数学建模试题及答案

2024年3月11日发(作者：今年太原中考一模数学试卷)

数学建模试题及答案

1．设某产品的供给函数



(p)

与需求函数

f(p)

皆为线性函数：



(p)3p4,f(p)kp9

其中

p

为商品单价，试推导

k

满足什么条件使市场稳定。

解：设Pn表示t=n时的市场价格，由供求平衡可知：



(p

n1

)f(p

n

)

2分

3p

n1

4kp

n

9

即：

p

n



p

n



35

p

n1



kk

经递推有：

3355

(p

n2

)



kkkk

n

3

()p

0



k



3

()

k

n1

n

n1

5



k

6分

p

0

表示初始时的市场价格

当n→∞时:

若



3

1时,

即

0k3,则p

n

收敛,即市场稳定

。 10分

k

2．某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们计划用AA型植物与每种基

因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，

这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？

依题意设未杂交时aa 、Aa、AA的分布分别为

a

0

,b

0

,c

0

，杂交n代后分别为an bn

cn (向为白分手)

由遗传学原理有：





a

n

0a

n1

0b

n1

0c

n1



1





b

n

a

n1

b

n1

0c

n1

4分

2





c

n

0a

n1



1

b

n1

c

n1



2



设向量

x

n

(a

n

.b

n

.c

n

)

T

x

n

MX

n1





000





1



0



式中

M



1



2



1



01





2





递推可得：

X

n

M

n

X

0

对M矩阵进行相似对角化后可得：



000





1

0







0

2



001



其相似对角阵



100





p

1

p



210







111





从而

M

n

p

n

p

1



100



100



1



0



n









210





()

1





210





2





111



111









000



1

n1

1

n1n

M



()()0



22



11



1()

n1

1()

n1

1





22



a

n

0

11

b

n

a

0

()

n1

b

0

()

n1

0

8分

22

11

c

n

c

0

(1()

n1

)a

0

(1()

n1

)b

0

22

当

n

时，

a

n

0,b

n

0,c

n

1

。 10分

3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为

什么？

解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M，

当前人口数量为N（t），r 为比例系数。建立模型：

dN(t)N(t)

r(1)N(t)

dtM

N|

t0

N

0

4分

求解得到

N(t)

N

m

N

1(

m

1)e

rt

N

0

6分

注意到当

N(t)M

时，

r(1

N(t)

)r

并说明r即为自然增长率。 10分

M

4．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随

后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，

DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。

谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒

减少了。试建立数学模型解释这个现象。

解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：



dx



dt

axbxy

（1）



式中a b c f均大于零。 4分

dy



cyfy



dt

解方程组（1）

dxaxbxy



dycyfy

得：

(aby)dyfxc

dx

yx

alnyclnxfxbyk

y

a

x

c

e

fxby

k



y

a

x

c

（3）

fcby

k



ee

式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，

由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值

则有

x

1

T

1y



(c)dt



0

Tfy

y

1

T

1x



(a)dt

6分



0

Tbx

x

=

y

=

cc

+

[lny(T)lny(0)]

=

ff

aa

+

[ln

×

(T)ln

×

(0)]

=

bb

当使用杀虫剂DDT后，设杀死介壳虫，



x(t)

，澳洲瓢虫



y(t)



dx



dt

ax



xbxy(a



)xbxy

则有模型为：



dy



cy



yfxy(c



)yfxy



dt

显然此时有：

x

c



f

y

a



b

即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 10分

5．根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概

率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟

定三个处置方案：

（1） 运走，需支付运费15万元。

（2） 修堤坝保护，需支付修坝费5万元。

（3） 不作任何防范，不需任何支出。

若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），

则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么

当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，

发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。

解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：

运走 -15

不发生洪水0.95 -5

A -15 修坝 B

发生洪水0.05 -405

平水0.9 0

C 高水0.05 -200

洪水0.05 -400

E(A)=-15 （2分）

E(B)=0.95×(-5)+0.05×（-405）= -25 （5分）

E(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30 （8分）

所以-E(A)< -E(B)< -E(C)，因而A方案是最佳决策方案。 （10分）

6．某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的

柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果

生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，

建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产

（包括储存、维护）费用最小。

季度 生产能力（台） 三位成本（万元/

台）

一 25 10.8

二 35 11.1

三 30 11.0

四 10 11.3

解：设

x

ij

为第

i

季度生产的用于第

j

季度交货的柴油机的台数，则由题意 ：

x

11

10





x

12

x

22

15



（3分）





x

13

x

23

x

33

25





x

14

x

24

x

34

x

44

20

又由生产能力的要求，有

x

44

<

10

x

33

+

x

34

<

30

x

22

+

x

23

+

x

24

<

35

x

11

+

x

12

+

x

13

+

x

14

<

25

（6分）

再设

c

ij

表示第

i

季度生产的用于第

j

季度交货的每台柴油机的实际成本，其值如

下表：

i

j

1

2

3

4

1

10.8

2

10.95

11.10

3

11.10

11.25

11

4

11.25

11.40

11.15

11.30

设

a

i

表示第j季度的生产能力，

b

j

表示第

i

季度的合同供应量，则建立本问题模

型：

minz=

∑∑

c

ij

x

ij

i

=

1j

=

1

44

s.t.



