2024年3月15日发(作者：小学第三单元数学试卷答案)

2020年全国统一高考数学试题（理科）（新课标Ⅲ卷）（带解

析）

一、单选题

B{(x,y)|xy8}

，

1

．

已知集合

A{(x,y)|x,yN

*

,yx}

，则

AB

中元素的个数为（

）

A

．

2

2

．复数

A

．

B

．

3

1

的虚部是（

）

13i

C

．

4 D

．

6

3

10

B

．

1

10

C

．

1

10

D

．

3

10

4

3

．在一组样本数据中，

1

，

2

，

3

，

4

出现的频率分别为

p

1

,p

2

,p

3

,p

4

，且

p

i

1

，则下

i1

面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（

）

A

．

p

1

p

4

0.1,p

2

p

3

0.4

C

．

p

1

p

4

0.2,p

2

p

3

0.3

B

．

p

1

p

4

0.4,p

2

p

3

0.1

D

．

p

1

p

4

0.3,p

2

p

3

0.2

4

．

Logistic

模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建

I(t)=

立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数

I(t)(t

的单位：天

)

的

Logistic

模型：

K

1e

0.23(t53)

，

其中

K

为最大确诊病例数．当

I(

t

*

)=0.95K

时，标志着已初步遏制疫情，则

t

*

约为（

）

（

ln19≈3

）

A

．

60 B

．

63 C

．

66 D

．

69

5

．设

O

为坐标原点，直线

x2

与抛物线

C

：

y

2

2px(p0)

交于

D

，

E

两点，若

ODOE

，则

C

的焦点坐标为（

）

1

A

．

,0

4

1

B

．

,0

2

C

．

(1,0)

D

．

(2,0)

6

．已知向量

a

，

b

满足

|a|5

，

|b|6

，

ab6

，则

cosa,ab=

（

）

A

．

31

35

B

．

19

35

C

．

17

35

D

．

19

35

2

7

．在

△ABC

中，

cosC=

，

AC=4

，

BC=3

，则

cosB=

（

）

3

1

A

．

9

1

B

．

3

C

．

2

1

2

D

．

3

8

．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（

）

试卷第1页，共4页

A

．

6+4

2

B

．

4+4

2

C

．

6+2

3

D

．

4+2

3

π

9

．已知

2tanθ–tan(θ+)=7

，则

tanθ=

（

）

4

A

．

–2 B

．

–1 C

．

1 D

．

2

1

10

．若直线

l

与曲线

y=

x

和

x

2

+y

2

=

都相切，则

l

的方程为（

）

5

A

．

y=2x+1 B

．

y=2x+

1

2

C

．

y=x+1

1

2

D

．

y=x+

1

2

1

2

x

2

y

2

11

．设双曲线

C

：

2

2

1

（

a>0

，

b>0

）的左、右焦点分别为

F

1

，

F

2

，离心率为

5

．

P

ab

是

C

上一点，且

F

1

P⊥F

2

P

．若

△PF

1

F

2

的面积为

4

，则

a=

（

）

A

．

1 B

．

2 C

．

4 D

．

8

12

．已知

5

5

<8

4

，

13

4

<8

5

．设

a=log

5

3

，

b=log

8

5

，

c=log

13

8

，则（

）

A

．

a

二、填空题

xy0,

13

．若

x

，

y

满足约束条件

2xy0，

，则

z=3x+2y

的最大值为

_________

．

x1,

B

．

b

．

b

．

c

14

．

(x

2

)

6

的展开式中常数项是

__________

（用数字作答）．

15

．已知圆锥的底面半径为

1

，母线长为

3

，则该圆锥内半径最大的球的体积为

_________

．

16

．关于函数

f

（

x

）

=

sinx

1

有如下四个命题：

sinx

2

x

①f

（

x

）的图象关于

y

轴对称．

②f

（

x

）的图象关于原点对称．

③f

（

x

）的图象关于直线

x=

④f

（

x

）的最小值为

2

．

试卷第2页，共4页

对称．

2

其中所有真命题的序号是

__________

．

三、解答题

17

．设数列

{a

n

}

满足

a

1

=3

，

a

n1

3a

n

4n

．

（

1

）计算

a

2

，

a

3

，猜想

{a

n

}

的通项公式并加以证明；

（

2

）求数列

{2

n

a

n

}

的前

n

项和

S

n

．

18

．某学生兴趣小组随机调查了某市

100

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼

的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

空气质量等级

1

（优）

2

（良）

3

（轻度污染）

4

（中度污染）

[0

，

200] (200

，

400] (400

，

600]

