2024年4月1日发(作者：2018高考数学试卷全国ii)
指数与对数
先复习国中学过的指数概念和指数律，包括
1.
a0
,
n
是正整数，
a
n
的意义。
2.
a
n
a
m
a
nm
.
a
n
3.
nm
a
m
a
,
nm0
.
4. 赋予
a
0
1
, 以符合3.
5. 赋予
a
k
1
a
k
,
k
为正整数，以符合
6. 更广的指数律：
(a
n
)
m
a
nm
.
a
n
b
n
(ab)
n
.
1
7.
n
是正整数，
a
n
的意义。
例如 :
1
n2
时，
a
2
a
2
a
.
1
n3
时，
a
3
3
a
.
1
一般正整数，
a
n
n
a
.
1
8.
n
是正整数，
a
n
的意义。
例如 :
a
1
2
1
a
.
a
1
3
1
3
a
.
1
3.
师(T) : 今天我们要上指数函数，在读指数之前，同学们可能听过马尔蕯斯
(1766~1834)主张的人口学原理，他认为人口是以等比数列的方式增加的。
比方说，一年以后人口变成2倍，二年以后人口变成4倍，三年以后人口
变成8倍。
生(S) : 这不太可能吧！像台湾，就以2300万人口来说好了。一年后变成2倍就
是4600万，二年后变成4倍就是9200万，三年后变成8倍就是18400
万。3年后有几乎2亿的人口，可能吗？
T : 这里说的变成2倍、4倍、8倍，只是强调人口的增加是一个等比数列的形
式，倒没有说一定是一年变成2倍，这里要说的是在某一个时段 (例如 : 10
年) 变成2倍，再过一个时段 (10年) 又从2倍变成4倍。也就是说三个时
段 (30年) 之后，就会变成8倍。当然就历史来看人口的变化，马尔蕯斯的
论点是不对的。不过我们不妨假想有某一种以等比数列的方式繁殖的细菌，
这种细菌繁殖力超强，每一小时的“细菌口”会变成2倍。因此3小时后，就
会变成8倍。
S : 那，半小时以后，会变成几倍呢 ?
T : 这个问题很好，如果我先告诉你的是 : 细菌数在3小时以后会变成8倍，那
么你觉得1小时以后会变成几倍呢 ?
S : 当然是2倍！
T : 对，如果用指数来表示，是不是说
2
3
8
, 或是说，人家问你 :
x
3
8
,
x
是
多少 ? 你的回答是
x2
. 是不是这样？
S : 了解！如果把半小时后细菌数目的倍数设成
x
, 那么因为已知1小时之后，
细菌数会变成2倍，而1小时代表两个半小时的时段，所以
x
2
2
. 这样想，
对吗？那
x
应该是
2
, 也就是说，半小时以后，细菌数会变成
2
倍。
T : 没错，我们可以将半小时设为一个时段，而经过这一个时段，细菌数增加为
2
倍，因此一小时之后，也就是两个时段之后，细菌数就会变成
222
倍。如此说来，3小时以后，用刚才半小时的时段来看，会变成几倍呢？
S : 让我想想，三小时相当于6个半小时，因此细菌数应该变成6个
2
相乘，
2222222228
，三小时以后仍然变成8倍。
T : 我们应该记成
(2)(2)2
3
8
。
S : 所以无论是想成1小时后变成2倍，或是半小时后变成
2
倍，3小时后都是
变成8倍。前者是计算三个时段，每一个时段2倍，
2
3
8
; 后者是计算6
2
6
1
2
6
个时段，每一个时段
2
倍，
(2)
6
8
。
1
T : 那我再问你 : 如果一小时变成2倍，那么20分钟，也就是小时，应该变
3
成几倍呢 ？
S : 1小时是3个20分钟，如果经过20分钟，细菌数变成
x
倍，就代表1小时后
变成
x
3
2
倍。解
x
,
x2
1/3
。
T : 刚才提到
2
，近似值是1.414。请问，
2
的近似值是多少 ？
S :
2
1/3
当然比
2
1/2
小，我觉得
2
1/3
至少大于1.2, 因为
(1.2)
3
1.728
, 不足2, 而
(1.3)
3
2.197
, 超过2。所以
2
1/3
应该介于1.2和1.3之间，亦即
1.22
1/3
1.3
.
1/3
T : 如果把15分钟看成一个时段，细菌数又应该变成几倍呢？
S : 1小时是4个15分钟，如果每15分钟，细菌数变成
x
倍，4个15分钟后，
细菌数应该变成
x
4
倍，方程式是
x
4
2
,
亦即
x2
1/4
.
