2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目

2023年12月30日发(作者：大学2019应用数学试卷)

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目

1. 题目一

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且满足$f(a)=-1$，$f(b)=3$。证明：对于任意实数$k$，在区间$[a,b]$上至少存在一点$c$，使得$f(c)-f(a)=k(c-a)$。

2. 题目二

已知正整数$n>1$，且$n$与$n+1$互质。定义数列${a_k}$满足$a_1=n$，$a_2=n+1$，且对于$kgeq 1$有[a_{k+2}=frac{a_{k+1}+a_k}{text{gcd}(a_{k+1},a_k)}.]证明：数列${a_k}$中不存在连续的三个不等于1的整数。

3. 题目三

平面上有$2023$个点，任意三点不共线。现将这些点两两连接，得到若干条线段。试证明：存在至少$10$条线段，它们共点于同一点上。

4. 题目四

设$a,b$为正整数，且满足$(a+1)^{b+1}-(a-1)^{b+1}=2023$。求$(a,b)$的所有可能的整数解。

5. 题目五

将正整数$n$表示为两个不同素数的乘积，即$n=pq$，其中$p$和$q$均为素数，且$p < q$。设$S=(p+1)^2+q^2$。求满足条件的$n$的所有可能取值，并给出满足条件的所有$n$对应的$S$的最大值。

6. 题目六

已知三角形$ABC$的三个内角$A,B,C$满足$cos A+cos B+cos C =

2$。证明：三角形$ABC$为等边三角形。

7. 题目七

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：对于任意$epsilon > 0$，存在有理数$m/n$，其中$m$为自然数，$n$为正整数，且$left| frac{m}{n} - fleft(frac{m}{n}right) right| <

epsilon$。

8. 题目八

已知正整数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=2023$。证明：$(a+b)(b+c)(c+a)$为完全平方数的充分必要条件是$a=b=c$。

以上是2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛的八道题目。每道题都有一定的难度和深度，涉及到不同领域的数学知识。希望参赛的中学生们能够认真思考，独立解答，并且在比赛中展现出自己的数学才华。加油！