2024年3月25日发(作者：学前班数学试卷题免费)

函数的单调性知识归类小结

1、定义及其三种表述方法:设有函数y = f(x) , ( X∈M )

(1)文字表述

如果在某个区间里y随着x的增大而增大，则称y是该区间上的增函数，该区间称为该函

数

的递增区间；

如果在某个区间里y随着x的增大而减小，则称y是该区间上的减函数，该区间称为该函

数

的递减区间。

递增区间和递减区间统称为函数的单调区间，在定义域上的增函数和减函数称为单调函

数。

（2）数学语言表述：

如果对于任意的 x1、x2∈[a、b]包含于M，

若当x1

该区间上的增函数，［a、b］称为y = f(x) 的单调增区间；

若当 x1y2 ，即f(x1)>f(x2) ，则称f(x)在［a、b］上递减，称y

是该区间上的减函数，［a、b］称为y = f(x) 的单调减区间；；

（3）图象语言表述

如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右上升，则函数是增函数；

如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右下降，则函数是减函数。

2、定义的剖析：

（1）单调性是函数随自变量的变化而变化的局部特性，是函数的一个的局部性质，在不同

的局部，单 调性可能不同，也可能相同。

（2）在每个局部的单调性不同时，整体上必定没有单调性。

（3）每个局部的单调性都相同时，整体上可能有相同的单调性。

（4）每个局部的单调性都相同时，整体上也可能没有单调性。

（5）整体上没有单调性时，可能在任意的局部都没有单调性。

（6）整体上有单调性时，则任意局部都有相同的单调性。

（7）必须注意x1、x2 的任意性，只要有一个反例，即可证明该区间不是函数的单调区间。

3、证明或判定函数在给定区间上的单调性的方法与步骤

（1）定义法［取值、作差（或作商）、变形（化积或配方）、判断］

（2）等价定义法（判断［f(x2)-f(x1)］/[x2-x1] 的符号）

（3）图像法

（4）利用有关定理

①互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

②奇函数在对称区间上具有相同的单调性。

③偶函数在对称区间上具有相反的单调性。

④复合函数的单调性判定法则：同增异减。

⑤ 已知单调性的函数的和、差、积、商的单调性。

4、求函数的单调区间的方法与步骤

（1）求出函数的定义域

（2）将定义域划分为若干个区间

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（3）判定在各个区间上的单调性（4）确定函数的单调区间

5、函数单调性的应用

（1）比大小

①根据欲比大小的两个数的结构确定拟利用的函数；

②把已知的两个数作为该函数的两个函数值并确定相应的自变量值及其所在区间；

③确定该函数在该区间上的单调性；

④根据自变量的大小确定函数值的大小，即已知的两个数的大小。

⑤解题过程中应注意充分利用图像。

⑥有时需要选择适当的中介数完成任务。

⑦有时需要利用函数的奇偶性转换区间。

⑧有时需要利用函数的周期性转换区间。

（2）求函数的值域或最值

闭区间上的单调函数的值域即为两端点函数值所确定的区间。

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