2014年数学二真题+答案解析

2024年2月14日发(作者：高中数学试卷清华)

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．1(1) 当x0时，假设ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是( )

(A)

(2,) (B)

(1,2) (C)

(,1)

12 (D)

(0,)

12(2) 以下曲线中有渐近线的是 ( )

(A)

yxsinx

(C)

yxsin

(B)

yxsinx

(D)

yxsin221

x1

x(3) 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在区间[0,1]上 〔 〕

(A) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(C) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(B) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(D) 当f(x)0时，f(x)g(x)

2xt7(4) 曲线上对应于t1的点处的曲率半径是 〔 〕

2yt4t1 (A)10

50函 (B)10

100 (C)1010 (D)510

(5) 设数f(x)arctanx，假设f(x)xf()，则limx02x2

〔 〕

(A)1 (B)2

3 (C)1

2 (D)1

32u(6) 设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足0xy2u2u及220，则 〔 〕

xy(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得

1

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(B)

u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得

(C)

u(x,y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得

(D)

u(x,y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得

0a(7) 行列式b0b 〔 〕

0d

(B)

(adbc)

(D)

bcad

22222a000cdc020(A)

(adbc)

(C)

adbc

2222(8) 设1,2,3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组1k3,2l3线性无关是向量组

1,2,3线性无关的 〔 〕

(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件

二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．((9)

1x22x5dx__________.

1(10) 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x)2(x1),2yz则f(7)__________.

x[0,2]，

(11) 设zz(x,y)是由方程e7xy2z确定的函数，则dz411(,)22__________.

(12) 曲线rr()的极坐标方程是r，则L在点(r,)(__________.

,)处的切线的直角坐标方程是222(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,假设其线密度xx2x1,则该细棒的质心坐标x__________.

(14) 设二次型fx1,x2,x3x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围为22_______.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．． 2

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明过程或演算步骤.

(15)(此题总分值10分)

求极限limxx121tte1tdt.

1x2ln1x22(16)(此题总分值10分)

已知函数yyx满足微分方程xyy1y，且y20，求yx的极大值与极小

值.

(17)(此题总分值10分)

设平面区域Dx,y1x2y24,x0,y0,计算Dxxsinx2y2xydxdy.

(18)(此题总分值10分)

2z2zx2x设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(ecosy)满足22(4zecosy)e，假设xyf(0)0,f\'(0)0，求f(u)的表达式.

(19)(此题总分值10分)

设函数f(x),g(x)的区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1.证明：

(I)0(II)xabg(t)dtxa,x[a,b],

aaag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx.

a(20)(此题总分值11分)

设函数f(x)x,x0,1，定义函数列f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),1x,

fn(x)f(fn1(x)),极限limnSn.

n，记Sn是由曲线yfn(x)，直线x1及x轴所围成平面图形的面积，求(21)(此题总分值11分)

已知函数f(x,y)满足f2(y1)，且f(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线f(x,y)0y3

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所围成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积.

(22)(此题总分值11分)

1234 设矩阵A0111，E为三阶单位矩阵.

1203(I)求方程组Ax0的一个基础解系；

(II)求满足ABE的所有矩阵.

(23)(此题总分值11分)

111 证明n阶矩阵1110与01110

0102相似.

0n4

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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．1(1) 当x0时，假设ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是( )

(A)

(2,)

【答案】B

(B)

(1,2) (C)

(,1)

12 (D)

(0,)

12ln(12x)(2x)limlim2x10 【解析】由定义

limx0x0x0xx 所以10，故1.

21当x0时，(1cosx)~x1是比x的高阶无穷小，所以22 故选B

10，即2.

(2) 以下曲线中有渐近线的是 ( )

(A)

yxsinx

(C)

yxsin【答案】C

(B)

yxsinx

(D)

yxsin221

x1

xxsin【解析】关于C选项：limx11sinxlim1limx101.

xxxx5

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111lim[xsinx]limsin0，所以yxsin存在斜渐近线yx.

xxxxx故选C

(3) 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在区间[0,1]上 〔 〕

(A) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(C) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(B) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(D) 当f(x)0时，f(x)g(x)

【答案】D

【解析】令F(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)xf(x)，则

F(0)F(1)0,

F(x)f(0)f(1)f(x),F(x)f(x).

假设f(x)0，则F(x)0，F(x)在[0,1]上为凸的.

又F(0)F(1)0，所以当x[0,1]时，F(x)0，从而g(x)f(x).

故选D.