2

5

6

7

16

10

7

2

25

12

8

0

（

1

）分别估计该市一天的空气质量等级为

1

，

2

，

3

，

4

的概率；

（

2

）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点

值为代表）；

（

3

）若某天的空气质量等级为

1

或

2

，则称这天

“

空气质量好

”

；若某天的空气质量等级

2

列联表，并根据为

3

或

4

，则称这天

“

空气质量不好

”

．根据所给数据，完成下面的

2×

列联表，判断是否有

95%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量

有关？

空气质量好

空气质量不好

2

人次

≤400

人次

>400

n(adbc)

2

附：

K

，

(ab)(cd)(ac)(bd)

P(K

2

≥k)

k

试卷第3页，共4页

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828

19

．如图，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点

E,F

分别在棱

DD

1

,BB

1

上，且

2DEED

1

，

BF2FB

1

．

（

1

）证明：点

C

1

在平面

AEF

内；

（

2

）若

AB2

，

AD1

，

AA

1

3

，求二面角

AEFA

1

的正弦值．

x

2

y

2

15

20

．已知椭圆

C:

2

1(0m5)

的离心率为，

A

，

B

分别为

C

的左、右顶点．

25

m

4

（

1

）求

C

的方程；

（

2

）若点

P

在

C

上，点

Q

在直线

x6

上，且

|BP||BQ|

，

BPBQ

，求

APQ

的面积．

21

．设函数

f(x)x

3

bxc

，曲线

yf(x)

在点

(

，

f())

处的切线与

y

轴垂直．

22

（

1

）求

b

．

（

2

）若

f(x)

有一个绝对值不大于

1

的零点，证明：

f(x)

所有零点的绝对值都不大于

1

．

11

x2tt

2

，

22

．在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为

(t

为参数且

t≠1)

，

C

与坐

2

y23tt

标轴交于

A

，

B

两点

.

（

1

）求

|

AB

|

：

（

2

）以坐标原点为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线

AB

的极坐标方程

.

23

．设

a

，

b

，

c

R

，

a+b+c=0

，

abc=1

．

（

1

）证明：

ab+bc+ca<0

；

（

2

）用

max{a

，

b

，

c}

表示

a

，

b

，

c

中的最大值，证明：

max{a

，

b

，

c}≥

3

4

．

试卷第4页，共4页

参考答案

1

．

C

【分析】

采用列举法列举出

AB

中元素的即可

.

【详解】

yx

AB

由题意，中的元素满足

，且

x,yN

*

，

xy8

由

xy82x

，得

x4

，

所以满足

xy8

的有

(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)

，

故

AB

中元素的个数为

4.

故选：

C.

【点晴】

本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题

.

2

．

D

【分析】

利用复数的除法运算求出

z

即可

.

【详解】

因为

z

113i13

i

，

13i(13i)(13i)1010

所以复数

z

故选：

D.

【点晴】

3

1

的虚部为

.

13i

10

本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题

.

3

．

B

【分析】

计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组

.

【详解】

对于

A

选项，该组数据的平均数为

x

A

14

0.1

23

0.42.5

，

2

12.5

0.1

22.5

0.4

32.5

0.4

42.5

0.10.65

；

方差为

s

A

2222

答案第1页，共21页

对于

B

选项，该组数据的平均数为

x

B

14

0.4

23

0.12.5

，

2

12.5

0.4

22.5

0.1

32.5

0.1

42.5

0.41.85

；

方差为

s

B

2222

对于

C

选项，该组数据的平均数为

x

C

14

0.2

23

0.32.5

，

2

12.5

0.2

22.5

0.3

32.5

0.3

42.5

0.21.05

；

方差为

s

C

2222

对于

D

选项，该组数据的平均数为

x

D

14

0.3

23

0.22.5

，

2

12.5

0.3

22.5

0.2

32.5

0.2

42.5

0.31.45

.

方差为

s

D

2222

因此，

B

选项这一组的标准差最大

.

