2024年4月11日发(作者：数学试卷如何命题)
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
（1）当
x→0
时，
(e
t
−1)dt
是
x
7
的（ ）
0
x
2
3
A.低阶无穷小
C.高阶无穷小
【答案】C
B.等价无穷小
D.同阶但非等价无穷小
x
2
=2x(e
x
6
−1)~2x
7
，即
x
2
t
3
t
3
(e−1)dt
【解析】当
x→0
时，
(e−1)dt
是
x
7
的高阶无穷小.
0
0
故选C.
e
x
−1
，
x0
（2）函数
f(x)=
x
，在
x=0
处（ ）
1,x=0
A.连续且取极大值
C.可导且导数为0
【答案】D.
B.连续且取极小值
D.可导且导数不为0
e
x
−1
【解析】因为
limf(x)=lim=1=f(0)
，即
f(x)
在
x=0
连续；
x→0x→0
x
e
x
−1
−1
1
f(x)−f(0)e
x
−1−x1
x
因为
lim=lim=lim=
，即
f
(0)=
.
2
x→0x→0x→0
2
x−0x−02
x
故选D.
（3）设函数
f(x)=ax−blnx(a0)
有2个零点，则
A.
(e,+)
【答案】A.
第 1 页 共 11 页
b
的取值范围是（ ）
a
B.
(0,e)
1
C.
0,
e
1
D.
,+
e
【解析】令
f
(x)=a−
bb
=0
得，
x=
.
xa
b
b
b
b
f
=b−bln0
，则
ln1
，即
e
，故选A.
a
a
a
a
（4）设函数
f(x,y)
可微，且
f(x+1,e
x
)=x(x+1)
2
，
f(x,x
2
)=2x
2
lnx
，则
df(1,1)=
（ ）
A.
dx+dy
【答案】C.
【解析】等式
f(x+1,e
x
)=x(x+1)
2
两端同时对
x
求导可得
f
1
(x+1,e
x
)+e
x
f
2
(x+1,e
x
)=(x+1)
2
+2x(x+1)
B.
dx−dy
C.
dy
D.
−dy
①
等式
f(x,x
2
)=2x
2
lnx
两端同时对
x
求导可得
f
1
(x,x
2
)+2xf
2
(x,x
2
)=4xlnx+2x
②
分别将
x=0,
x=1,
代入①②可得
f
1
(1,1)+f
2
(1,1)=1,f
1
(1,1)+2f
2
(1,1)=2
.
y=0,
y=1
联立可得
f
1
(1,1)=0,f
2
(1,1)=1,df(1,1)=f
1
(1,1)dx+f
2
(1,1)dy=dy
.
故选C.
（5）二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
−(x
3
−x
1
)
2
的正惯性指数与负惯性指数依次为
（ ）
A.
2,0
B.
1,1
C.
2,1
D.
1,2
【答案】B.
2
+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
+2x
1
x
3
， 【解析】
f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
−(x
3
−x
1
)
2
=2x
2
−1−1
011
即
A=
121
，故令特征多项式
|
E−A|=
−1
−2−1
=
(
+1)(
−3)=0
，可得
110
−1−1
特征值为
0,−1,3
，即二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.
故选B.
第 2 页 共 11 页
1
T
1
T
（6）设
(
1
,
2
,
3
,
4
)
为4阶正交矩阵，若矩阵
B=
2
，
=
1
，
k
表示任意常数，则
T
1
3
线性方程组
Bx=
的通解
X=
（ ）
A.
2
+
3
+
4
+k
1
C.
1
+
2
+
4
+k
3
【答案】D.
【解析】因为
A=(
1
,
2
,
3
,
4
)
为4阶正交矩阵，
所以向量组
1
,
2
,
3
,
4
是一组标准正交向量组，则
r(B)=3
.
1
T
T
又
B
4
=
2
4
=0
，所以齐次线性方程组
Bx=0
的通解为
k
4
.
T
3
1
T
1
T
而
B(
1
+
2
+
3
)=
2
(
1
+
2
+
3
)=
1
=
，
T
1
3
B.
1
+
3
+
4
+k
2
D.