(4) 曲线xt27上对应于t1的点处的曲率半径是

yt24t1(A)1050 (B)10100 (C)1010 (D)510

【答案】C

【解析】

dy2t4dxt12tt132d2ydy\'2

dx2t1dxt1t2tt11ky\'\'1,R11y\'2321q32k1010

故选C

6

〔 〕

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(5) 设函数f(x)arctanx，假设f(x)xf()，则limx02x2

〔 〕

(A)1

【答案】D

【解析】因为 (B)2

3 (C)1

2 (D)1

3f(x)1xf(x)2f\'()，所以

x12f(x)2

limx0x2limx0xf(x)xarctanxlimlimx2f(x)x0x2arctanxx0111x21

3x23 故选D.

2u(6) 设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足0xy2u2u及220，则 〔 〕

xy(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得

(B)

u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得

(C)

u(x,y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得

(D)

u(x,y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得

【答案】A

2u2u2u,C2,B0,A,C相反数 【解析】记A2,Bxxyy则=AC-B0,所以u(x,y)在D内无极值，则极值在边界处取得.

故选A

20ab0b ( )

0d2a00(7) 行列式0cdc(A)(adbc) (B)(adbc) (C)adbc (D)bcad

7

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【答案】B

【解析】由行列式的展开定理展开第一列

0ab0a000cdc00bacd000dab0dacbd000c00b

ad(adbc)bc(adbc)

(adbc).

(8) 设a1,a2,a3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组a1ka3,a2la3线性无关是向量组2a1,a2,a3线性无关的 ( )

(A)必要非充分条件

(C)充分必要条件

【答案】A

【解析】1k3

(B)充分非必要条件

(D)既非充分也非必要条件

2l31210301.

kl10013，C. 假设1,2,3线性kl) 记A1k32l3，B12无关，则r(A)r(BC)r(C)2，故1k3,2l3线性无关.

) 举反例. 令30，则1,2线性无关，但此时1,2,3却线性相关.

综上所述，对任意常数k,l，向量1k3,2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的必要非充分条件.

故选A

二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．1x22x5dx__________.

3【答案】

8(9)

1 8

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【解析】

1111x1dxdxarctanx22x5x1242211132428

(10) 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x)2(x1),【答案】1

【解析】f\'x2x1，x0,2且为偶函数

则f\'x2x1，x2,0

又fxx22xc且为奇函数，故c=0

则f(7)__________.

x[0,2]，

fxx22x，x2,0

又fx的周期为4，f7f11

2yz(11) 设zz(x,y)是由方程e7xy2z确定的函数，则dz411(,)22__________.

【答案】1(dxdy)

22yz【解析】对e7xy2z方程两边同时对x,y求偏导

4zz2yze2y10xx

zze2yz(2z2y)2y0yy当x11,y时,z0

2211(,)22故zx1z,2y11(,)221

2故dz11(,)22111dx()dy(dxdy)

2229

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(12) 曲线limnSn的极坐标方程是r，则L在点(r,)(n,)处的切线的直角坐标方程是22__________.

【答案】y2x2

xrcoscos【解析】由直角坐标和极坐标的关系

，

yrsinsin于是r,,,对应于x,y0,,

222dydydydcossin切线斜率

dxdxdxcossind2所以切线方程为yx0

22即y=x

20,22

(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,假设其线密度xx22x1,则该细棒的质心坐标x__________.

【答案】11

2010xxdx【解析】质心横坐标x

xdx10x3152xdx=x2x1dxxx00033

4211x23x1112xxdx=xx2x1dx43x2012001111x12=

5203112(13) 设二次型fx1,x2,x3x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围22 10

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_________.

【答案】2,2

【解析】配方法：fx1,x2,x3x1ax3ax3x22x34x3

22222由于二次型负惯性指数为1，所以4a0，故2a2.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤.

(15)(此题总分值10分)

2求极限limxx121tte1tdt.

1x2ln1xx121dt2dtttt(e1)tt(e1)t1lim1 【解析】limxx11x2ln(1)x2xxxlim[x(e1)x]

x1tx21xet1tet1t1limlimlim.

t0t02tt02tt2222(16)(此题总分值10分)

已知函数yyx满足微分方程xyy1y，且y20，求yx的极大值与极小

值.

【解析】 由xyy1y，得

(y1)y1x………………………………………………………①

此时上面方程为变量可别离方程，解的通解为

2222131yyxx3c

332 由y(2)0得c

3

1x2 又由①可得

y(x)2

y1 当y(x)0时，x1，且有：

11

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x1,y(x)01x1,y(x)0

x1,y(x)0所以y(x)在x1处取得极小值，在x1处取得极大值

y(1)0,y(1)1

即：y(x)的极大值为1，极小值为0.

