z

2

= 16

2．

函数

zf(x,y)

在点

(x

0

,y

0

)

处偏导数

f

x

(x

0

,y

0

)

,

f

y

(x

0

,y

0

)

存在是函数

z

在

点

(x

0

,y

0

)

存在全微分的（ ）；

A.充分条件； B.必要条件；

C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件.

3． z=xy+x

3

则

z

z

+=（ ）

x

y

A. x+y+2x

2

B. x+y+3x

3

C. 2x+y+3x

2

D. x+y

4．函数f(x,y,z)=4(x-y)-x

2

-y

2

( )

A. 有极大值8 B. 有极小值8

C. 无极值 D.有无极值不确定

5．

下列级数发散的是（ ）；





(1)

n

(1)

n

ln(1n)

;

B.



;

n

1n

n(1)

n2



A．



n2



C．



sin(



a);

D.

22

n2

n1



(1)

n

.

n1

二、填空题(本大题分5小题，每小题4分，,总计20分)

1．已知级数



u

n

的前n项部分和

s

n



n1



3n



n1 ,

n1

2



则此级数的通项

u

n



。

2．设D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知

=_______________.

2

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3． 设 则I = ________________。

4．设L是xoy面上圆周

x

2

y

2



1

的顺时针方向，则

I

1

 x

3

ds

与

I

2



L



y

L

5

ds

的大小关

系是___________________。

5．设有平面向量场A=2xyi+(x

2

+3x)j,则它沿正方形|x|+|y|=1正向的环流量为_________.

三、计算题(本大题分8小题，,总计51分)

1．(本小题6分)

设

zax



bx



y



cy



，求

zz

,

。

xy

2.(本小题5分)

计算

a和b都是正数。

3.(本小题5分)

已知

A(1,2,1),B(3,2,3),C(1,3,2)

，求

ABC

。

4.(本小题6分)

设

zxyf(xy)

，已知

y0

时，

zx

，求

f(x)

和

z

。

5.(本小题6分)

在

(0,1)

内把

f(x)1

展成以2为周期的正弦级数。

6.(本小题7分)

求方程

(xy2x)dx2ydy0

的通解。

7.(本小题10分)

试将函数

f



x





22

，其中C是星形线 的顺时针方向，

2

1

展开为

x

的幂级数。

2

1x

8.(本小题6分)

设空间闭区域

Ω

由曲面z=a

2

－x

2

－y

2

平面z=0所围成，∑为

Ω

的表面外侧，V是

Ω

的体积，a为正数。试证明：

三、证明题 (本大题共2小题，总计9分)

1、(本小题4分)

证明级数



(1)

n



n1



n1

n

1

sindx

收敛。

x

3

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2.(本小题5分)

试验证

ye

x

sinx

是微分方程

y



2y



2y0

的一条在原点处与直线

yx

相切

的积分曲线。

四、应用题 (本大题共2小题，总计10分)

1.(本小题5分)

计算由下列曲面z=x

2

+y

2

,y=1,z=0,y=x

2

所围成的曲项柱体的体积。(本小题5分)

2.( 本 小 题5分 )

设函数 f(t) 在 [0,] 连续， 且满足方程



f(

1

x

2

y

2

)dxdy, 求 f(t

x

2

y

2

a

2

2

).

e

4



t

2

 f(t)

4

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大学-高等数学(Ⅱ)试题（E）-答案

一、选择题：(每小题2分，共10分)

1. B ; 2. B ; 3. C ; 4. A ; 5. A

二、 1.

3

; 2. 0 ；

n(n1)

3. 3 ； 4.

I

1

I

2

;

5. 6 。

三、计算题 （共33分 ）

1.（8分）

解

zzuzv



………………………………….2分

xuxvx

uu



yesinv



ecos v



e[ysin(x-2y)



cos (x-2y)]

…………………………….2分

xy

zzuzv



………………………………….2分

yuyvy



xesinv



2ecos v

uu



e[ysin(x-2y)



2cos (x-2y)]

…………………………….2分

xy

2. （7分）

(x

2

y

2

)

1

r

2

2



解



e

D

dxdy



re

0

dr



d



………………………………….2分

0