2023年12月22日发(作者：寿春数学试卷)

专题二 不等式的解法

分式不等式：

分式不等式的等价变形：f(x)g(x)0f(x)f(x)>0f(x)·g(x)>0，≥0

g(x)g(x)g(x)0这种方法解分式不等式比较繁琐，现介绍根标法法（穿针引线法）来求解高次不等式和分式不等式：

根标法解题步骤：

第一步，先将x最高次项系数化为正数,再通过因式分解将其分解成一次因式和不可再分解的二次因式的乘积，相同的一次因式写成幂指数的因式；

第二步，将其对应方程的根在数轴上标出来；

第三步，从右向左从上到下一次依次穿线，穿线时，遇到奇重根（即根对应的一次因式的指数为奇数）时,在其对应的根处穿过，遇到偶重根（即根对应的一次因式的指数为偶数）时，在其对应的根处，不穿过；

第四步，根据积的符号运算法则知，线在x轴上方部分对应区间表示已化为x最高次项系数为正的不等式对应的函数在这些区间值为正数，故是大于零不等式对应的解，线在x轴下方部分对应的区间表示表示已化为x最高次项系数为正的不等式对应的函数在这些区间值为负数，故是小于零不等式对应的解，从而找出原不等式的解集.

口诀：高次化为正，式子因式化，从右上向左穿，遇奇穿过去遇偶不过线.

二、应用数轴标根法解高次不等式

例1：解不等式xx2x＞0.

分析：本题是高次不等式，可用数轴标根法.

解析：原不等式可化为：x(x2)(x1)＜0，（1）

将对应的方程的根为0，2，1标在数轴上，观察

得，不等式（1）的解集为{x|2＜x＜0或0＜x＜1}，

∴原不等式的解集为{x|2＜x＜0或0＜x＜1}.

点评：对高次不等式都可用数轴标根法，在用数轴标根法时，注意：（1）先要将不等式的最高次项系数化为正数；（2）穿线规则是从右向左，从上到下一次穿线；（3）奇重根穿过，偶重根不穿过；（4）观察标根的数轴时，应结合已化为最高次项系数为正的不等式，得出的是这个不等式的解集.本题可以利用积的符号法则，转化为次数较低的不等式组去解,但较麻烦.

例2：解不等式(x2)(24321x1)2(x3)30

22解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。

32）因式(x2)、(x1)、(x3)的根分别为2、2、3，在数轴上把它们标出（如12图2）。 3）从最大根3的右上方

开始向左依次穿线，次数为

－2

奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式

的根穿而不过。

2

图2

3

x

4）数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(x2)(曲线对应的x的取值范围，为(x2)(

(x2)(1x1)2(x3)30的解集，数轴下方21x1)2(x3)30的解集。

21x1)2(x3)30的解集为(2,2)(2,3)

2x23xx 例3：解不等式2xx2x23xx(x1)2解：由2x0

(x1)(x2)xx2其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：

-+-10-1-+2x

12, 由图知，原不等式的解集为1,0变式题：

1、解不等式

x3x2x6

2、.解下列不等式

（1）

32x311(3x4)(2x1)0 （2）0 （3）

x7x1x(x1)2

3、解不等式

5x1.

2x2x32x210x111 例4、解不等式

2x6x8

一、指数不等式及对数不等式：

不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。

(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)0.

f(x)g(x);

logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0

f(x)g(x);

logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)3x2x22(2)当0a1时,

af(x)ag(x)解下列不等式：

1．a

3.

2

x4x22xax4,(a0且a1) 2．222

256522x2 4．log1(x23x4)log1(2x10)

33

变式题：

3x121

1解不等式2x2x32

2

解不等式log1x23x4log12x1033

3解不等式logax2x2loga2x27x3a0,a1


更多推荐

因式,对应,数轴,化为,区间,穿线,标根