故选：

B.

【点睛】

本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题

.

4

．

C

【分析】

将

tt

代入函数

I

t

【详解】

I

t

K

1e

0.23

t53

K

1e

0.23

t53

结合

I

t

0.95K

求得

t

即可得解

.

，所以

I

t

K

1e

0.23t

53



0.95K

，则

e

0.23t

53



19

，

所以，

0.23

t53

ln193

，解得

t

3

5366

.

0.23

故选：

C.

【点睛】

本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题

.

5

．

B

【分析】

根据题中所给的条件

ODOE

，结合抛物线的对称性，可知

DOxEOx

确定出点

D

的坐标，代入方程求得

p

的值，进而求得其焦点坐标，得到结果

.

【详解】

因为直线

x2

与抛物线

y

2

2px(p0)

交于

E,D

两点，且

ODOE

，

4

，从而可以

答案第2页，共21页

根据抛物线的对称性可以确定

DOxEOx

4

，所以

D

2,2

，

1

代入抛物线方程

44p

，求得

p1

，所以其焦点坐标为

(,0)

，

2

故选：

B.

【点睛】

该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称

性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目

.

6

．

D

【分析】

计算出

aab

、

ab

的值，利用平面向量数量积可计算出

cosa,ab

的值

.

【详解】



a5

，

b6

，

ab6

，

aabaab5

2

619

.

ab



2

ab

2

a2abb2526367

，

22

因此，

cosa,ab

故选：

D.

【点睛】

aab

aab

1919

.

5735

本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计

算，考查计算能力，属于中等题

.

7

．

A

【分析】

AB

2

BC

2

AC

2

根据已知条件结合余弦定理求得

AB

，再根据

cosB

，即可求得答案

.

2ABBC

【详解】

在

ABC

中，

cosC

2

，

AC4

，

BC3

3

根据余弦定理：

AB

2

AC

2

BC

2

2ACBCcosC

2

AB

2

4

2

3

2

243

3

可得

AB

2

9

，即

AB3

答案第3页，共21页

由

AB

2

BC

2

AC

2

99161

cosB

2ABBC2339

故

cosB

故选：

A.

【点睛】

1

.

9

本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题

.

8

．

C

【分析】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其

表面积

.

【详解】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

1

根据立体图形可得：

S

△ABC

S

△ADC

S

△CDB

222

2

根据勾股定理可得：

ABADDB22

△ADB

是边长为

22

的等边三角形

根据三角形面积公式可得：

S

△ADB

113

ABADsin60(22)

2

23

222

该几何体的表面积是：

3223623

.

故选：

C.

【点睛】

本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体

图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题

.

9

．

D

【分析】

答案第4页，共21页

利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案

.

【详解】

tan

1

2tan

tan

7

，

2tan

7

，

4

1tan

1t

7

，整理得

t

2

4t40

，解得

t2

，即

tan

2

.

令

ttan

,t1

，则

2t

1t

故选：

D.

【点睛】

本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题

.

10

．

D

【分析】

根据导数的几何意义设出直线

l

的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案

.

【详解】

设直线

l

在曲线

yx

上的切点为

x

0

,x

0

，则

x

0

0

，

函数

yx

的导数为

y

1

2x



，则直线

l

的斜率

k

1

，

2x

0

设直线

l

的方程为

yx

0

1

xx

0

，即

x2x

0

yx

0

0

，

2x

0

x

0

1

1

由于直线

l

与圆

xy

相切，则，

14x

0

5

5

22

1

2

两边平方并整理得

5x

0

4x

0

10

，解得

x

0

1

，

x

0



（舍），

5

则直线

l

的方程为

x2y10

，即

y

故选：

D.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题

.

11

．

A

【分析】

根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案

.

【详解】

11

x

.

22

答案第5页，共21页

c

5

，

c5a

，根据双曲线的定义可得

PF

1

PF

2

2a

，

a

S

△PF

1

F

2

1

|PF

1

|PF

2

4

，即

|PF

1

|PF

2

8

，

2

2

2

F

1

PF

2

P

，

|PF

1

|

2

PF

2

2c

，

PF

1

PF

2

2

2PF

1

PF

2

4c

2

，即

a

2

5a

2

40

，解得

a1

，

故选：

A.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，

属于中档题

.

