指数性质及运算

2024年4月1日发(作者：2017年苏教版数学试卷)

高一数学衔接教学一 指数性质及运算

知识要点:

1．指数概念的扩充

当nN时，

a

n

a



a







a



n个a

当nQ时，⑴零指数 a

0

=1 (a≠

1

0)；⑵负整数指数 a

–n

=

a

n

(a≠0)；

⑶分数指数

a

m

a

n

n

m

(a>0，m、n为正整数)

① 根式

如果有x

n

=a，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于

1

的整数．

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，用符号“

如

3

n

a

”表示．例

273

，

5

32

= –2．

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数． 用符号“±

n

a

”表示．例如

4

16

=±2

负数没有偶次方根． 零的任何次方根都是零，用符号

n

0

=0表示．

高一数学衔接教育一 - 1 -

式子

n

a

叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

根据n次方根的意义，可得

(

n

a)

n

=a．例如

(5)

2

=5，

(

3

2)

3

= –2

但要注意，

a是非负数，则

n

a

n

a

n

不一定等于a．当n为奇数时，

=a，例如

(

4

n

a

n

=a，例如

(

3

2)

3

= –2．但当n为偶数时，如果

n

3)

4

=3，但如果

a

是负数，则

n

a

n

= –a

例如

(3)

2

= –(–3)=3．这就是说，

n

当n为奇数时，

n

a

n

=a；当n为偶数时，

a

n

a

a(a0)

a(a0)



② 分数指数幂

当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被根指数整除

一样写成分数指数幂的形式．例如

aa

，

bb

．

3

2

2

3

4

5

5

4

n

我们规定正数的正分数指数幂的意义是

aa

m

m

n

(a>0，m，nN，且n>1)

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定

a



m

n



1

m

a

n

(a>0，m，nN，且n>1)

高一数学衔接教育一 - 2 -

注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以后，指数从整

数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分

数指数幂的运算

2．幂运算法则

⑴a

m

a

n

=a

m+n

(m，nZ);

⑵(a

m

)

n

=a

m



n

(m，nZ);

⑶(ab)

n

=a

n

b

n

(nZ)．

注:因为a

m

÷a

n

可以看作a

m

a

–n

，所以a

m

÷a

n

=a

m–n

可以归入性质⑴．

例题分析：

例1．求下列各式的值

⑴

3

(8)

3

； ⑵

(10)

2

； ⑶

4

(3)

4

； ⑷

(ab)

2

(a

解: ⑴

3

(8)

3

= –8； ⑵

(10)

2

=|–10|=10；

⑶

4

(3



)

4

=|3–|=–3； ⑷

(ab)

2

=|

a

–

b

|=

b

–

a

(

a

<

b

)．

高一数学衔接教育一 - 3 -

例2．求下列各式的值：

8

，

100

2

3



1

2

(

16

)

，

81



3

4

解:



1

3

4



3

3

2



3

100

1

1



1

1



1

163

22

44

222

()(

4

)

3



3



27

3

3

3

3

2

2

2

10

3

2

100(10)

8(2)224

；

8

332

；

81

．

例3．计算下列各式

⑴

(2a

2

3

b)(6ab)(3ab)

； ⑵

(pq)

1

2

1

2

1

3

1

6

5

6

1

4

3



8

8

．

解: ⑴

(2ab)(6ab)(3ab)4a

2

3

1

2

1

2

1

3

1

6

5

6

211



326

b

11

5



236

4ab

0

4a

；

⑵

(pq

1

4

3



8

8

)(p)(q

1

4

8

3



8

8

)pq

23



p

2

q

3

．

例4．计算下列各式

a

2



5

a

3

⑴

a

10

a

7

； ⑵

(

3

5125)

4

5

； ⑶

3

xy

2

(xy)

3

．

a

2



5

a

3

解: ⑴

7

2

3



1



7



a

1

a

7

a

5210

a

5

a

10

a

7

a

2

a

10

；

2

3

5

⑵

(

3

5125)5(55)55

4

1

3

3

2

1

4

11



34

5

3

1



24

55

1

12

5

4

；

高一数学衔接教育一 - 4 -

⑶

3

xy

2

(xy)

3



3

xy

2

(x

2

y

2

)

3



3

xy

2

x

2

y

2

(x

2

y

2

)

3

x

6

y

6

11

33571

57

．

习题：

1．求下列各式的值:

4

⑴

100

；

4

526

6

(0.1)(



4)(xy)

⑵； ⑶； ⑷ (y>x)．

5

2．求下列各式的值：⑴

121

；

1

2

(

64

)

⑵

49



1

2

； ⑶

10000

；



3

4

(

125

)

⑷

27



2

3

．

3．计算

⑴

aaa

；

1

3

3

4

7

12

⑵

aaa

；

2

3

3

4

5

6

⑶

(xy)

；

1

3



3

4

12

⑷

4ab

2

3



1

3

26



3

16st

)

2



1



1

2

33

(

(ab)

4

3

； ⑸

25r

；

3

4

⑹

(2xy)(3x

1



1



1

2

y

3

)(4x

4

y

3

)

；

2

1

2

3

44

⑺

4x(3xy)(6x

11



1



1

2

y



2

3

)

；

2

⑻

(2x3y

1



1

4

)(2x

2

3y

1



1

4

)

．

4．计算

1



1

2

11

3

125()343()

3

227

⑴

2

3

；

1



2



1

0

10

4

3

2

()(5.6)(2)0.125

3

27

⑵

9

；

高一数学衔接教育一 - 5 -

⑶

(4

4

1.5



3

)16

0.25

[(0.0081)](22)2

4

；



3

4

0

2

3

(6

1

)

⑷

4



1

2

(3)

0

(3

3

)

8



2

3

0.125

3

(

1

)

1

(1)

3

2

；



2

a

2

b

2



a

2

b

2

1111

2222

abab

⑸

1111

； ⑹(

a

2

–2+

a

–2

)÷(

a

2

–

a

–2

)．

5．已知

a

2

x

=

a

3x

a

3x

2

+1，求

a

x

a

x

的值．

．

x1

1

6．求下面等式中的x的值

x



2

3

x



1

3

x

2

x

1

1



x



3



1

1x1x

3

1

11



1

3

．．

高一数学衔接教育一 - 6 -