T : 你能估计
2
1/4
吗 ？
S :
2
1/2
21.414
,
(2)2
,
2
是
2
的平方根，所以我相当确定
1
4
1
4
21/2
1
4
1
2
1.121.2
, 因为
(1.1)
2
1.21
, 而
(1.2)
2
1.44
. 前者小于
2
, 后者大于
2
.
T : 你看，
1.42
,
1.321.2
,
21.2
，从这里也可以看出
1
2
1
3
1
4
2
0
1222
. 时段越短，倍数越小，但是都大于1.
S : 老师，如果继续下去，比方说，如果分别把10分钟、5分钟、2分钟、1分
钟各看成一个时段，那每个时段细菌数的增长倍数是几倍？
3
1
4
1
3
1
2
T : 我们可以列一个表
时段长
60分钟
120分钟
180分钟
30分钟
20分钟
15分钟
10分钟
5分钟
2分钟
1分钟
-60分钟
-30分钟
-1分钟
0分钟
7分钟
小时数(h)
1
2
3
1/2
1/3
1/4
1/6
1/12
1/30
1/60
-1
-1/2
-1/60
0
7/60
细菌数增长倍数
22
1
42
2
82
3
2
1/2
1.414
2
1/3
2
1/4
2
1/6
2
1/12
2
1/30
2
1/60
2
1
1/2
2
2
1
2
1/2
1/
60
2
1
60
2
0
1
2
7/60
比方说，以1分钟为一个增长时段来看，如果细菌数增长为
x
倍，则因一小
时是60分钟，所以
x
60
2
，亦即
x2
1/60
。在上面的表中，你可以发现最右
边这一行增长倍数之间的关系。你可以用任何时段作基准，例如你如果用5
分钟作基准，并且假设每经过5分钟，细菌数变成
u
倍，则10分钟之后会变
成
u
倍，而1分钟之后会变成
u
倍。上面这个表是以60分钟或1小时为基
准作的。因此，如果左边的时数以小时为单位计是
h
小时的话，最右边这一
行的增长倍数就是
2
h
，读作2的
h
次方，
h
可以是2, 3也可以是1/2, 1/3。
h
甚
至可以是负数或0.
h
如果是0, 就代表开始的那一刻，细菌数是1倍，亦即
2
1
5
2
h
2
0
1
.
4
S : 基准是可以换的。如果用1分钟为基准来观察，1分钟增长
2
1/60
倍，所以5
分钟就会增长
(2
1/60
)
5
2
1/12
倍，完全符合上表。
T : 是的，如果你愿意以1分钟为基准，你就可以求出经过7分钟以后细菌增长
的倍数，应该是多少呢 ？
S :
(2
1/60
)
7
2
7/60
应该就是7分钟以后增长的倍数。这个数字看起来蛮难看的，
而且说实话，我感觉不出来它的大小，只能说一定大于1，不过7分钟以小
时为单位就是7/60小时，在表上代表
h7/60
，增长的倍数是
2
h
。
T : 不知道你有没有注意这个细菌繁殖的模型是很特别的。它的特性是只要经过
1小时，就会增长2倍。不管是10点到11点还是第二天的下午3点到4点，
也就是说无论是经过1分钟，或是经过任何一个时段，只要经过的时段等长，
增长的倍数都是一样的。所以若是先经过
x
小时，再经过
y
小时，增长的倍
数和经过
xy
小时一样，亦即
2
x
2
y
2
xy
,
这就是指数律的基本意涵。不仅如此，这样的想法还可以倒叙，也就是说
x
小
时以前，是现在的
2
x
倍，正如
x
小时以后，是现在的
2
x
倍，亦即有等比例的
关系
2
x
:11:2
x
,
这也是指数的基本性质，或者说负指数的意义。我们可以把上表加上一些负
的时间代表「之前」，上表右列依然是
2
h
的形式。
T : 你现在应该可以从上面这个表看出更多一点讯息，就以中间这行来说，以
h
代
表繁殖时所经过的小时数，而右边这一行，代表经过
h
小时的繁殖以后，细
菌所增长成的倍数，这个倍数与时段
h
的关系是
2
h
。但是不要忘了这个模型
的基本特征是，当
h1
时，细菌将增长为2倍，我们可以用下图来表达
y2
x
，
x
代表经历的时段
h
，
y
代表
x
时段后，细菌将增长为
2
x
倍。
5
(函数图形
yf(x)2
x
还有一个上凹的特质，亦即
f(
等号成立时，代表
xz
。)
xz1
)(f(x)f(z))
22
1
S : 当你对所有的时段
x
都赋予
2
x
时，如果
x
是刚才读的这种有理数，例如：,
n
我可以了解
2
m
1/n
代表2的
n
次方根；或是
m/n
, 我可以了解
2
1
m
n
m/n