x

j1

4

ij

a

i

（10分）

b

j



x

i1

4

ij

x

ij

0

7．考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知13岁至18岁各年龄组

的四项指标为

X

0

——生长发育不良的比率；

X

1

——五项身体素质不及格的比

率；

X

2

——营养不良比率；

X

3

——患病比率，数据见下表：

年龄

X

0

13

40.39

32.29

37.25

14

46.08

34.31

37.25

15

47.06

33.33

25.50

16

47.26

35.40

12.75

17

48.98

37.68

9.8

18

49.06

42.16

16.67

X

1

X

2

X

3

6.36 8.23 9.36 7.3 5.2 6.5

请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发育不良影响大？

分辨系数



0.5

.

解：

（1）进行初始化处理

X

0

(

40.3946.0847.0647.2648.98949.06

,,,,,,)

40.3940.3940.3940.3940.3940.39

（2

(1.,1.1409,1.1651,1.1701,1.2127,1.2147)

分）

同理得到

X

0

(1,1.0626,1.0322,1.0963,1.1669,1.3057)

及

X

2

，

X

3

（5分）

（2）利用公式

ξ

i

(k)

minmin

iki

X

0

(k)X

i

(k)ρ

maxmax

X

0

(k)

iki

X

i

(k)

X

0

(k)X

i

(k)ρ

maxmax

X

0

(k)

iki

X

i

(k)

计算各个关联系数：

ξ78,0.87,0.91,0.84)

1

=

(1,0.86,0.

ξ5,0.36,0.33,0.38)

2

=

(1,0.77,0.

ξ

3

(1,0.76,0.61,0.96,0.55,0.71)

（8分）

（3）计算关联度

1

n

利用公式

r

i



∑

ξ

i

(k)

得到

n

k1

r

1

0.876

，

r

2

0.558

，

r

3

0.763

从而

X

1

即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。（10分）

———————————————————————————————————————

1．（10分）设某产品的供给函数



(p)

与需求函数

f(p)

皆为线性函数：



(p)5p6f(p)8p7

其中

p

为商品单价，试判断市场是否稳定并给出推理过程。

2．（10分）某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们计划用AA型植

物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过

若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？

3．（10分）建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的

捕捞量。

4. （10分）试建立Lanchester游击战模型，并在无自然损失及没有增援的

条件下求解模型，给出敌对双方获胜的条件。

5. （10分）根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.7, 出现高

水水情的概率为0.2, 出现洪水水情的概率为0.1。.位于江边的某工地对其大型施

工设备拟定三个处置方案：

a) 运走，需支付运费20万元。

b) 修堤坝保护，需支付修坝费8万元。

c) 不作任何防范，不需任何支出。

若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），

则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失600万元的设备；若采用方案（3），那么

当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失300万元，

发生洪水时损失设备600万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。

6．（10分）由七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽

和高时一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以公斤计）是不同的。下

表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2米的地方可用

来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。由于当地货运得限制，对C

5

，C

6

，

C

7

类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超

过302.7厘米。试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。

C

1

C

2

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

t(厘米) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0

W(公斤) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000

件数 8 7 9 6 6 4 8

7．（10分）以你的专业知识举一个灰色系统理论方面的问题，论述其灰色

特征，并提出你的解决办法。

______

1.解：由题意：

183

313

183

f(p)8(p)

313



(p)5(p)

需求与供给有交点，

(

183

,)

1313

把时间区间

n

等分，

t

n

n



,



为步长，

P

n

为

t

n

时的价格，则由供求平衡的需要，

由于供给由上一时刻的需求决定于是有



(P

n1

)f(P

n1

)

（4分）

即

f(P

n

)8(P

n



183183

)5(P

n1

)



(P

n1

)

13131313

递推得

511

P

n

()

n

(P

0

)

P

0

为初始价格 （8分）

81313

5

<1 当

n

，

P

n

收敛，市场稳定。 （10分）

8

2．解：设

a

n

,b

n

,c

n

分别表示第

n

代中，

AA,Aa,aa

占总体的百分率，

则

a

b

b

n

c

n

1

考虑第

n

代基因型与第

n1

代的关系，选用AA型植物培育后代，则

1



a1ab

n1

0c

n1n1



n

2



1





b

n

0a

n1

b

n1

1c

n1

（4分）

2





c

n

0a

n1

0b

n1



1

c

n1



2





AA1



AA1



11

AA



AaAA

AA



AaAa

22



aa00



aa





1



令

M



0





0





（6分）

1

2

1

2

0



0





a

n





X

(n)

