2024年3月15日发(作者：山东2023年春季高考数学试卷)
一、选择题
1.
已知集合
A{(x,y)|x,yN
*
,yx}
，
B{(x,y)|xy8}
，则
A
A.
2
B.
3
C.
4
【答案】
C
【解析】
AB{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}
，有
4
个元素，故选
C.
1
2.
复数
的虚部是
13i
311
A.
B.
C.
101010
【答案】
D
113i13i
【解析】，故选
D.
13i(13i)(13i)10
B
中元素的个数为
（
）
D.
6
（
）
D.
3
10
3.
在一组样本数据中，
1
，
2
，
3
，
4
出现的频率分别为
p
1
，
p
2
，
p
3
，
p
4
，且
p
i
1
，
i1
4
则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A.
p
1
p
4
0.1
，
p
2
p
3
0.4
B.
p
1
p
4
0.4
，
p
2
p
3
0.1
C.
p
1
p
4
0.2
，
p
2
p
3
0.3
D.
p
1
p
4
0.3
，
p
2
p
3
0.2
【答案】
B
4
i1
（
）
【解析】根据每个选项中都有
p
1
p
4
，
p
2
p
3
，且
p
i
1
，∴各选项中样本平均值相
等，都为
2.5
，数值离其平均值之间的差异越大，标准差越大
.
显然，
B
选项中，大部分数
值与平均值之间的差异较大，∴选
B.
ic
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域
.
有学者根据公布数据建立了某
K
地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)
（
t
的单位：天）的
Logistic
模型：
I(t)
，
1e
0.23(t53)
其中
K
为最大确诊病例数
.
当
I(t
*
)0.95K
时，标志着已初步遏制疫情，则
t
*
约为
（
）
（
ln193
）
A.
60
B.
63
C.
66
D.
69
【答案】
C
K
11
0.23(t
*
53)*
0.95K
e0.23(t53)ln3
，∴
t
*
66
.
【解析】令，∴，
*
0.23(t53)
1919
1e
5.
设
O
为坐标原点，直线
x2
与抛物线
C
：
y
2
2px(p0)
交于
D
，
E
两点，若
ODOE
，则
C
的焦点坐标为
（
）
11
A.
(,0)
B.
(,0)
C.
(1,0)
D.
(2,0)
42
【答案】
B
【解析】不妨设
D(2,4p)
，
E(2,4p)
，
∵
ODOE
，∴
ODOE44p0
，解得
p1
，
1
故抛物线
C
的方程为
y
2
2x
，其焦点坐标为
(,0)
.
2
6.
已知向量
a
，
b
满足
|a|5
，
|b|6
，
ab6
，则
cosa,ab
31191719
A.
B.
C. D.
35353535
【答案】
D
22
（
）
【解析】由
a(ab)|a|
2
ab25619
，又
|ab|a2abb7
，所以
a(ab)1919
，故选
D.
|a||ab|
5735
2
7.
在
ABC
中，
cosC,AC4,BC3
，则
cosB
（
）
3
11
12
A. B. C. D.
23
93
【答案】
A
2|BC|
2
|AC|
2
|AB|
2
3
2
4
2
|AB|
2
【解析】由余弦定理可知：
cosC
，
32|BC||AC|234
cosa,ab
|AB|
2
|BC|
2
|AC|
2
3
2
3
2
4
2
1
.
可得
|AB|3
，又由余弦定理可知
cosB
2|AB||BC|2339
故选
A.
8.
如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
（
）
A.
642
B.
442
C.
623
D.
423
【答案】
C
【解析】由题可知该几何体是如图所示三棱锥
PABC
，底面
ABC
为等腰直角三角形，侧
11
棱
PC
底面
ABC
，其表面积为：
S3222222sin60623
，故选
22
C.
9.
已知
2tan
tan(
)7
，则
tan
（
）
4
A.
2
B.
1
C.
1
D.
2
【答案】
D
1tan
7
，化解得：
2tan
2tan
2
1tan
77tan
，【解析】由题可知
2tan
1tan
解得
tan
2
.
故选
D.
1
10.
若直线
l
与曲线
yx
和圆
x
2
y
2
都相切，则
l
的方程为
（
）
5
A.
y2x1
【答案】
D
【解析】由
yx
得
y
1
2x
B.
y2x
1
2
C.
y
1
x1
2
D.
y
11
x
22
，
假设直线
l
与曲线
yx
相切于点
(x
0
,x
0
)
，
则直线
l
的方程为
yx
0
1
2x
0
(xx
0
)
，即
x2x
0
yx
0
0
.
x
0
1
1
22
由直线
l
与圆
xy
相切知，，解得
x
0
1
，
14x
0
5
5
故直线
l
的方程为
x2y10
，即
y
11
x
.
22
x
2
y
2
11.
设双曲线
C:
2
2
1(a0,b0)
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，离心率为
5
.
P
是
C
上
ab
一点，且
F
1
PF
2
P
.
若
PF
1
F
2
的面积为
4
，则
a
（
）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
【答案】
A
【解析】
法一：设
PF
1
m
，
PF
2
n
，
1
则
S
PF
1
F
2
mn4
，
mn2a
，
m
2
n
2
4c
2
，可得
c
2
a
2
4
，
2
c
又
e5
，求得
a1
.
a
b
2
S
.