1
+
2
+
3
+k
4
故线性方程组
Bx=
的通解为
x=
1
+
2
+
3
+k
4
，其中
k
为任意常数.
故选D.
10−1
（7）已知矩阵
A=
若下三角可逆矩阵
P
和上三角可逆矩阵
Q
，使
PAQ
为对
2−11
，
−12−5
角矩阵，则
P,Q
可以分别为（ ）
100
101
A.
010,013
001
001
100
100
B.
2−10,010
−321
001
100
12−3
D.
010
,
0−12
131
001
100
101
C.
2−10
,
013
−321
001
第 3 页 共 11 页
【答案】C.
10−1100
10−1100
【解析】
(A,E)=
2−11010
→
0−13−210
−12−5001
02−6101
10−1100
100
→
01−32−10
=(F,P)
，则
P=
2−10
.
000−321
−321
1
0
F
0
E
1
0
0
0−1
100
1−3
010
101
00
000
→
=
，即
Q=
013
.
00
101
Q
001
10013
001
01
故选C.
（8）设
A,B
为随机事件，且
0P(B)1
，下列命题中为假命题的是（ ）
A.若
P(A|B)=P(A)
，则
P(A|B)=P(A)
B.若
P(A|B)P(A)
，则
P(A|B)P(A)
C.若
P(A|B)P(A|B)
，则
P(A|B)P(A)
D.若
P(A|AB)P(A|AB)
，则
P(A)P(B)
【答案】D.
【解析】
P(A|AB)=
P(A(AB))P(A)
=
，
P(AB)P(A)+P(B)−P(AB)
P(A|AB)=
P(A(AB))P(AB)P(B)−P(AB)
==
.
P(AB)P(AB)P(A)+P(B)−P(AB)
因为
P(A|AB)P(A|AB)
，所以
P(A)P(B)−P(AB)
，故选D.
（9）设
(X
1
,Y
1
),(X
2
,Y
2
),
2
,(X
n
,Y
n
)
为来自总体
N(
1
,
2
;
1
2
,
2
;
)
的简单随机样本，令
第 4 页 共 11 页
1
n
1
n
ˆ
=X−Y
，则（ ）
=
1
−
2
，
X=
X
i
，
Y=
Y
i
，
n
i=1
n
i=1
2
1
2
+
2
ˆˆ
A.
E(
)=
,D(
)=
n
2
1
2
+
2
ˆˆ
C.
E(
)
,D(
)=
n
2
1
2
+
2
−2
1
2
ˆˆ
B.
E(
)=
,D(
)=
n
2
1
2
+
2
−2
1
2
ˆˆ
D.
E(
)
,D(
)=
n
【答案】B.
【解析】因为
(X,Y)
服从二维正态分布，所以
X,Y
均服从二维正态分布，则
X−Y
也服从二维正态分布，即
ˆ
)=E(X−Y)=E(X)−E(Y)=
−
=
,E(
12
2
1
2
+
2
−2
1
2
ˆ
D(
)=D(X−Y)=D(X)+D(Y)−cov(X,Y)=.
n
故选B.
（10）设总体
X
的概率分布为
P{X=1}=
1−
1+
,P{X=2}=P{X=3}=
，利用来自总体的
24
样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得
的最大似然估计值为（ ）
A.
1
4
B.
3
8
C.
1
2
D.
5
2
【答案】A.
1−
1+
【解析】似然函数
L(
)=
,
2
4
1−
1+
取对数得
lnL(
)=3ln
+5ln
.
24
35
求导得
1
dlnL(
)31
=+5=0
，即
=
.故选A.
4
d
−11+
二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（11）若
y=cose
−x
，则
1
e
【答案】
2e
sin
dy
=−sine
−
dx
−
e
dy
−2x
dx
1
1
e
.
=
2e
sin
dy
dx
=
x=1
.
【解析】
xx
x−1
第 5 页 共 11 页
（12）
5
5
x
|x−9|
2
dx=.
【答案】6.
【解析】
3
5
x
9−x
2
dx+
5
3
−1
3
d(9−x
2
)1
5
d(x
2
−9)
dx=+
=6
.
2
53
22
22
9−x
x−9x−9
x
（13）设平面区域
D
由
y=xsin
x(0x1)
与
x
轴围成，则
D
绕
x
轴旋转所围成的旋转
体体积为 .