代表
(2)
，
1
n
m
或是
2
的
n
次方根，
(2)
. 如果
x
不是有理数呢？
T : 你难道不觉得已经有这么多的有理数
x
, 若是能对这些
x
将函数图形上
(x,2
x
)
点出，这么多的点，难道还不能描出一个函数图形吗？比方说，如果
将
x
取成
12
,,
100100
, 即以分母为100的有理数，在0到1之间，就已经有
了100个点，即一位和二位小数从0.01到0.99, 在1到2之间有1.01到1.99,
或者你也可以想想，将
x
取成分母为1000的有理数，亦即从0.001到0.999
等等或是1.001到1.999等等。
S : 但是数在线的点
x
，当不只是有理数而已，我记得在读数系的时候，老师特
别提到数在线的点，除了分数 (有理数) 之外，还有许多无理数，例如
3
,
5
等等。
T : 我刚才提到分母为100或1000的有理数，其实是指十进制制中的有限小数。
这些小数够多，但是很有趣的是，他们并不包括循环小数，如1/3或1/7. 当
6
然也不包括2，
3
这类无理数。但是他们 (十进制小数) 在数在线够密，
并且是所有科学界或工程界所用的「数」，对一个物理学家或是工程师而言，
度量是量出来的，精确性的要求就是看几位小数，例如：毫米是
10
3
, 微米
是
10
6
, 奈米是
10
9
. 回到你刚才提到的
2
x
,
x
非有理数怎么理解的问题，我
们以
2
3
来说明，请看下面这个表。
2
1
2
2
1.7
3.249009585
2
1.73
3.317278183
2
1.732
3.321880096
2
1.7320
3.321880096
2
1.73205
3.321995226
2
1.732050
3.321995226
2
1.7320508
3.321997068
2
2
4
2
1.8
3.482202253
2
1.74
3.340351678
2
1.733
3.324183446
2
1.7321
3.322110360
2
1.73206
3.322018252
2
1.732051
3.321997529
2
1.7320509
3.321997298
我们可以看到
2
3
的近似值是3.321997，比
2
2
4
要小，但是比
2
1.5
2.828
要
大。
我想说的是对所有的变量
x
,
2
x
都是有意义的，当
x
是有理数时，
2
x
有非常
具体的意义。但是当
x
是无理数时，
2
x
就只能以近似或逼近来表达。无论要
求多么严格的精准度，都是可以办到的，上面对于
2
3
的计算充分的说明了这
一点。但是我更要强调的是这个函数的意义以及它内在所具有的指数律，
指数律是
2
xy
2
x
2
y
或者
2
u
2
uv
2
v
. 就学习时必须掌握的抽象层次来说，
最要紧的，而在计算时亦不可或缺。例如我刚才写下
2
1.5
就是靠指数律
2
1.5
2
10.5
2
1
2
0.5
2221.4142.828
.
又譬如
2
7
0.5
12
0.5
2
0.5
1.414
0.5
0.50.5
0.707
.
22222
换句话说，计算的时候，指数律是无所不在的。
S : 刚才老师花了不少时间解释
2
3
，我想说的是以细菌繁殖的模型来说，经过1
小时，变成2倍。刚才讨论了很多
11
小时，小时，甚至于-1小时细菌数的
23
倍数。我是不是也可以问，经过
3
小时，细菌会变成几倍呢？由于
31.732
, 所以前面的表，就说明如何透过
2
1.7
,
2
1.73
,
2
1.732
来了解
2
3
.
是这样的意思吧！
T : 没错，只要你问出：
x
小时后，细菌数会变成几倍？我们就必须规规矩矩来
回答
2
x
等于多少。在一开始的时候，
x=
1
, 所以我们说
2
x
=2
1/2
=2
, 但是不
2
要忘了，
2
倍还是必须用近似值
1.4142
来说才比较有感觉。这就好像你先
前说
2
7/60
这样的倍数，那是当时段经过7分钟以后，细菌的倍数。但是谁能
很快回答
2
7/60
的近似值是多少呢？就指数律来说，是不在乎
x
是不是无理数
的。因为假设经过
u
小时，系数是
2
u
，则将
u
小时分成二个时段，
uv
和
v
小
时，则当然有
2
u
2
uv
2
v
.
不但无关
u
是否有理数，并且也无关
v
等于多少，例如 :
2
2
3
2
2
21
2
,
2
2
.