(17)(此题总分值10分)

设平面区域Dx,y1x2y24,x0,y0,计算Dxsinx2y2xydxdy.

【解析】D关于yx对称，满足轮换对称性，则：

xsin(x2y2)ysin(x2y2)dxdydxdy

xyxyDDxsin(x2y2)1xsin(x2y2)ysin(x2y2)Idxdydxdy

xy2xyxyDD122sin(xy)dxdy

2D212dsinrrdr120

21()rdcosr41212cosrr|1cosrdr

1411221sinr|1

43

4(18)(此题总分值10分)

2z2zx2x设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(ecosy)满足22(4zecosy)e，假设xyxf(0)0,f\'(0)0，求f(u)的表达式.

12

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【解析】由zfexcosy,zzf(excosy)excosy,f(excosy)exsiny

xy2zxxxxxf(ecosy)ecosyecosyf(ecosy)ecosy，

2x2zf(excosy)exsinyexsinyf(excosy)excosy

2y2z2zx2x+4zecosye由 ，代入得，

22xyfexcosye2x[4fexcosyexcosy]e2x

即

fexcosy4fexcosyexcosy，

令ecosy=t,得ft4ftt

x特征方程

40,2 得齐次方程通解yc1e2tc2e2t

211,b0，特解y*t

4412t2t则原方程通解为y=ftc1ec2et

411\'由f00,f00，得c1,c2, 则

1616111y=fue2ue2uu.

16164设特解yatb，代入方程得a*(19)(此题总分值10分)

设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1，证明：〔I〕0g(t)dtxa,x[a,b],

ax〔II〕aaag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx.

ab【解析】〔I〕由积分中值定理gtdtgxa,[a,x]

ax0gx1，0gxaxa

13

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0gtdtxa

ax〔II〕直接由0gx1，得到

0gtdt1dt=xa

aaxx〔II〕令FufxgxdxauaF\'ufugufagtdtguaaagtdtfxdx

uugufufagtdtau

由〔I〕知0uagtdtua

aagtdtu

au又由于fx单增，所以fufagtdt0

uaF\'u0，Fu单调不减，FuFa0

取ub，得Fb0，即〔II〕成立.

(20)(此题总分值11分)

设函数f(x)x,x0,1，定义函数列

1x,fn(x)f(fn1(x)),nf1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),，记Sn是由曲线yfn(x)，直线x1及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnSn.

【解析】f1(x)xxxx,f2(x),f3(x),,fn(x),

1x12x13x1nx11x111xnndx

Snfn(x)dxdx001nx01nx11111111dxdx2ln(1nx)10

n0n01nxnn112ln(1n)

nnln(1n)ln(1x)1limnSn1lim1lim1lim101

nnxxnx1x14

(21)(此题总分值11分)

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已知函数f(x,y)满足f2(y1)，且f(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线yf(x,y)0所围成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积.

【解析】因为f2(y1),所以f(x,y)y22y(x),其中(x)为待定函数.

y又因为f(y,y)(y1)22ylny,则(y)12ylny，从而

f(x,y)y22y12xlnx(y1)22xlnx.

令f(x,y)0,可得(y1)22xlnx，当y1时，x1或x2，从而所求的体积为

Vy1dx2xlnxdx1122221x2lnxd2x222x2xlnx(2x)2dx12122

2ln2(2x(22)(此题总分值11分)

x255)12ln22ln2.4441234 设矩阵A0111，E为三阶单位矩阵.

1203(I)求方程组Ax0的一个基础解系；

(II)求满足ABE的所有矩阵B.

【解析】

1234100123410001110100111010AE

1203001043110161123410010012100102131,

0111000131410013141 15

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

(I)Ax0的基础解系为1,2,3,1

(II)e11,0,0,e20,1,0,e30,0,1

TTTTAxe1的通解为xk12,1,1,02k1,12k1,13k1,k1

TTAxe2的通解为xk26,3,4,06k2,32k2,43k2,k2

Axe3的通解为xk31,1,1,01k3,12k3,13k3,k3

TTTT6k21k32k112k32k12k123B13k143k213k3kkk123(23)(此题总分值11分)

〔k1,k2,k3为任意常数〕

1111 证明n阶矩阵111010与100102相似.

0n1121，B=00【解析】已知A11n则A的特征值为n，0(n1重).

1，

A属于n的特征向量为(1,1,的解向量，即A属于,1)T；r(A)1，故Ax0基础解系有n1个线性无关0有n1个线性无关的特征向量；故A相似于对角阵.

0B的特征值为n，0(n1重)，同理B属于0有n1个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵.

由相似关系的传递性，A相似于B.

n0= 16