法二：由题意知双曲线的焦点三角形面积为
PF
1
F
2
tan
2
b
2
4
，解得
b2
，
所以
tan45
cb
2
又因为
e1
2
5
，所以
a1
.
aa
12.
已知
5
5
8
4
，
13
4
8
5
.
设
alog
5
3
，
blog
8
5
，
clog
13
8
，则
A.
abc
B.
bac
C.
bca
【答案】
A
【解析】易知
a,b,c(0,1)
，
（
）
D.
cab
(log
5
3log
5
8)
2
(log
5
24)
2
a
log
5
3
2
2
log
5
3log
5
8 1
知
ab
，
由
blog
8
5444
因为
blog
8
5
，
clog
13
8
，所以
8
b
5,13
c
8
，即
8
5b
5
5
,13
4c
8
4
，
又因为
5
5
8
4
,13
4
8
5
，所以
13
4c
8
4
5
5
8
5b
13
4b
，即
bc
，
综上所述：
abc
.
故选：
A.
二、填空题
xy0
13.
若
x
，
y
满足约束条件
2xy0
，则
z3x2y
的最大值为
________.
x1
【答案】
7
【解析】作出可行域如图所示，
31
由
z3x2y
知
yxz
，
22
由图可知，当目标函数过点
A(1,2)
时，取得最大值，即
z
max
7
.
2
14.
(x
2
)
6
的展开式中常数项是
________
（用数字作答）
.
x
【答案】
240
r123r
x
【解析】因为
T
r1
C
6
r
x
2(6r)
2
r
x
r
2
r
C
6
，由
123r0
得
r4
，所以常数项为
240
.
15.
已知圆锥的底面半径为
1
，母线长为
3
，则该圆锥内半径最大的球的体积为
________.
2
【答案】
3
【解析】分析知圆锥内半径最大的球的应为该圆锥的内切球，如下图，由题可知该圆
锥的母线长为
BS3
，底面半径为
BC1
，高为
SCBS
2
BC
2
22
，
不妨设该内切圆与母线
BS
切于
D
点，令
ODOCr
，则由
SOD∽SBC
，可得
r1
ODBC
得
r
2
，此时
V
4
r
3
2
.
，即
OSBS
22r
3
233
1
.
sinx
①
f(x)
的图像关于
y
轴对称；
②
f(x)
的图像关于原点对称；
16.
关于函数
f(x)sinx
③
f(x)
的图像关于直线
x
2
对称；
④
f(x)
的最小值为
2
.
其中所有真命题的序号是
________.
【答案】②③
【解析】对于①，由
sinx0
可得函数的定义域为
{x|xk
,kZ}
，故定义域关于原点对
11
f(x)sin(x)sinxf(x)
，所以该函数为奇函数，关于原点称，由
sin(x)sinx
11
sinxf(x)
，所以对称，①错②对；对于③，
f(
x)sin(
x)
sin(
x)sinx
f(x)
关于
x
2
对称，③对；对于④，令
tsinx
，则
t[1,0)(0,1]
，由双勾函数
1
f(t)t
的性质，可知
f(t)(,2][2,)
，所以
f(x)
无最小值，④错
.
t
三、解答题
17.
设数列
{a
n
}
满足
a
1
3
，
a
n1
3a
n
4n
.
（
1
）计算
a
2
,a
3
.
猜想的通项公式并加以证明；
（
2
）求数列
{2
n
a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
【解析】（
1
）由
a
1
3
，
a
n1
3a
n
4n
，
a
2
3a
1
45
﹐
a
3
3a
2
427
，
…
猜想
{a
n
}
的通项公式为
a
n
2n1
.
利用数学归纳法证明：
（
i
）当
n1,2,3
时，显然成立；
（
ii
）假设
nk(kN
)
时猜想成立，即
a
k
2k1
，
则
nk1
时，
a
k1
3a
k
4k3(2k1)4k2(k1)1
，
所以
nk1
时猜想也成立，
综上（
i
）（
ii
），所以
a
n
2n1
.
（
2
）令
b
n
2
n
a
n
(2n1)2
n
，
则
S
n
b
1
b
2
b
n
32
1
52
2
(2n1)2
n
……
①，
2S
n
32
2
52
3
(2n1)2
n
(2n1)2
n1
……
②，
2
由①
②得，
S
n
322222(2n1)2
nn1
2
3
(12
n1
)
6(2n1)2
n1
，
12
化简得
S
n
(2n1)2
n1
2
.
18.
某学生兴趣小组随机调查了某市
100
天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人
次，整理数据得到下表（单位：天）：
（
1
）分別估计该市一天的空气质量等级为
1,2,3,4
的概率；
（
2
）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（
3
）若某天的空气质量等级为
1
或
2
，则称这天
“
空气质量好
”
；若某天的空气质量等级为
3
或
4
，则称这天
“
空气质量不好
”
，根据所给数据
.
完成下面的
22
列联表
.
并根据列联表，
判断是否有
95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
n(adbc)
2
附：
K
，
(ab)(cd)(ac)(bd)
2
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