2
32
指数与对数(2) - 指对数的应用
存户将钱存入银行，有如银行向存户借钱，应该支付利息。利息与本金之比
称为利率。早年景气好的时候，利率相对也高，年利率6%经常可见。亦即每存
入100元，一年以后可以获利6元。获利6元之后，若是续存，本金已经变成
106元，因此再过一年，便可获利6.36元，比前一年的利息多0.36元；这多出
来的0.36元，其实正是来自前一年的6元利息再乘上6%。如此利上加利的计息
方式，称为复利。不难看出，n年之后，这100元会变成
100(10.06)
n
式中重要的是
(10.06)
n
这个倍数。
若取
n12
, 略作计算，可以得出
(1.06)
12
, 刚好超过2. 亦即只要12年，本
8
利和就能变成2倍。一般人看到这么快就会变成2倍，不免怀疑，因为若以单利
思考，100元的本金在12年后，6%的利率只能产生72元的利息。下文先说明在
计算机未发明之前“手工业者”如何计算
(1.06)
12
。我们先把
(1.06)
12
想成是
10
x
, 然
后解
x
。注意到此处的
x
只是一个小数。对
(1.06)
12
取以10为底的对数，立刻得
出
x12log(1.06)
.
从任何一本高中数学课本所附的对数表可以查出
log(1.06)0.0253
,
因此，
x12log(1.06)0.3036
,
所以基本上
(1.06)
12
10
0.3036
.
再查一次对数表得到
210
0.3010
.
比较等号右边10的指数得出
(1.06)
12
2
,
并且看出
(1.06)
12
只比2大一点点(因为指数0.3036略大于0.3010)。如果是当下现
在，只要按几下计算机中所附的计算器，轻易可得
(1.06)
12
2.012196
.
这是不是让「手工业者」瞠目结舌，而觉得「弗如远甚」呢？
当然手工业者有他们的说法─他们步步为营小心计算，完全知道自己在干什
么，不像用手直接按下
(1.06)
12
就可以跑出
2.012196
。谁知道计算机内部真正
的机制？ 谁能说这不是黑箱作业呢？
但是仔细深究，手工业者不也是要查表才知道
log(1.06)0.0253
和
10
0.3010
2
吗？要如何才能靠手算得到，譬如说，
log(1.06)
呢？ 看起来「手工业者」和「手
按者」之间似乎差别不大，不过如果真的差别不大的话，对数这个议题就不必摆
在高中数学教材中了。这是因为学习对数在高中最主要的功能就是帮忙分析上述
这一类的连乘积。包括下面这个典型的题目:
2
50
在十进制系统中是几位数？
我们再来看看手工业者怎么处理这个问题吧！同样的，令
9
2
50
10
x
,
两边对10取对数，得到
x50log2
.
查表，
log20.301
, 因此
x15.05
.
回到
2
50
10
x
10
15.05
10
0.05
10
15
,
由于(根据查表)
10
0.05
不到1.13，因此
2
50
是一个16位数，最高位的数字是1。至
于「手按者」要回答这个问题就更加快捷，他甚至可以把这16位数字全部写给
你，而手工业者即使要回答
2
50
的10位数还得另外作计算，此时对数是派不上用
场的。
结论是高中生辛辛苦苦花了这么多的时间学对数，到头来，碰到问题还是得
靠计算机，一如许多学过的数学，谁都知道这辈子再也派不上用场，可是就好像
国王的新衣一般，总觉得一定要披点什么，才有国王的架势。一旦考过大学，就
赶快把「衣服」丢掉，一点也不心疼，因为事实是，从来就没穿上过。
指数与对数(3) - 换底公式
「戏法人人会变，自有巧妙不同。」如果把「戏法」改成「教法」，这句话也
很贴切。下面想要谈的是「换底公式」。
如果有一个正数A, 我们要问A是5的几次方？亦即
A5
x
(1)
解x.
这要怎么解呢？x在5的右上角，一般来说，我们要法子把x「抽离」出来，
看看能不能变成一个国中就学过的
abx
的形式。我们可以用对数来办到这一
点。对(1)两边取以10为底的对数，而得到
logAxlog5
,
因此，解出
x
logA
. 接着是查表，查
logA
,
log5
再相除。
log5
好，我们是用10为底的对数表来帮忙求x, 如果，你手上有以C为底的对
数表，对(1)两边取
logC
就会得到
10
log
C
Axlog
C
5
或
x
log
C
A
log
C
5
(2)
但是不要忘了，根据(1)，其实x就是
log
5
A
, 因此(2)就变成
log
5
A
log
C
A
log
C
5
(3)
最后，如果5是另一个正数B, 那么(3)就变成
log
C
A
log
B
A
.
log
C
B
这样子教换底公式，是不是比较自然呢？
11
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细菌,指数,小时,变成,时段,对数,倍数
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