2023年12月22日发(作者：顺德区数学试卷)

对勾函数的一点思考

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，又被称为“双勾函数”，“勾函数”.不过由于数学教材中对对勾函数涉及较少，学生对相关知识的学习比较分散，也缺乏系统的归纳和提升.因此，学生应在适当的时候，及时加以总结、巩固和提高.对勾函数作为考试的内容时，主要考察单调性、极值、值域等.因此，理解对勾函数的知识，灵活运用这些知识点的技能，对掌握一些题目的做法大有裨益.

所谓的对勾函数，是形如fxax对勾函数的性质如下：

b （a0,b0）的函数，由它的图像得名.

x（1）定义域为,0U0,

（2）值域为,2abU2ab,

（3）奇偶性：在其定义域上是奇函数

bbbb和.单调减区间和.

,,00,aaaa（5）渐进性：渐进线是y轴和直线yx

（4）单调性：单调增区间为,（6）图像：见下图.

fx = x+1x8642-15-10-551015-2-4-6-8单调性的证明:

方法一：利用单调性的定义进行证明:

任意取x1,x20,，且x1x2则fx1fx2ax1bbax2，x1x2ax1x2bx2x1abx1x2bxxx1x2a,要判定此式的正12x1x2x1x2x1x2

负只要确定abx1x2的正负即可.这样，又需要判断x1x2与考虑到要将区间0,分为0,b的大小，由于x1,x2的任意性，abab与,

abb（1） 当x1,x20,时，0x1x2，x1x20.∴式小于0，即aab上是减函数

0,fx1fx20，∴fx2fx1.∴fx在abb（2） 当x1,x2时x1x2，∴式大于0即fx1fx20∴,aab上是增函数.

fx2fx1，∴fx在,a同理可得，

bb（3）当x时，fxax是减函数.

,0ax（4）当x,bb时，是增函数

fxaxaxbbbb综上所述fxax在,和,上是增函数，在a,0和aaxb上是减函数

0,a方法二：通过导数的知识来探究单调性.

bfxax，

xbbbbax2bxfxa2,0，令，，极值点为和.,0fx01,22axxaa相应的极大值为2ab，极小值为2ab.

b当x,，fx0，此时fx单调递增

a当xb,0，fx0，此时fx单调递减

a

当x0,b，fx0，此时fx单调递减

a当xb,a，fx0，此时fx单调递增

一、对勾函数值域及其应用

对勾函数的值域在高中数学中是一个重要的知识点.对于对勾函数，当其定义域为,0U0,，函数不存在最值，但存在极值.值域为,2决一类复杂的函数的值域问题.

例1求ylog2xabU2ab,；当其定义域为,0或0,时，函数存在最值.利用对勾函数的这一性质，我们可以解1(x2)的值域

x分析：由已知先求出x解：令ux1的范围，这是关键部分，然后再根据对数函数的单调性，求解.

x1(x2)

x5u5u∴

22u0∴ylog2ulog25

25,

2∴函数的值域为log2例2 若x0,2，则2tanx1的最小值为

tanx分析：根据x的范围，求出tanx的范围.再根据对勾函数的图像，求出最值.

解：令ttanxt0

11∴y2t2t2

tt1令gtt2t0，由对勾函数的单调性及最值知识，gtmin2

t∴ymin22

例3（2006，上海高考）已知函数有yxa如下性质：如果常数a0，那么该函数在x0,a上是减函数，在a,上是增函数.

2b（1）如果函数yxx0的值域为6,，求b的值

xc（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由

x2aa2（3）对函数yx和yx2（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函xx（2）研究函数yx2数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数11Fxx22x（n是正整数）在区间上的最大值和在最小值（可利用你的xx研究结论）

分析：根据题目已知，灵活使用对勾函数的性质，进而解决问题.

nn2b解：(1)由题意得，

yx在0,2b上是减函数，在2b,上是增函数，∴当x2b2bbx2，函数yx取得最小值6.即26，∴blog29

bx2b(2)设0x1x2，y2y1x22ccc222xxx1.

121222x2x12x1x22当4cx1x2时，y2y1函数yxc在4c,是增函数；当0x1x24c时，2xccy2y1.函数yx22在0,4c上是减函数.又yx22是偶函数，于是，该函数在xx上,4c是减函数，在4c,0上是增函数；

,a上是增函数，在a,0上是减函数.

a当n是偶数时，函数yx在0,a上是减函数，在x,a上是减函数，在a,0上是增函数；

(3)当n是奇数时，函数yx2nna在0,2na上是减函数，在2na,上是增函数，在nx2nn2n2nna,上是增函数，在2n2n111102n12n3xCx

Fxx22xCnn2n2n3xxxxnn

11r2n3rnnLCnxLCx

n2n3rnxx因此Fx在,1上是减函数，在1,2上是增函数.所以，当x12n1或x2时，Fx取299得最大值，当x1时，Fx取得最小值2n1

24例4 求下列函数在x1,2的值域

（1）ynx

2x1x23x2（2）y

x分析：对函数进行变形，进而根据x的范围，求出x解：

（1）y1的范围，求出值域.

xx1

21x1xx15121212, ∴, ∴值域为,

152x252xx∵x1,2 ∴xx23x22x3 （2）解：yxx∵x1,2 ∴x2 ∴值域为223,6

22,3x1例5(2008,江西高考) 若函数yfx的值域为,3,则函数Fxfx的值2f(x)域是（）

A,3 B2, C, D3,

23233解析：令tfx，则yFxt，其中t,3

2t由yx11105101011bb1b0yx的单调性知在,1上是减函数，在1,3是增函数.

xx2

又当t15105时，y1； 当t3时，y2

2232当t3时ymax10； 当t1时，ymin2

3110当t,3时，yt2,

t32函数F1xfx110的值域为2,

fx3二、对勾函数的图像应用

例1解不等式44

a解：方法一：(1)当a0，显然不成立

a(2)当a0时，a44a，∴a20，∴a0且a2.

22方法二：把分式不等式化为整式不等式

aa20，∴a0且a2（穿针引线法，奇穿偶不穿）

方法三：根据函数yx24的图像，

x图像在0,上最小值是4，∴a0且a2

例2

fxx1的图像关于（）对称

x1Ax轴 By轴

C点1,1 D直线x1

解析：

fxx1而fxx11

x11是奇函数，所以图像关于0,0对称.

x1∴gxx1的图像关于1,0对称

x111图像关于1,1对称. ∴fxx1x1例3 设fx的图像向左向上分别平移一个单位，得到gx的图像，又gx的图像关于x1对称的是hxx1的图像，求fx的图像.

x解：

yhx与yh2x关于x1对称.

∴gxh2x2x∴fx2x11

2x111x2

2x13x本文就对勾函数性质的应用做了一个简单的介绍，充分认识到了对勾函数图像和性质在解决问题中的重要性.正确掌握这些知识，并灵活使用，有待同学们更深入的去研究，从而使我能进一步理解函数思想和函数方法，进而培养了学生从数学角度分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.


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