【答案】
.
4
11
【解析】
V=
0
(xsin
x)
2
dx=
0
xsin
2
xdx=
（14）
y
t
=t
的通解为
y
t
=
.
x=t1
=2
0
x
sin
2
tdt=
4
.
【答案】
y=y
*
+y=t
2
−t+C
，C为任意常数.
【解析】
y=C,y
*
=(at+b),(t+1)(a(t+1)+b)−t(at+1)=t,2at+a+b=t,a=,b=−,
11
y=y
*
+y=t
2
−t+C
，C为任意常数.
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
xx
1x
（15）多项式
f(x)=
21
2−1
12x
2−1
中
x
3
项的系数为 .
x1
1x
【答案】
−5
.
xx
1x
【解析】
f(x)=
21
2−1
12x
x2−112−11x−11x2
2−1
=x1x1−x2x1−211−2x11x
.
x1
−11x21x3−1x2−11
1x
所以展开式中含
x
3
项的有
−x
3
,−4x
3
，即
x
3
项的系数为
−5
.
（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放
入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令
X,Y
分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则
X
和
Y
的相关系数为 .
第 6 页 共 11 页
1
【答案】
.
5
【解析】联合分布律：
(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)
0
,X~
(X,Y)~
3113
1
5510
2
10
cov(X,Y)=
1
0
1
Y~
1
22
1
1
，
2
1111
,DX=,DY=, 即
x
=
.
20445
三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）
1
1
已知
lim[
arctan+(1+|x|
x
)]
存在，求
的值.
x→0
x
【答案】
=
11
(−e)
.
e
1
1
x
【解析】要想极限存在，则左右极限相等，又因为
lim
arctan+(1+|x|)
=
+e
.
x→0
+
x
2
1
1
1
1
1
1
x
，从而，
+e=−
+
=
lim
arctan+(1+|x|)=−
+
−e
.
x→0
−
22e
x2e
e
（18）（本题满分12分）
(x−1)
2
+y
2
求函数
f(x,y)=2ln|x|+
的极值.
2x
2
【答案】
(−1,0)
处取极小值
2
；
(,0)
处取极小值
−2ln2
.
2x
2
+x−1−y
2
f
==0,
3
2x
2
+x−1−y
2
=0,
1
x
x
【解析】
即
得驻点
(−1,0)
，
(,0)
.
2
y=0.
f
=
y
=0,
y
x
2
1
2
1
2
第 7 页 共 11 页
(4x+1)x−3(2x
2
+x−1−y
2
)
=,
f
xx
4
x
−2y
=
3
,
f
xy
x
1
f=
yy
x
2
.
B=0,C=1,AC−B
2
=30,A0
， 驻点
(−1,0)
处
A=3,?
故
f(x, y)
在
(−1,0)
处取极小值
2
.
驻点
(,0)
处
A=24,B=0,C=4,AC−B
2
=30,A0
，
故
f(x, y)
在
(,0)
处取极小值
−2ln2
.
（19）（本题满分12分）
设有界区域
D
是圆
x
2
+y
2
=1
和直线
y=x
以及
x
轴在第一象限围成的部分，计算二重积分
(x+y)22
e(x−y)dxdy
.
D
2
1
2
1
2
1
2
111
【答案】
e
2
−e+
.
848
【解析】
e
D
(x+y)
2
1
22
1
(x−y)d
=
4
cos2
d
e
r(cos
+sin
)
r
2
dr
2
0
2
0
22
1
22
1
=
4
cos2
d
e
r(cos
+sin
)
r
2
dr
2
0
2
0
0
=
4
cos2
d
e
u(cos
+sin
)
udu
.
0
1
2
1
0
ue
u(cos
+sin
)
du=
=
=
2
1
(cos
+sin
)
4
1
(cos
+sin
)
4
1
0
(cos
+sin
)
2
ue
u(cos
+sin
)
du(cos
+sin
)
2
te
t
dt
2
(cos
+sin
)
2
0
2
11
(cos
+sin
)
2
e
(cos
+sin
)
−1
.
e−
(cos
+sin
)
2
(cos
+sin
)
4
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