12

．

A

【分析】

由题意可得

a

、

b

、

c

0,1

，利用作商法以及基本不等式可得出

a

、

b

的大小关系，由

blog

8

5

，得

8

b

5

，结合

5

5

8

4

可得出

b

4

，由

clog

13

8

，得

13

c

8

，结合

13

4

8

5

，可

5

得出

c

4

，综合可得出

a

、

b

、

c

的大小关系

.

5

【详解】

由题意可知

a

、

b

、

c

0,1

，

a

log

5

3

lg3lg81

lg3lg8

lg3lg8



lg24





1

，

ab

；

2

blog

8

5lg5lg5

lg5

22lg5lg25



2

22

4

；

5

4

由

clog

13

8

，得

13

c

8

，由

13

4

8

5

，得

13

4

13

5c

，

5c4

，可得

c

.

5

由

blog

8

5

，得

8

b

5

，由

5

5

8

4

，得

8

5b

8

4

，

5b4

，可得

b

综上所述，

abc

.

故选：

A.

【点睛】

本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性

的应用，考查推理能力，属于中等题

.

13

．

7

【分析】

答案第6页，共21页

作出可行域，利用截距的几何意义解决

.

【详解】

不等式组所表示的可行域如图

因为

z3x2y

，所以

y

平移直线

y

z

3xz

，易知截距越大，则

z

越大，

2

22

3x

3xz

，当

y

经过

A

点时截距最大，此时

z

最大，

2

22

y2x

x1

由

，得

，

A(1,2)

，

x1

y2

所以

z

max

31227

.

故答案为：

7.

【点晴】

本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的

思想，是一道容易题

.

14

．

240

【分析】

2



写出

x

2

二项式展开通项，即可求得常数项

.

x



【详解】

6

2

2

x

x



其二项式展开通项：

T

r1

C

x

r

6

2

6r

6

2



x

答案第7页，共21页

r

r

C

6

x

122r

(2)

r

x

r

C

6

r

(2)

r

x

123r

当

123r0

，解得

r4

2

442

2

x



的展开式中常数项是：

C

6

2C

6

161516240

.

x



故答案为：

240

.

【点睛】

本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握

ab

的

展开通项公式

T

r1

C

n

a

15

．

2

3

rnr

n

6

b

r

，考查了分析能力和计算能力，属于基础题

.

【分析】

将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值

.

【详解】

易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其中

BC2,ABAC3

，且点

M

为

BC

边上的中点，

设内切圆的圆心为

O

，

由于

AM3

2

1

2

22

，故

S

△ABC

22222

，

设内切圆半径为

r

，则：

111

S

△ABC

S

△AOB

S

△BOC

S

△AOC

ABrBCrACr

222

1



332

r22

，

2

答案第8页，共21页

1

2

解得：

r

故答案为：

【点睛】

42

2

，其体积：

V

r

3

.

2

33

2

.

3

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接

点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为

正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球

面上，正方体的体对角线长等于球的直径

.

16

．

②③

【分析】

利用特殊值法可判断命题

①

的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题

②

的正误；利用对称

性的定义可判断命题

③

的正误；取

x0

可判断命题

④

的正误

.

综合可得出结论

.

【详解】

15

5

1

对于命题

①

，

f



2

，

f

2

，则

22

2

6

6

2



f

f



，

6



6

所以，函数

f

x

的图象不关于

y

轴对称，命题

①

错误；

对于命题

②

，函数

f

x

的定义域为

xxk

,kZ

，定义域关于原点对称，

f

x

sin

x

111



sinx

sinx

f

x

，

sin

x

sinxsinx



所以，函数

f

x

的图象关于原点对称，命题

②

正确；

11



f

x

sin

x

cosx

cosx

，

2



2

sin

x



2



f

x

f

x

，

2



2

对于命题

③

，

11



f

x

sin

x

cosx

cosx

，则

2



2

sin

x



2

所以，函数

f

x

的图象关于直线

x

2

对称，命题

③

正确；

对于命题

④

，当

x0

时，

sinx0

，则

f

x

sinx

命题

④

错误

.

故答案为：

②③.

【点睛】

答案第9页，共21页

1

02

，

sinx


更多推荐

考查,数据,公式,利用