人教B版高中数学必修2解析几何公式+知识点

2024年3月23日发(作者：安徽中考数学试卷推荐高中)

人教B版高中数学必修2解析几何公式+知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,

我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。

即

ktan



。斜率反映直线与轴的倾斜程度。



当



0



,90



时，

k0

； 当



90



,180



时，

k0

； 当



90

时，

k

不存在。







②过两点的直线的斜率公式：

k

y

2

y

1

(x

1

x

2

)

x

2

x

1

注意下面四点：(1)当

x

1

x

2

时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)

k

与

P

1

、

P

2

的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求

直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：

yy

1

k(xx

1

)

直线斜率k，且过点



x

1

,y

1



（老师推荐！）

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是

y=y

1

。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因

l

上每一点的

横坐标都等于

x

1

，所以它的方程是

x

=

x

1

。

②斜截式：

ykxb

，直线斜率为

k

，直线在

y

轴上的截距为

b

③两点式：

④截矩式：

yy

1

xx

1



（

x

1

x

2

,y

1

y

2

）直线两点



x

1

,y

1



，



x

2

,y

2



y

2

y

1

x

2

x

1

xy

1

ab

其中直线

l

与

x

轴交于点

(a,0)

,与

y

轴交于点

(0,b)

,即

l

与

x

轴、

y

轴的截距分别为

a,b

。

⑤一般式：

AxByC0

（A，B不全为0）

1

各式的适用范围 ○

2

特殊的方程如： 注意：○

平行于x轴的直线：

yb

（b为常数）； 平行于y轴的直线：

xa

（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线

A

0

xB

0

yC

0

0

（

A

0

,B

0

是不全为0的常数）的直线系：

A

0

xB

0

yC0

（C为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为

k

的直线系：

（ⅱ）过两条直线

l

1

:

yy

0

k



xx

0



，直线过定点



x

0

,y

0



；

A

1

xB

1

yC

1

0

，

l

2

:A

2

xB

2

yC

2

0

的交点的直线系方程为

，其中直线

l

2

不在直线系中。



A

1

xB

1

yC

1









A

2

xB

2

yC

2



0

（



为参数）

（6）两直线平行与垂直

当

l

1

:yk

1

xb

1

，

l

2

:yk

2

xb

2

时，

l

1

//l

2

k

1

k

2

,b

1

b

2

；

l

1

l

2

k

1

k

2

1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

l

1

:A

1

xB

1

yC

1

0

l

2

:A

2

xB

2

yC

2

0

相交

A

1

xB

1

yC

1

0

交点坐标即方程组



的一组解。





A

2

xB

2

yC

2

0

方程组无解

l

1

//l

2

； 方程组有无数解



l

1

与

l

2

重合

（8）两点间距离公式：设

A(x

1

,y

1

)，（

是平面直角坐标系中的两个点，

Bx

2

,y

2

）

则

|AB|(x

2

x

1

)

2

(y

2

y

1

)

2

（9）点到直线距离公式：一点

P



x

0

,y

0



到直线

l

1

:AxByC0

的距离

d

Ax

0

By

0

C

A

2

B

2

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程



xa







yb



r

2

，圆心

22



a,b



，半径为r；



22



（2）一般方程

x

2

y

2

DxEyF0

DE



，半径为

r

1

D

2

E

2

4F

当

DE4F0

时，方程表示圆，此时圆心为





,



22

2

当

DE4F0

时，表示一个点； 当

DE4F0

时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线

l:AxByC0

，圆

C:



xa



2





yb



2

r

2

，圆心

C



a,b



到

l

的距离为

d

AaBbC

，则有

d

A

2

B

2

2222

rl与C相离

；

drl与C相切

；

drl与C相交

22

（2）设直线

l:AxByC0

，圆

C:



xa







yb



r

2

，先将方程联立消元，得到一个一元二

次方程之后，令其中的判别式为



，则有

0l与C相离

；

0l与C相切

；

0l与C相交

2

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式

xx

0

yy

0

r

去解直线与圆相切的问题，其中

x

0

,y

0

表

示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

2

①圆x

2

+y

2

=r

2

，圆上一点为(x

0

，y

0

)，则过此点的切线方程为

xx

0

yy

0

r

(课本命题)．

②圆(x-a)

2

+(y-b)

2

=r

2

，圆上一点为(x

0

，

y

0

)，则过此点的切线方程为(x

0

-a)(x-a)+(y

0

-b)(y-b)= r

2

(课本命题

的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（

d

）之间的大小比较来确定。

设圆

C

1

:



xa

1



2





yb

1



2

r

2

，

C

2

:



xa

2



2





yb

2



2

R

2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（

d

）之间的大小比较来确定。

当

dRr

时两圆外离，此时有公切线四条；

当

dRr

时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当

RrdRr

时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当

dRr

时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当

dRr

时，两圆内含； 当

d0

时，为同心圆。

