2024年1月5日发(作者：2021中考数学试卷烟台)

读读Euler，读读Euler，他是我们大家的老师。

P．S．Laplace

e的来历

e是数学中最重要的数学常数之一，称为自然常数，是自然对数的底数。它最先由瑞士数学家欧拉在1727 年使用。

e进入人们的研究视野经历了一个漫长的过程。这个过程如下表：

表3-1

时间

1618年

事件

约翰•纳皮尔于出版的对数著作附录中的一张表第一次提到常数e，但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William•Oughtred)制作。

1683年

雅各•伯努利(Jacob•Bernoulli) 第一次把e看为常数

1690年和1691年

莱布尼茨给惠更斯的通信中第一次用到常数e并以b表示。

1727年

1736年

欧拉开始用e来表示这常数

e第一次在出版物用到是欧拉的《力学》(Mechanica)。

1737年

1873年

Euler基本证明了e和e2是无理数

夏尔•埃尔米特(Charles•Hermite)证明e是超越数。

e是什么？

e是增长的极限！

假设一个单细胞，每20分钟分裂一次。我们以20分钟为一个单位时间。

显然，这种细胞的数量增长如下表：

表3-2

x

y

0

1

1

2

2

4

3

8

…

…

因此，我们得到y=2x。

将上式改写为y=（1+100%）x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。

假设这种细胞10分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每10分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为50%。因此，20分钟后这种细胞的数量

y=（1+

100%2）=2.25。

2也就是说，20分钟后，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。

假设这种细胞5分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每5分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为25%。因此，20分钟后这种细胞的数量

y=（1+

100%4）=2.44140625。

4一般地，如果我们进一步假设，这种细胞分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么20分钟最多可以得到多少个细胞呢？

实际上，这种细胞的数量y=（1+

1n）。

n当n→+∞时，这个式子的极值等于e=2.718281828…。

1(1)ne。 即limnn因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫作自然对数。

以e为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，后人把这个规律叫作“自然律”，其中e是自然律的精髓。


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