MX

(n1)





M

n

X

(0)



(n)

1



设



b

n



X

则

(0)T

X(a

0

,b

0

,c

0

)





c

1





n



2





相对M进行相似变换，对角仪，

MPDP

1

1



11



1

PP



012





001





0

1





1



11





1

故

M

n

(PDP

1

)

n

PD

n

P

1





012





0()

n

2



00







1

0





0

1



11



2

n



1





0



2

n



00





1

0





111







0





012







1



1









00

1





2

n1



1



（8分）

2

n1



0







11



aabcbc

000

n

0

n1

0



n

22



11



bbc



n

n

0

n1

0

22





c

n

0





令

n

，有

a

n

1

b

n

0c

n

0

，经过若干代后，将全部培育成AA型植

物，Aa型与aa型全部消失。 （10分）

3．解：设某水域现有鱼量

x

，由于受资源限制所能容纳的最大鱼量

x

m

，高自然

增长率

r

，捕捞增长率

k

，按人口的逻辑模型建立微分方程。

要保持鱼量平衡

设

dxx

rx(1)kx

（2分）

dtx

m

dxrk

0

，设平衡点为

x

0

，解得

x

0

x

m

dtr

dx

f(x),

考虑

f(x)

在

x

0

的泰勒展式

dt

f(x)f



(x

0

)(xx

0

)0(xx

0

)

f



(x

0

)kr

当

f



(x

0

)

＞0时

f(x)

与

xx

0

同号

x

0

为不稳定平衡点

当

f



(x

0

)

＜0时

f(x)

与

xx

0

异号

x

0

为稳定平衡点

f



(x

0

)

＜0即

r

＞

k

（6分）

设

f

1

(x)rx(1

x

)

f

2

(x)kx

由于

k

＜

r

x

m

曲线

f

1

(x)

与

f

2

(x)

有交点，因

f

1

(x)

在原点切线为

yrx

解得，易知当

x

0



x

m

时，取得最大捕捞量

2

11r

r

，

f

2

(x)rx

0

x

m

224

r

最大捕捞量为

x

m

（10分）

4

k

4 解： 设

x(t),y(t)

为两支部队兵力，

a,b

为作战损失率，

(a,b0)

建立模型



dx



dt

axy

（2分）



dy



bxy



dt

则①②

dxa



③

dyb

解③

b(xx

0

)a(yy

0

)

bxaybx

0

ay

0

（6分）

令

Lbx

0

ay

0

某部分获胜，即对方部队先减少到0，于是，

若

L0,

by



x,y

同时为0

ax

0

b

y

L

若

L

＞0，即



0

,

当

x

时，

y0

x

获胜

ax

0

b

b

y

L

若

L

＜0，即



0

,

当

y

时，

x0

y

获胜 （10分）

ax

0

a

5.解：设三种方案分别为A，B，C，通过判断三种方案的期望效益大小选择方案，

最佳方案即期望效益最大。

期望效益

E(A)20

（3分）

E(B)80.900.1(600)68

（6分）

E(C)0.700.2(300)0.1(600)

（9分）

120

E(A)

＞

E(B)

＞

E(C)

采取方案A为最佳。 （10分）

6 解： 设

Ci

型箱的原度，

a

i

米，重

b

i

公斤，在其一辆车上装

x

i

件，另一车上

装

y

i

件，设

Ci

型箱的总数为

d

i

则

x

i

y

i

d

i

，则则归结为以下的线性规划问

题

max(10.2



a

i

x

i

)(10.2



a

i

y

i

)

(a

i

,b

i

,d

i

表中已给出)

（4分）

i1i1

88



7





a

i

x

i

10.2

1



i

7



bx40

ii





i1



7





a

i

x

i

3.027



i5



7

（8分）





a

i

y

i

10.2

1



i

7



by40

ii





i1



7





a

i

y

i

3.027



i5



x

i

y

i

d

i

i1,2,



7





x

i

,y

i

0且x

i

,y为整数

给出两个约束条件 （10分）

7 答：黑色系统一般为只知输入与输出，却不知它们的关系，白色系统一般为

全部知道输入与输出的关系和具体参数，灰色系统为知道输入与输出的部分

关系。 （5分）

如经济系统的投资开发资源量的关系问题，更确切点给密切协作一经验数据

及某年的投资预测，由于经济问题其原理并不明确，其内部诸要素之间存在复杂

的高度非线性相互作用，所以相对我们的认识而言经济系统是一个灰色系统。

考虑到逐年统计数据可能存在受诸多因素影响的误差，可以采用一次累加做生成

数，对投资与产量分别作业成数，然后用

GM(1,1)

模型求解，最后再用一次累减

得到要求的结果。 （10分）